01 defect formation

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_01(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boxes%20%3D%20%5Baxis.get_tightbbox(renderer).transformed(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08)%20for%20axis%20in%20figure.axes%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axis%2C%20box)%20in%20enumerate(zip(figure.axes%2C%20boxes))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20is%20axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axis.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_01%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20optimize%2C%20special%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20math%2C%20mo%2C%20np%2C%20optimize%2C%20plt%2C%20special%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Defect%20formation%20thermodynamics%0A%0A%20%20%20%20**Why%20do%20defects%20exist%20at%20equilibrium%20when%20each%20one%20costs%20energy%3F**%0A%0A%20%20%20%20A%20perfect%20crystal%20has%20low%20formation%20energy%2C%20but%20a%20crystal%20containing%20defects%0A%20%20%20%20can%20be%20arranged%20in%20many%20more%20ways.%20Equilibrium%20is%20the%20compromise%20between%0A%20%20%20%20those%20two%20tendencies%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20G(n)%3Dn%5CDelta%20g_f%5E0-T%20S_%7B%5Crm%20config%7D(n).%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24%5CDelta%20g_f%5E0%24%20is%20the%20non-configurational%20free-energy%20cost%20per%20defect%0A%20%20%20%20for%20exchanging%20an%20occupied%20reference%20site%20with%20a%20defect%20site.%20Only%20differences%0A%20%20%20%20relative%20to%20that%20reference%20reaction%20matter.%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20the%20lattice%20picture%2C%20then%20count%20its%20arrangements.%20The%20same%0A%20%20%20%20equilibrium%20will%20appear%20as%20a%20free-energy%20minimum%20and%20a%20zero%20of%20the%0A%20%20%20%20defect-exchange%20chemical%20potential.%20Charged%20defects%20enter%20in%20Module%2002.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20special)%3A%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%20%3D%208.617333262e-5%0A%0A%20%20%20%20def%20validate_site_count(site_count)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20an%20integer%20number%20of%20equivalent%20sites.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20int(site_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20count%20!%3D%20site_count%20or%20count%20%3C%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22site_count%20must%20be%20an%20integer%20of%20at%20least%202%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20count%0A%0A%20%20%20%20def%20formation_free_energy_ev(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_entropy_kb%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20Delta%20g_f%5E0%20in%20eV%20per%20defect.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_entropy_kb%20is%20the%20non-configurational%20formation%20entropy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(for%20example%2C%20vibrational%20entropy)%20in%20units%20of%20k_B%20per%20defect.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(temperature_k)%20or%20temperature_k%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22temperature_k%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(formation_enthalpy_ev)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22formation_enthalpy_ev%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(formation_entropy_kb)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22formation_entropy_kb%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(formation_enthalpy_ev)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20KB_EV_PER_K%20*%20float(temperature_k)%20*%20float(formation_entropy_kb)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20log_multiplicity(site_count%2C%20defect_count)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20ln%5Bbinomial(N%2C%20n)%5D%20for%20integer%20finite-lattice%20states.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20validate_site_count(site_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defects%20%3D%20np.asarray(defect_count%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(~np.isfinite(defects))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22defect_count%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(defects%20%3C%200.0)%20or%20np.any(defects%20%3E%20count)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22defect_count%20must%20lie%20between%200%20and%20N%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(defects%20!%3D%20np.rint(defects))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22defect_count%20must%20contain%20integers%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20special.gammaln(count%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20special.gammaln(defects%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20special.gammaln(count%20-%20defects%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20stirling_entropy_kb_per_site(defect_fraction)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20s_config%2Fk_B%20per%20site%2C%20including%20its%20endpoint%20limits.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fraction%20%3D%20np.asarray(defect_fraction%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(~np.isfinite(fraction))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22defect_fraction%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(fraction%20%3C%200.0)%20or%20np.any(fraction%20%3E%201.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22defect_fraction%20must%20lie%20in%20%5B0%2C%201%5D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy%20%3D%20np.zeros_like(fraction)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20(fraction%20%3E%200.0)%20%26%20(fraction%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20fraction%5Binterior%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy%5Binterior%5D%20%3D%20-(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%20*%20np.log(values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(1.0%20-%20values)%20*%20np.log1p(-values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20entropy%0A%0A%20%20%20%20def%20stirling_free_energy_ev_per_site(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev_value%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20G%2FN%20in%20eV%20per%20site%20in%20the%20Stirling%20limit.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fraction%20%3D%20np.asarray(defect_fraction%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy_kb%20%3D%20stirling_entropy_kb_per_site(fraction)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fraction%20*%20float(formation_free_energy_ev_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20KB_EV_PER_K%20*%20float(temperature_k)%20*%20entropy_kb%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20exact_free_energy_ev_per_site(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev_value%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20exact%20finite-N%20G%2FN%20in%20eV%20per%20site.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20validate_site_count(site_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defects%20%3D%20np.asarray(defect_count%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20defects%20*%20float(formation_free_energy_ev_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20KB_EV_PER_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20log_multiplicity(count%2C%20defects)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20count%0A%0A%20%20%20%20def%20chemical_potential_ev(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev_value%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20d(G%2FN)%2Fdx%20in%20eV%20per%20defect%20in%20the%20Stirling%20limit.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fraction%20%3D%20np.asarray(defect_fraction%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(fraction%20%3C%3D%200.0)%20or%20np.any(fraction%20%3E%3D%201.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22chemical%20potential%20requires%200%20%3C%20x%20%3C%201%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(formation_free_energy_ev_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20KB_EV_PER_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(np.log(fraction)%20-%20np.log1p(-fraction))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20equilibrium_fraction(temperature_k%2C%20formation_free_energy_ev_value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20exact%20thermodynamic-limit%20logistic%20equilibrium.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_energy%20%3D%20float(formation_free_energy_ev_value)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20KB_EV_PER_K%20*%20float(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(special.expit(-reduced_energy))%0A%0A%20%20%20%20def%20dilute_fraction(temperature_k%2C%20formation_free_energy_ev_value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20exp%5B-Delta%20g_f%5E0%2F(k_B%20T)%5D%2C%20without%20asserting%20validity.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_energy%20%3D%20float(formation_free_energy_ev_value)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20KB_EV_PER_K%20*%20float(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(np.exp(np.clip(-reduced_energy%2C%20-745.0%2C%20700.0)))%0A%0A%20%20%20%20def%20finite_equilibrium_index(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev_value%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20discrete%20n%20minimizing%20exact%20finite-N%20free%20energy.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20validate_site_count(site_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20states%20%3D%20np.arange(count%20%2B%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energies%20%3D%20exact_free_energy_ev_per_site(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20states%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20int(np.argmin(energies))%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20KB_EV_PER_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dilute_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equilibrium_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_free_energy_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_equilibrium_index%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_free_energy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_multiplicity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stirling_entropy_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stirling_free_energy_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20validate_site_count%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20temperature%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1800%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%2C%20T%20(K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20formation_enthalpy%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D2.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.45%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Formation%20enthalpy%20(eV%20per%20defect)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20formation_entropy%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Non-configurational%20formation%20entropy%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20lattice_sites%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Finite%20lattice%20size%2C%20N%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20show_components%20%3D%20mo.ui.checkbox(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Show%20energetic%20and%20entropic%20contributions%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20show_exact_points%20%3D%20mo.ui.checkbox(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Show%20exact%20finite-lattice%20states%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btemperature%2C%20formation_enthalpy%2C%20formation_entropy%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_controls%20%3D%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20finite-size%20and%20display%20options%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blattice_sites%2C%20show_components%2C%20show_exact_points%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20advanced_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_enthalpy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_entropy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lattice_sites%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_components%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_exact_points%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(advanced_controls%2C%20controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Explore%20the%20competition%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Change%20one%20quantity%20at%20a%20time.%20The%20entropy%20control%20sets%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5CDelta%20s_f%5E0%2Fk_B%24%3B%20a%20value%20of%203%20means%20%243k_B%24%20per%20defect.%20Higher%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20or%20a%20more%20positive%20formation%20entropy%20lowers%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20effective%20defect%20cost%20and%20should%20move%20equilibrium%20toward%20a%20larger%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20defect%20fraction.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20default%20is%20intentionally%20easy%20to%20see%3B%20it%20is%20a%20teaching%20state%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20a%20claim%20that%20oxide%20defects%20are%20usually%20this%20concentrated.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20advanced_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%2C%0A%20%20%20%20dilute_fraction%2C%0A%20%20%20%20equilibrium_fraction%2C%0A%20%20%20%20exact_free_energy_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20finite_equilibrium_index%2C%0A%20%20%20%20formation_enthalpy%2C%0A%20%20%20%20formation_entropy%2C%0A%20%20%20%20formation_free_energy_ev%2C%0A%20%20%20%20lattice_sites%2C%0A%20%20%20%20log_multiplicity%2C%0A%20%20%20%20math%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20special%2C%0A%20%20%20%20stirling_entropy_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20validate_site_count%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20temperature_k%20%3D%20float(temperature.value)%0A%20%20%20%20formation_enthalpy_ev%20%3D%20float(formation_enthalpy.value)%0A%20%20%20%20formation_entropy_kb%20%3D%20float(formation_entropy.value)%0A%20%20%20%20site_count%20%3D%20validate_site_count(int(lattice_sites.value))%0A%0A%20%20%20%20delta_g0_ev%20%3D%20formation_free_energy_ev(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_entropy_kb%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20kbt_ev%20%3D%20KB_EV_PER_K%20*%20temperature_k%0A%20%20%20%20reduced_formation_energy%20%3D%20delta_g0_ev%20%2F%20kbt_ev%0A%20%20%20%20equilibrium_x%20%3D%20equilibrium_fraction(temperature_k%2C%20delta_g0_ev)%0A%20%20%20%20dilute_x%20%3D%20dilute_fraction(temperature_k%2C%20delta_g0_ev)%0A%0A%20%20%20%20discrete_n%20%3D%20np.arange(site_count%20%2B%201)%0A%20%20%20%20discrete_x%20%3D%20discrete_n%20%2F%20site_count%0A%20%20%20%20log_omega%20%3D%20log_multiplicity(site_count%2C%20discrete_n)%0A%20%20%20%20entropy_exact_kb_per_site%20%3D%20log_omega%20%2F%20site_count%0A%20%20%20%20entropy_stirling_on_discrete%20%3D%20stirling_entropy_kb_per_site(discrete_x)%0A%20%20%20%20free_energy_exact_ev_per_site%20%3D%20exact_free_energy_ev_per_site(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20finite_n_eq%20%3D%20finite_equilibrium_index(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20finite_x_eq%20%3D%20finite_n_eq%20%2F%20site_count%0A%20%20%20%20omega_at_finite_min%20%3D%20math.comb(site_count%2C%20finite_n_eq)%0A%0A%20%20%20%20_equilibrium_logit%20%3D%20-reduced_formation_energy%0A%20%20%20%20_focus_logit%20%3D%20np.linspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max(-700.0%2C%20_equilibrium_logit%20-%203.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min(700.0%2C%20_equilibrium_logit%20%2B%203.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20601%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20focus_x%20%3D%20special.expit(_focus_logit)%0A%20%20%20%20formation_term_ev%20%3D%20focus_x%20*%20delta_g0_ev%0A%20%20%20%20entropy_term_ev%20%3D%20-kbt_ev%20*%20stirling_entropy_kb_per_site(focus_x)%0A%20%20%20%20total_free_energy_ev%20%3D%20formation_term_ev%20%2B%20entropy_term_ev%0A%20%20%20%20chemical_potential_values_ev%20%3D%20delta_g0_ev%20%2B%20kbt_ev%20*%20_focus_logit%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_values_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dilute_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_n%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy_exact_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy_term_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_n_eq%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_entropy_kb%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formation_term_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20free_energy_exact_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_omega%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_at_finite_min%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_formation_energy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_free_energy_ev%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20dilute_x%2C%0A%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20finite_n_eq%2C%0A%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20formation_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20formation_entropy_kb%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20omega_at_finite_min%2C%0A%20%20%20%20reduced_formation_energy%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_dilute_error%20%3D%20abs(dilute_x%20-%20equilibrium_x)%20%2F%20equilibrium_x%0A%20%20%20%20if%20omega_at_finite_min%20%3C%201_000_000%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_omega_text%20%3D%20f%22%7Bomega_at_finite_min%3A%2C%7D%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_omega_text%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%2410%5E%7B%7B%7Blen(str(omega_at_finite_min))%20-%201%3Ad%7D%7D%7D%24%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%20(order%20of%20magnitude)%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_dilute_status%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22accurate%20in%20this%20state%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20equilibrium_x%20%3C%200.01%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22not%20a%20dilute%20approximation%20in%20this%20state%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_state_table%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Current%20thermodynamic%20state%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(T%5C)%20%7C%20%7Btemperature_k%3A.0f%7D%20K%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(%5CDelta%20h_f%5C)%20%7C%20%7Bformation_enthalpy_ev%3A.3f%7D%20eV%2Fdefect%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(%5CDelta%20s_f%5E0%5C)%20%7C%20%7Bformation_entropy_kb%3A.2f%7D%20%5C(k_B%5C)%2Fdefect%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(%5CDelta%20g_f%5E0(T)%5C)%20%7C%20%7Bdelta_g0_ev%3A.4f%7D%20eV%2Fdefect%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%5C)%20%7C%20%7Breduced_formation_energy%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20thermodynamic%20%5C(x_%7B%7B%5Crm%20eq%7D%7D%5C)%20%7C%20%7Bequilibrium_x%3A.4e%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20most%20probable%20finite-%5C(N%5C)%20macrostate%20%7C%20%5C(n%3D%7Bfinite_n_eq%7D%5C)%2C%20%5C(x%3D%7Bfinite_x_eq%3A.4e%7D%5C)%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(%5COmega(N%2Cn_%7B%7B%5Crm%20min%7D%7D)%5C)%20%7C%20%7B_omega_text%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20dilute%20%5C(%5Cexp%5B-%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%5D%5C)%20%7C%20%7Bdilute_x%3A.4e%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20dilute%20relative%20error%20is%20%7B_dilute_error%3A.2e%7D%3B%20it%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_dilute_status%7D**.%20The%20finite-%5C(N%5C)%20mode%20is%20discrete%2C%20so%20its%20most%0A%20%20%20%20%20%20%20%20probable%20macrostate%20can%20be%20%5C(n%3D0%5C)%20in%20a%20small%20classroom%20lattice%20even%0A%20%20%20%20%20%20%20%20when%20the%20ensemble-mean%20occupancy%20is%20nonzero.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20current%20state%22%3A%20_state_table%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(finite_n_eq%2C%20np%2C%20plt%2C%20site_count)%3A%0A%20%20%20%20_columns%20%3D%20int(np.ceil(np.sqrt(site_count)))%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20int(np.ceil(site_count%20%2F%20_columns))%0A%20%20%20%20_indices%20%3D%20np.arange(site_count)%0A%20%20%20%20_x_positions%20%3D%20_indices%20%25%20_columns%0A%20%20%20%20_y_positions%20%3D%20_rows%20-%201%20-%20_indices%20%2F%2F%20_columns%0A%20%20%20%20_defect_mask%20%3D%20np.zeros(site_count%2C%20dtype%3Dbool)%0A%20%20%20%20if%20finite_n_eq%20%3E%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rng%20%3D%20np.random.default_rng(2024)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_defect_indices%20%3D%20_rng.choice(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20size%3Dfinite_n_eq%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20replace%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_defect_mask%5B_defect_indices%5D%20%3D%20True%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_lattice_fig%2C%20_lattice_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(11.5%2C%204.8)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_positions%5B~_defect_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_positions%5B~_defect_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D115%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22occupied%20site%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20np.any(_defect_mask)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lattice_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x_positions%5B_defect_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y_positions%5B_defect_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D130%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22s%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22defect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_lattice_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D130%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22s%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22defect%20(none%20in%20this%20finite-N%20mode)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.set_aspect(%22equal%22)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.set_xlim(-1.0%2C%20_columns)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.set_ylim(-1.0%2C%20_rows)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.set_title(%22A%20finite%20lattice%20at%20its%20most%20probable%20composition%22)%0A%20%20%20%20_lattice_axis.legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20loc%3D%22center%20left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox_to_anchor%3D(1.01%2C%200.5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frameon%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_lattice_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_lattice_fig)%0A%20%20%20%20lattice_figure%20%3D%20_lattice_fig%0A%20%20%20%20return%20(lattice_figure%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(lattice_figure)%3A%0A%20%20%20%20lattice_figure%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(finite_n_eq%2C%20finite_x_eq%2C%20mo%2C%20site_count)%3A%0A%20%20%20%20_finite_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20finite%20lattice%20cannot%20display%20less%20than%20one%20defect%2C%20so%20its%20most%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22probable%20composition%20can%20be%20the%20perfect%20lattice%20even%20when%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22thermodynamic%20mean%20is%20nonzero.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20finite_n_eq%20%3D%3D%200%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20open%20squares%20are%20defects%20placed%20at%20reproducibly%20randomized%20sites.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Moving%20them%20among%20equivalent%20sites%20changes%20the%20configuration%20without%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22changing%20the%20formation-energy%20term.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(N%3D%7Bsite_count%7D%5C)%2C%20%5C(n%3D%7Bfinite_n_eq%7D%5C)%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(x%3Dn%2FN%3D%7Bfinite_x_eq%3A.4g%7D%5C).%20%7B_finite_note%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20lattice%20is%20a%20**configurational%20schematic**%2C%20not%20an%20atomistic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulation.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20From%20arrangements%20to%20entropy%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Lecture%201%20writes%20the%20defect%20count%20as%20%5C(n_D%5C)%20and%20the%20fraction%20as%20%5C(%5BD%5D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20they%20are%20%5C(n%5C)%20and%20%5C(x%3D%5Cdelta%3Dn%2FN%5C)%2C%20respectively.%20The%20notebook%20uses%0A%20%20%20%20%20%20%20%20energies%20per%20defect%20and%20%5C(k_B%5C)%3B%20the%20molar%20slide%20formulas%20use%20%5C(R%3DN_Ak_B%5C).%0A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20%5C(n%5C)%20defects%20on%20%5C(N%5C)%20equivalent%20sites%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5COmega(N%2Cn)%3D%5Cbinom%7B%7BN%7D%7D%7B%7Bn%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20S_%7B%7B%5Crm%20config%7D%7D%3Dk_B%5Cln%5COmega.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20perfect%20lattice%20has%20only%20one%20arrangement.%20Mixed%20occupied%20and%20defect%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sites%20have%20many%2C%20creating%20an%20entropic%20reason%20for%20defects%20to%20appear.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20discrete_x%2C%0A%20%20%20%20entropy_exact_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20log_omega%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20stirling_entropy_kb_per_site%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_entropy_x%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20801)%0A%20%20%20%20_entropy_stirling%20%3D%20stirling_entropy_kb_per_site(_entropy_x)%0A%0A%20%20%20%20_entropy_fig%2C%20(_multiplicity_axis%2C%20_entropy_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(13.0%2C%205.2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_omega%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms%3D3.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22exact%20%24%5Cln%5Cbinom%7BN%7D%7Bn%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_entropy_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_count%20*%20_entropy_stirling%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stirling%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.axvline(finite_x_eq%2C%20color%3D%22%2340464D%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Defect%20fraction%2C%20%24x%3Dn%2FN%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24%5Cln%5COmega%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22How%20many%20arrangements%20are%20possible%3F%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_multiplicity_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20_entropy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20entropy_exact_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms%3D3.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22exact%20%24S_%7B%5Crm%20config%7D%2F(Nk_B)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_entropy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_entropy_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_entropy_stirling%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stirling%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_entropy_axis.axvline(finite_x_eq%2C%20color%3D%22%2340464D%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_entropy_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Defect%20fraction%2C%20%24x%3Dn%2FN%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Configurational%20entropy%20per%20site%2C%20%24s_%7B%5Crm%20config%7D%2Fk_B%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Mixing%20creates%20configurational%20entropy%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_entropy_axis.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_entropy_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20_entropy_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_entropy_fig)%0A%20%20%20%20entropy_figure%20%3D%20_entropy_fig%0A%20%20%20%20return%20(entropy_figure%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(entropy_figure%2C%20responsive_panels_01)%3A%0A%20%20%20%20responsive_panels_01(entropy_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20A%20perfect%20lattice%20has%20only%20one%20configuration%2C%20so%0A%20%20%20%20%5C(%5Cln%5COmega%3D0%5C)%20and%20%5C(S_%7B%5Crm%20config%7D%3D0%5C).%20Adding%20defects%20initially%0A%20%20%20%20creates%20many%20new%20choices.%20Entropy%20is%20maximized%20near%20equal%20populations%20of%0A%20%20%20%20occupied%20and%20defect%20sites.%20The%20continuous%20Stirling%20line%20approaches%20the%0A%20%20%20%20marker-displayed%20finite-%5C(N%5C)%20states%2C%20whose%20allowed%20compositions%20remain%0A%20%20%20%20separated%20by%20%241%2FN%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20chemical_potential_values_ev%2C%0A%20%20%20%20discrete_x%2C%0A%20%20%20%20entropy_term_ev%2C%0A%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20finite_n_eq%2C%0A%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20formation_term_ev%2C%0A%20%20%20%20free_energy_exact_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20show_components%2C%0A%20%20%20%20show_exact_points%2C%0A%20%20%20%20total_free_energy_ev%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_energy_fig%2C%20(_free_energy_axis%2C%20_mu_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(13.2%2C%205.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gridspec_kw%3D%7B%22width_ratios%22%3A%20%5B1.45%2C%201.0%5D%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_energy_scale%20%3D%201000.0%0A%20%20%20%20if%20show_components.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_free_energy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20formation_term_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22formation%3A%20%24x%5CDelta%20g_f%5E0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_free_energy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20entropy_term_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22entropy%3A%20%24-Ts_%7B%5Crm%20config%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20total_free_energy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22total%3A%20%24G%2FN%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20show_exact_points.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_finite_mask%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(discrete_x%20%3E%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(discrete_x%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(discrete_x%20%3E%3D%20focus_x%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(discrete_x%20%3C%3D%20focus_x%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_free_energy_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_x%5B_finite_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20free_energy_exact_ev_per_site%5B_finite_mask%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mfc%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mec%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22exact%20finite-N%20states%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_equilibrium_energy%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.interp(equilibrium_x%2C%20focus_x%2C%20total_free_energy_ev)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bequilibrium_x%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_energy_scale%20*%20_equilibrium_energy%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D105%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22thermodynamic%20%24x_%7B%5Crm%20eq%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20finite_n_eq%20%3E%200%20and%20focus_x%5B0%5D%20%3C%3D%20finite_x_eq%20%3C%3D%20focus_x%5B-1%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_finite_energy%20%3D%20free_energy_exact_ev_per_site%5Bfinite_n_eq%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_free_energy_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bfinite_x_eq%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_energy_scale%20*%20_finite_energy%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22most%20probable%20finite-N%20macrostate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_use_log_x%20%3D%20equilibrium_x%20%3C%200.05%0A%20%20%20%20if%20_use_log_x%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_free_energy_axis.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_axis.set_xscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.set_xlim(focus_x%5B0%5D%2C%20focus_x%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.set_xlabel(%22Defect%20fraction%2C%20x%22)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.set_ylabel(%22Free%20energy%20per%20site%20(meV%2Fsite)%22)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.set_title(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Free%20energy%20balances%20cost%20and%20entropy%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_free_energy_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D11)%0A%0A%20%20%20%20_mu_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20focus_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_values_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mu_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23666D73%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.4)%0A%20%20%20%20_mu_axis.axvline(equilibrium_x%2C%20color%3D%22%23C49345%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D2.0)%0A%20%20%20%20_mu_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bequilibrium_x%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_mu_axis.set_xlim(focus_x%5B0%5D%2C%20focus_x%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20_mu_axis.set_xlabel(%22Defect%20fraction%2C%20x%22)%0A%20%20%20%20_mu_axis.set_ylabel(r%22Chemical%20potential%2C%20%24%5Cmu_D%24%20(eV%2Fdefect)%22)%0A%20%20%20%20_mu_axis.set_title(r%22The%20same%20equilibrium%20has%20%24%5Cmu_D%3D0%24%22)%0A%20%20%20%20_mu_axis.grid(alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_energy_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_energy_fig)%0A%20%20%20%20free_energy_figure%20%3D%20_energy_fig%0A%20%20%20%20return%20(free_energy_figure%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(free_energy_figure%2C%20responsive_panels_01)%3A%0A%20%20%20%20responsive_panels_01(free_energy_figure)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Read%20the%20free-energy%20panel%20first.%20The%20formation%20term%0A%20%20%20%20penalizes%20defects%2C%20while%20%24-Ts_%7B%5Crm%20config%7D%24%20lowers%20the%20free%20energy.%20Their%0A%20%20%20%20solid-line%20sum%20has%20a%20marked%20minimum.%20Nothing%20in%20the%20calculation%0A%20%20%20%20assumes%20that%20equilibrium%20concentration%20in%20advance.%0A%0A%20%20%20%20Differentiating%20that%20same%20Stirling-limit%20free%20energy%20gives%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cmu_D(x)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BN%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20G%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%0A%20%20%20%20%3D%5CDelta%20g_f%5E0%2Bk_BT%5Cln%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-x%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24%5Cmu_D%3D0%24%20means%20equilibrium%20relative%20to%20the%20chosen%20perfect-lattice%20%2B%0A%20%20%20%20defect%20reference%20reaction.%20It%20is%20the%20stationarity%20condition%20for%20exchanging%0A%20%20%20%20one%20occupied%20site%20with%20one%20defect%20site%2C%20not%20an%20assertion%20that%20every%0A%20%20%20%20absolute%20chemical%20potential%20is%20zero.%0A%0A%20%20%20%20The%20chemical-potential%20panel%20shows%20that%20the%20minimum%20and%20the%20zero%20of%20%5C(%5Cmu_D%5C)%20are%20the%0A%20%20%20%20same%20state.%20Solving%20%5C(%5Cmu_D%3D0%5C)%20gives%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bx_%7B%5Crm%20eq%7D%7D%7B1-x_%7B%5Crm%20eq%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cexp%5Cleft(-%5Cfrac%7B%5CDelta%20g_f%5E0%7D%7Bk_BT%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Rearranging%20gives%20the%20equilibrium%20fraction%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7Bx_%7B%5Crm%20eq%7D%3D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cexp%5B%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%5D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20discrete_n%2C%0A%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20log_omega%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20reduced_formation_energy%2C%0A%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20special%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_drive_min%20%3D%20min(-10.0%2C%20np.floor(reduced_formation_energy)%20-%201.0)%0A%20%20%20%20_drive_max%20%3D%20max(16.0%2C%20np.ceil(reduced_formation_energy)%20%2B%201.0)%0A%20%20%20%20_driving_force%20%3D%20np.linspace(_drive_min%2C%20_drive_max%2C%20501)%0A%20%20%20%20_thermodynamic_fraction%20%3D%20special.expit(-_driving_force)%0A%20%20%20%20_dilute_fraction_curve%20%3D%20np.exp(-_driving_force)%0A%20%20%20%20_physical_dilute%20%3D%20_dilute_fraction_curve%20%3C%3D%201.0%0A%20%20%20%20_finite_fraction_curve%20%3D%20np.empty_like(_driving_force)%0A%20%20%20%20for%20_index%2C%20_energy_ratio%20in%20enumerate(_driving_force)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_reduced_free_energy%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20discrete_n%20*%20_energy_ratio%20-%20log_omega%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20site_count%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_finite_fraction_curve%5B_index%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20int(np.argmin(_reduced_free_energy))%20%2F%20site_count%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_comparison_fig%2C%20_comparison_axis%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(7.2%2C%205.4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_driving_force%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_thermodynamic_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stirling%20%2F%20thermodynamic%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_driving_force%5B_physical_dilute%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dilute_fraction_curve%5B_physical_dilute%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22dilute%20%24%5Cexp%5B-%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%5D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_positive_finite%20%3D%20_finite_fraction_curve%20%3E%200.0%0A%20%20%20%20_comparison_axis.step(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_driving_force%5B_positive_finite%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_finite_fraction_curve%5B_positive_finite%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D%22mid%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22finite-N%20mode%20(N%20%3D%20%7Bsite_count%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.axvspan(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(20.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_drive_max%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22dilute%20relative%20error%20below%205%25%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20_drive_min%20%3C%3D%20reduced_formation_energy%20%3C%3D%20_drive_max%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_comparison_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Breduced_formation_energy%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bequilibrium_x%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20state%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20finite_x_eq%20%3E%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_comparison_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Breduced_formation_energy%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bfinite_x_eq%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(_drive_min%2C%20_drive_max)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(max(1.0e-45%2C%20min(1.0e-7%2C%20equilibrium_x%20%2F%205.0))%2C%201.2)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Formation%20driving%20force%2C%20%24%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Defect%20fraction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Exact%2C%20thermodynamic%2C%20and%20dilute%20limits%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.25)%0A%20%20%20%20_comparison_axis.legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20loc%3D%22upper%20right%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frameon%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D11%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_comparison_fig.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(_comparison_fig)%0A%20%20%20%20approximation_figure%20%3D%20_comparison_fig%0A%20%20%20%20return%20(approximation_figure%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(approximation_figure%2C%20equilibrium_x%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20if%20equilibrium_x%20%3E%200.5%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_state_note%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%24%5CDelta%20g_f%5E0%3C0%24%20makes%20defects%20the%20majority%20state%20(%24x_%7B%5Crm%20eq%7D%3E1%2F2%24).%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20logistic%20result%20remains%20physical%2C%20but%20the%20dilute%20exponential%20would%20exceed%20one%20and%20is%20therefore%20not%20plotted%20there.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20equilibrium_x%20%3E%200.1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_state_note%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22This%20is%20a%20concentrated%20defect%20state.%20The%20lattice-gas%20result%20is%20physical%2C%20while%20the%20dilute%20exponential%20is%20only%20a%20rough%20comparison.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_state_note%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22This%20is%20a%20minority-defect%20state.%20As%20%24x%24%20becomes%20smaller%2C%20the%20dilute%20exponential%20approaches%20the%20thermodynamic%20result.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20dilute%20exponential%20converges%20to%20the%20exact%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermodynamic%20fraction%20only%20at%20low%20%24x%24.%20A%20finite%20lattice%20adds%20discrete%0A%20%20%20%20%20%20%20%20composition%20steps%2C%20and%20its%20most-probable%20macrostate%20can%20reach%20%24n%3D0%24%20even%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20the%20ensemble%20mean%20remains%20positive.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_state_note%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%2C%0A%20%20%20%20chemical_potential_ev%2C%0A%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20finite_x_eq%2C%0A%20%20%20%20log_multiplicity%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20optimize%2C%0A%20%20%20%20site_count%2C%0A%20%20%20%20special%2C%0A%20%20%20%20stirling_entropy_kb_per_site%2C%0A%20%20%20%20stirling_free_energy_ev_per_site%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_equilibrium_logit%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(equilibrium_x)%20-%20np.log1p(-equilibrium_x)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20_objective_in_logit(logit_value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fraction%20%3D%20special.expit(logit_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stirling_free_energy_ev_per_site(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_minimum_result%20%3D%20optimize.minimize_scalar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_objective_in_logit%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bounds%3D(_equilibrium_logit%20-%208.0%2C%20_equilibrium_logit%20%2B%208.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D%22bounded%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22xatol%22%3A%201.0e-11%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_minimum_x%20%3D%20float(special.expit(_minimum_result.x))%0A%0A%20%20%20%20_root_logit%20%3D%20optimize.brentq(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%20_logit%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%20%2B%20KB_EV_PER_K%20*%20temperature_k%20*%20_logit%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_equilibrium_logit%20-%208.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_equilibrium_logit%20%2B%208.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xtol%3D1.0e-13%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_root_x%20%3D%20float(special.expit(_root_logit))%0A%20%20%20%20_mu_at_equilibrium%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_ev(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20equilibrium_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20delta_g0_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_large_count%20%3D%201_000_000%0A%20%20%20%20_large_fraction%20%3D%200.2%0A%20%20%20%20_large_defects%20%3D%20int(_large_count%20*%20_large_fraction)%0A%20%20%20%20_large_exact_entropy%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_multiplicity(_large_count%2C%20_large_defects)%20%2F%20_large_count%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_large_stirling_entropy%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stirling_entropy_kb_per_site(_large_fraction)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_large_entropy_relative_error%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_large_exact_entropy%20-%20_large_stirling_entropy%0A%20%20%20%20)%20%2F%20_large_stirling_entropy%0A%0A%20%20%20%20_dilute_reference_ratio%20%3D%2012.0%0A%20%20%20%20_dilute_reference%20%3D%20float(np.exp(-_dilute_reference_ratio))%0A%20%20%20%20_exact_reference%20%3D%20float(special.expit(-_dilute_reference_ratio))%0A%20%20%20%20_dilute_reference_relative_error%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_dilute_reference%20-%20_exact_reference%0A%20%20%20%20)%20%2F%20_exact_reference%0A%0A%20%20%20%20_selected_finite_rounding%20%3D%20abs(finite_x_eq%20-%20equilibrium_x)%0A%20%20%20%20validation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22minimum_x%22%3A%20_minimum_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22minimum_error%22%3A%20abs(_minimum_x%20-%20equilibrium_x)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22minimum_pass%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_minimum_result.success%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20abs(_minimum_result.x%20-%20_equilibrium_logit)%20%3C%202.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22root_x%22%3A%20_root_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22root_error%22%3A%20abs(_root_x%20-%20equilibrium_x)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_at_equilibrium%22%3A%20abs(_mu_at_equilibrium)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22root_pass%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_root_x%20-%20equilibrium_x)%20%3C%201.0e-11%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20abs(_mu_at_equilibrium)%20%3C%201.0e-11%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22finite_rounding%22%3A%20_selected_finite_rounding%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22finite_rounding_pass%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_finite_rounding%20%3C%3D%201.0%20%2F%20site_count%20%2B%201.0e-14%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22large_entropy_relative_error%22%3A%20_large_entropy_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22large_entropy_pass%22%3A%20bool(_large_entropy_relative_error%20%3C%202.0e-5)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22dilute_reference_relative_error%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dilute_reference_relative_error%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22dilute_pass%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dilute_reference_relative_error%20%3C%201.0e-5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22all_finite%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.isfinite(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_minimum_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_root_x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_large_entropy_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_dilute_reference_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(validation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20validation)%3A%0A%20%20%20%20def%20_mark(passed)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20passed%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Physical%20consistency%20checks%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20status%20%7C%20physical%20statement%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%3A%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'minimum_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20minimum%20of%20%5C(G(x)%5C)%20occurs%20at%20the%20analytical%20%5C(x_%7B%7B%5Crm%20eq%7D%7D%5C)%20%7C%20equilibrium%20is%20the%20lowest-free-energy%20composition%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'root_pass'%5D)%7D%20%7C%20%5C(%5Cmu_D%3D0%5C)%20at%20the%20same%20composition%20%7C%20the%20chemical-potential%20and%20free-energy%20views%20agree%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'finite_rounding_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20most%20probable%20finite%20lattice%20lies%20within%20one%20site%20of%20%5C(x_%7B%7B%5Crm%20eq%7D%7D%5C)%20%7C%20a%20finite%20lattice%20changes%20only%20in%20steps%20of%20%5C(1%2FN%5C)%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'large_entropy_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20exact%20entropy%20approaches%20Stirling's%20expression%20for%20large%20%5C(N%5C)%20%7C%20the%20smooth%20thermodynamic%20curve%20has%20the%20correct%20large-system%20limit%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'dilute_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20dilute%20exponential%20agrees%20at%20low%20defect%20fraction%20%7C%20the%20familiar%20approximation%20is%20used%20only%20in%20its%20proper%20limit%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_mark(validation%5B'all_finite'%5D)%7D%20%7C%20all%20displayed%20quantities%20are%20well%20defined%20%7C%20every%20plotted%20point%20has%20physical%20meaning%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20checks%20connect%20the%20different%20descriptions%20of%20the%20same%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equilibrium.%20They%20are%20not%20additional%20assumptions%20in%20the%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%20The%20exact%20finite%20lattice%20contains%20only%0A%20%20%20%20%5C(x%3D0%2C1%2FN%2C%5Cldots%2C1%5C)%2C%20while%20Stirling's%20approximation%20turns%20those%20states%0A%20%20%20%20into%20a%20smooth%20thermodynamic%20curve.%20Its%20minimum%20gives%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20x_%7B%5Crm%20eq%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2B%5Cexp%5B%5CDelta%20g_f%5E0%2F(k_BT)%5D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Only%20when%20%5C(x_%7B%5Crm%20eq%7D%5Cll1%5C)%20may%20%5C(1-x_%7B%5Crm%20eq%7D%5C)%20be%20replaced%20by%20one%2C%20giving%0A%20%20%20%20the%20familiar%20dilute%20exponential.%0A%0A%20%20%20%20The%20central%20lesson%20is%20simple%3A%20multiplicity%20creates%20configurational%20entropy%2C%0A%20%20%20%20and%20that%20entropy%20competes%20with%20the%20energy%20cost%20of%20forming%20defects.%20The%0A%20%20%20%20minimum%20of%20%5C(G%5C)%20and%20the%20zero%20of%20%5C(%5Cmu_D%5C)%20are%20two%20views%20of%20the%20same%0A%20%20%20%20equilibrium.%0A%0A%20%20%20%20**Model%20boundary.**%20Sites%20are%20equivalent%20and%20defects%20do%20not%20interact.%0A%20%20%20%20Charged%20defects%2C%20coupled%20reactions%2C%20pressure%2C%20and%20electroneutrality%20begin%20in%0A%20%20%20%20the%20next%20module.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2002%20%E2%80%94%20Brouwer%20Diagram%20Explorer%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F02-brouwer-sto%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%201%2C%20slides%2043%E2%80%9351%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture1_course_introdefect_formation.pdf)%3A%20chemical%20potential%2C%20entropy%2C%20and%20equilibrium%20defects.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A