02 brouwer sto

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20optimize%0A%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20optimize%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20model_details%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Model%20equations%20and%20notation%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Predict%20before%20exploring.**%20Increase%20the%20fixed%20acceptor%20concentration%0A%20%20%20%20%3E%20%24A%24.%20Which%20concentration%20plateau%20must%20move%2C%20and%20which%20transition%20should%0A%20%20%20%20%3E%20shift%20along%20the%20%24p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%20axis%3F%0A%0A%20%20%20%20**Model%20and%20notation%20scope.**%20Full%20Kr%C3%B6ger%E2%80%93Vink%20symbols%20are%20introduced%20once%0A%20%20%20%20and%20then%20shortened%20to%20%24V%2Cn%2Cp%2CA%24.%20The%20course%20notation%20may%20write%20the%20same%0A%20%20%20%20constants%20as%20%24K_O%24%20and%20%24K_%7Bel%7D%24%3B%20here%20%24K_%7Bred%7D%5Cequiv%20K_O%24%20and%0A%20%20%20%20%24K_%7Beh%7D%5Cequiv%20K_%7Bel%7D%24.%20See%20the%20shared%0A%20%20%20%20%5Bnotation%20bridge%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md).%0A%0A%20%20%20%20We%20retain%20only%20oxygen%20vacancies%20%24V%3D%5BV_%7B%5Cmathrm%7BO%7D%7D%5E%7B%5Cbullet%5Cbullet%7D%5D%24%2C%20electrons%0A%20%20%20%20%24n%3D%5Be'%5D%24%2C%20holes%20%24p%3D%5Bh%5E%5Cbullet%5D%24%2C%20and%20a%20fixed%20concentration%0A%20%20%20%20%24A%3D%5BA_%7B%5Cmathrm%7BTi%7D%7D'%5D%24%20of%20fully%20ionized%20acceptors.%20Concentrations%20are%20in%0A%20%20%20%20%24%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-3%7D%7D%24%2C%20temperature%20is%20in%20K%2C%20and%20%24p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%20is%20in%20bar.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cmathrm%7BO%7D_%7B%5Cmathrm%7BO%7D%7D%5E%7B%5Ctimes%7D%0A%20%20%20%20%5Crightleftharpoons%20V_%7B%5Cmathrm%7BO%7D%7D%5E%7B%5Cbullet%5Cbullet%7D%2B2e'%0A%20%20%20%20%2B%5Ctfrac12%5Cmathrm%7BO_2%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24K_%7Bred%7D%3DVn%5E2p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B1%2F2%7D%2C%20%5Cqquad%20K_%7Beh%7D%3Dnp%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B2V%2Bp%3DA%2Bn%7D.%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20last%20equation%20is%20**exact%20electroneutrality**%20for%20this%20four-species%20model%3A%0A%20%20%20%20the%20two%20positive%20effective%20charges%20on%20each%20oxygen%20vacancy%20plus%20holes%20balance%0A%20%20%20%20ionized%20acceptors%20plus%20electrons.%0A%0A%20%20%20%20The%20quantitative%20%24%5Cmathrm%7BSrTiO_3%7D%24%20equilibrium%20constants%20are%0A%0A%20%20%20%20%24%24K_%7Bred%7D(T)%3D6.616%5Ctimes10%5E%7B68%7D%0A%20%20%20%20%5Cexp%5C!%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B5.581%7D%7Bk_BT%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%5C%20%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-9%7D%5C%2Cbar%5E%7B1%2F2%7D%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24K_%7Beh%7D(T)%3D7.49%5Ctimes10%5E%7B45%7D%0A%20%20%20%20%5Cexp%5C!%5Cleft%5B-%5Cfrac%7B3.459%7D%7Bk_BT%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%5C%20%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-6%7D%7D%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20with%20%24k_B%3D8.617333262%5Ctimes10%5E%7B-5%7D%24%20eV%20K%24%5E%7B-1%7D%24.%20Every%20plotted%20point%20comes%0A%20%20%20%20from%20these%20two%20mass-action%20laws%20plus%20exact%20charge%20neutrality.%20Limiting%0A%20%20%20%20Brouwer%20balances%20are%20used%20only%20afterward%2C%20as%20interpretation%20and%20checks.%0A%0A%20%20%20%20Activities%20are%20approximated%20by%20the%20displayed%20concentrations.%20The%20activity%0A%20%20%20%20of%20regular%20oxygen%20sites%20is%20absorbed%20into%20%24K_%7Bred%7D%24%2C%20and%20oxygen%20activity%20is%0A%20%20%20%20represented%20by%20%24a_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%3Dp_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%2Fp%5E%5Ccirc%24%20with%0A%20%20%20%20%24p%5E%5Ccirc%3D1%24%20bar%3B%20numerically%2C%20this%20is%20the%20displayed%20pressure%20in%20bar.%20At%0A%20%20%20%20fixed%20%24T%24%2C%20%24%5Cmu_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%3D%5Cmu_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%5Ccirc%0A%20%20%20%20%2BRT%5Cln%20a_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%2C%20so%20the%20horizontal%20axis%20is%20also%20a%20linear%0A%20%20%20%20chemical-potential%20coordinate.%0A%0A%20%20%20%20**Parameter%20source.**%20The%20numerical%20%24K_%7Bred%7D%24%20and%20%24K_%7Beh%7D%24%20expressions%20are%0A%20%20%20%20reported%20for%20SrTiO%24_3%24%20in%20Usler%2C%20Ketter%2C%20and%20De%20Souza%2C%0A%20%20%20%20%5B*Phys.%20Chem.%20Chem.%20Phys.*%20**26**%20(2024)%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1039%2FD3CP05870K).%0A%20%20%20%20They%20are%20used%20here%20as%20a%20concentration-form%20teaching%20parameterization.%20The%0A%20%20%20%20source%20does%20not%20define%20one%20universal%20rectangular%20%24T%24--%24p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%0A%20%20%20%20fit%20window%20for%20these%20condensed%20expressions%2C%20so%20conditions%20far%20from%20the%0A%20%20%20%20documented%20dilute-defect%20regime%20should%20be%20read%20as%20extrapolation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Brouwer%20diagram%20explorer%3A%20acceptor-doped%20%24%5Cmathrm%7BSrTiO_3%7D%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Where%20does%20the%20compensating%20charge%20go%20when%20oxygen%20leaves%20the%20crystal%3F**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Removing%20lattice%20oxygen%20creates%20positively%20charged%20oxygen%20vacancies%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrons.%20Fixed%20acceptor%20dopants%20and%20holes%20also%20enter%20the%20charge%20balance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Changing%20oxygen%20pressure%20shifts%20these%20populations%20together%3B%20the%20slopes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20of%20a%20Brouwer%20diagram%20tell%20us%20which%20balance%20dominates.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20We%20keep%20only%20oxygen%20vacancies%20%24V%3D%5BV_%7B%5Cmathrm%7BO%7D%7D%5E%7B%5Cbullet%5Cbullet%7D%5D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrons%20%24n%3D%5Be'%5D%24%2C%20holes%20%24p%3D%5Bh%5E%5Cbullet%5D%24%2C%20and%20fixed%20ionized%20acceptors%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24A%3D%5BA_%7B%5Cmathrm%7BTi%7D%7D'%5D%24.%20Each%20oxygen%20vacancy%20contributes%20two%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20effective%20charges%2C%20so%20electroneutrality%20requires%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cboxed%7B2V%2Bp%3DA%2Bn%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Mass%20action%20then%20determines%20how%20oxygen%20pressure%20redistributes%20that%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge.%20The%20reaction%20equations%20and%20constants%20are%20in%20Model%20details%20below.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20curves%20solve%20mass%20action%20and%20charge%20neutrality%20together%3B%20dominant%0A%20%20%20%20%20%20%20%20balances%20explain%20their%20slopes%20after%20the%20solution%20is%20known.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Concentrations%20use%20%24%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-3%7D%7D%24%2C%20%24p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%20uses%20bar%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20%24T%24%20uses%20K.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20%E2%80%94%20reactions%2C%20constants%2C%20notation%2C%20and%20assumptions%22%3A%20model_details%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20optimize)%3A%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%20%3D%208.617333262e-5%0A%0A%20%20%20%20def%20log_equilibrium_constants(temperature_k)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20ln(K_red)%20and%20ln(K_eh)%20for%20temperature_k%20in%20K.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20K_red%20is%20referenced%20to%20concentrations%20in%20cm%5E-3%20and%20oxygen%20pressure%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bar%2C%20so%20its%20units%20are%20cm%5E-9%20bar%5E(1%2F2).%20K_eh%20has%20units%20cm%5E-6.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(temperature_k)%20or%20temperature_k%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22temperature_k%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_k_red%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(6.616)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%2068.0%20*%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%205.581%20%2F%20(KB_EV_PER_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_k_eh%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(7.49)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%2045.0%20*%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%203.459%20%2F%20(KB_EV_PER_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20log_k_red%2C%20log_k_eh%0A%0A%20%20%20%20def%20solve_equilibrium(oxygen_pressure_bar%2C%20temperature_k%2C%20acceptor_cm3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20one%20positive%20equilibrium%20point%20in%20canonical%20units.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Parameters%20are%20oxygen%20pressure%20in%20bar%2C%20temperature%20in%20K%2C%20and%20fixed%0A%20%20%20%20%20%20%20%20acceptor%20concentration%20in%20cm%5E-3.%20Returned%20V%2C%20n%2C%20and%20p%20are%20in%20cm%5E-3.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20mass-action%20laws%20eliminate%20V%20and%20p%20exactly.%20The%20remaining%20charge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20balance%20is%20solved%20for%20ln(n)%20with%20a%20bracketed%20root%20finder.%20Its%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20side%20decreases%20monotonically%20while%20its%20negative%20side%20increases%2C%20so%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positive%20solution%20is%20unique.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(oxygen_pressure_bar)%20or%20oxygen_pressure_bar%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22oxygen_pressure_bar%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(acceptor_cm3)%20or%20acceptor_cm3%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22acceptor_cm3%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_k_red%2C%20log_k_eh%20%3D%20log_equilibrium_constants(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%20%3D%20np.log(oxygen_pressure_bar)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_acceptor%20%3D%20np.log(acceptor_cm3)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20log_charge_balance(log_n)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_v%20%3D%20log_k_red%20-%202.0%20*%20log_n%20-%200.5%20*%20log_pressure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_p%20%3D%20log_k_eh%20-%20log_n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_positive%20%3D%20np.logaddexp(np.log(2.0)%20%2B%20log_v%2C%20log_p)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_negative%20%3D%20np.logaddexp(log_acceptor%2C%20log_n)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20log_positive%20-%20log_negative%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_n%20%3D%20optimize.brentq(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_charge_balance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(1.0e-80)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(1.0e40)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xtol%3D1.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D4.0%20*%20np.finfo(float).eps%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_v%20%3D%20log_k_red%20-%202.0%20*%20log_n%20-%200.5%20*%20log_pressure%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_p%20%3D%20log_k_eh%20-%20log_n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(log_v)%2C%20np.exp(log_n)%2C%20np.exp(log_p)%0A%0A%20%20%20%20def%20solve_curve(oxygen_pressures_bar%2C%20temperature_k%2C%20acceptor_cm3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20a%201-D%20pressure%20grid%3B%20no%20Brouwer%20power%20law%20is%20used.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pressures%20%3D%20np.asarray(oxygen_pressures_bar%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pressures.ndim%20!%3D%201%20or%20pressures.size%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22oxygen_pressures_bar%20must%20be%20a%20non-empty%201-D%20array%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.all(np.isfinite(pressures))%20or%20np.any(pressures%20%3C%3D%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22all%20oxygen%20pressures%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20vacancies%20%3D%20np.empty_like(pressures)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrons%20%3D%20np.empty_like(pressures)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20holes%20%3D%20np.empty_like(pressures)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20pressure%20in%20enumerate(pressures)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vacancies%5Bindex%5D%2C%20electrons%5Bindex%5D%2C%20holes%5Bindex%5D%20%3D%20solve_equilibrium(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pressure%2C%20temperature_k%2C%20acceptor_cm3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22V%22%3A%20vacancies%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20electrons%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22p%22%3A%20holes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22A%22%3A%20np.full_like(pressures%2C%20acceptor_cm3)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20log_equilibrium_constants%2C%20solve_curve%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20temperature%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D700%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1500%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D973%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20(K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_acceptor%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D13.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D21.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D18.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Acceptor%20concentration%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20guide_regime%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22None%22%2C%20%22Reducing%22%2C%20%22Acceptor-compensated%22%2C%20%22Oxidizing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22None%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Optional%20limiting%20guide%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btemperature%2C%20log_acceptor%2C%20guide_regime%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20controls%2C%20guide_regime%2C%20log_acceptor%2C%20temperature%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%20Explore%20the%20exact%20equilibrium%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20acceptor%20control%20sets%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24A%3D10%5Ex%5C%2C%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-3%7D%7D%24.%20The%20optional%20guide%20draws%20only%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22one%20limiting%20regime%20at%20a%20time%3B%20it%20never%20changes%20the%20solved%20curves.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20pressure%20window%20is%20fixed%20at%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%2410%5E%7B-25%7D%5Cleq%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5Cleq%201%24%20bar%20so%20temperatures%20and%20acceptor%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22levels%20can%20be%20compared%20directly.%5Cn%5Cn%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22**Suggested%20comparisons%3A**%20keep%20the%20973%20K%2C%20%2410%5E%7B18%7D%24%20cm%24%5E%7B-3%7D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22default%20for%20the%20acceptor%20plateau%3B%20raise%20%24T%24%20toward%201500%20K%20to%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bring%20intrinsic%20reduction%20into%20view%3B%20or%20try%20850%20K%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Clog_%7B10%7DA%5Capprox13.3%24%20to%20reveal%20oxidizing%20compensation.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(log_acceptor%2C%20log_equilibrium_constants%2C%20np%2C%20solve_curve%2C%20temperature)%3A%0A%20%20%20%20oxygen_pressure%20%3D%20np.logspace(-25.0%2C%200.0%2C%20301)%0A%20%20%20%20acceptor%20%3D%2010.0%20**%20log_acceptor.value%0A%20%20%20%20concentrations%20%3D%20solve_curve(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20oxygen_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(temperature.value)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20acceptor%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_pressure%20%3D%20np.log10(oxygen_pressure)%0A%20%20%20%20local_slopes%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20species%3A%20np.gradient(np.log10(values)%2C%20log_pressure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20species%2C%20values%20in%20concentrations.items()%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20log_k_red%2C%20log_k_eh%20%3D%20log_equilibrium_constants(float(temperature.value))%0A%20%20%20%20thermodynamic_state%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_k_red%22%3A%20float(log_k_red%20%2F%20np.log(10.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_k_eh%22%3A%20float(log_k_eh%20%2F%20np.log(10.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_intrinsic_carrier%22%3A%20float(0.5%20*%20log_k_eh%20%2F%20np.log(10.0))%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20acceptor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local_slopes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20oxygen_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermodynamic_state%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(acceptor%2C%20mo%2C%20temperature%2C%20thermodynamic_state)%3A%0A%20%20%20%20state_details%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Current%20thermodynamic%20state%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Quantity%20%7C%20Value%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24T%24%20%7C%20%7Btemperature.value%3A.0f%7D%20K%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24A%24%20%7C%20%7Bacceptor%3A.3e%7D%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(K_%7B%7Bred%7D%7D%2F%5B%5Cmathrm%7B%7Bcm%5E%7B%7B-9%7D%7D%5C%2Cbar%5E%7B%7B1%2F2%7D%7D%7D%7D%5D)%24%20%7C%20%7Bthermodynamic_state%5B'log10_k_red'%5D%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(K_%7B%7Beh%7D%7D%2F%5B%5Cmathrm%7B%7Bcm%5E%7B%7B-6%7D%7D%7D%7D%5D)%24%20%7C%20%7Bthermodynamic_state%5B'log10_k_eh'%5D%3A.3f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(%5Csqrt%7B%7BK_%7B%7Beh%7D%7D%7D%7D%2F%5B%5Cmathrm%7B%7Bcm%5E%7B%7B-3%7D%7D%7D%7D%5D)%24%20%7C%20%7Bthermodynamic_state%5B'log10_intrinsic_carrier'%5D%3A.3f%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csqrt%7B%7BK_%7B%7Beh%7D%7D%7D%7D%24%20is%20the%20concentration%20at%20the%20electron%E2%80%93hole%20crossover%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24n%3Dp%24%3B%20it%20is%20a%20derived%20scale%2C%20not%20a%20condition%20imposed%20in%20advance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20%E2%80%94%20selected%20equilibrium%20constants%22%3A%20state_details%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(acceptor%2C%20concentrations%2C%20log_pressure%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20vacancies%20%3D%20concentrations%5B%22V%22%5D%0A%20%20%20%20electrons%20%3D%20concentrations%5B%22n%22%5D%0A%20%20%20%20holes%20%3D%20concentrations%5B%22p%22%5D%0A%20%20%20%20dominance_tolerance%20%3D%200.10%0A%0A%20%20%20%20regime_masks%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22reducing%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(np.abs(2.0%20*%20vacancies%20%2F%20electrons%20-%201.0)%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(acceptor%20%2F%20electrons%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(holes%20%2F%20electrons%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22acceptor%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(np.abs(2.0%20*%20vacancies%20%2F%20acceptor%20-%201.0)%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(electrons%20%2F%20acceptor%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(holes%20%2F%20acceptor%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22oxidizing%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(np.abs(holes%20%2F%20acceptor%20-%201.0)%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(electrons%20%2F%20acceptor%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(2.0%20*%20vacancies%20%2F%20acceptor%20%3C%20dominance_tolerance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20log_carrier_ratio%20%3D%20np.log10(electrons)%20-%20np.log10(holes)%0A%20%20%20%20if%20log_carrier_ratio%5B0%5D%20*%20log_carrier_ratio%5B-1%5D%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_log_pressure%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.interp(0.0%2C%20log_carrier_ratio%5B%3A%3A-1%5D%2C%20log_pressure%5B%3A%3A-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_log_pressure%20%3D%20None%0A%20%20%20%20return%20crossover_log_pressure%2C%20regime_masks%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20acceptor%2C%0A%20%20%20%20concentrations%2C%0A%20%20%20%20local_slopes%2C%0A%20%20%20%20log_equilibrium_constants%2C%0A%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20oxygen_pressure%2C%0A%20%20%20%20regime_masks%2C%0A%20%20%20%20temperature%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20median_slope(species%2C%20mask)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.count_nonzero(mask)%20%3C%208%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(np.median(local_slopes%5Bspecies%5D%5Bmask%5D))%0A%0A%20%20%20%20def%20sampled_span(mask)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20np.flatnonzero(mask)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20indices.size%20%3C%208%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(log_pressure%5Bindices%5B0%5D%5D)%2C%20float(log_pressure%5Bindices%5B-1%5D%5D)%0A%0A%20%20%20%20_log_k_red%2C%20_log_k_eh%20%3D%20log_equilibrium_constants(float(temperature.value))%0A%20%20%20%20v_values%20%3D%20concentrations%5B%22V%22%5D%0A%20%20%20%20n_values%20%3D%20concentrations%5B%22n%22%5D%0A%20%20%20%20p_values%20%3D%20concentrations%5B%22p%22%5D%0A%0A%20%20%20%20red_log_residual%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(v_values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%202.0%20*%20np.log(n_values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%200.5%20*%20np.log(oxygen_pressure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_log_k_red%0A%20%20%20%20)%20%2F%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20eh_log_residual%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(n_values)%20%2B%20np.log(p_values)%20-%20_log_k_eh%0A%20%20%20%20)%20%2F%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20charge_residual%20%3D%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20v_values%20%2B%20p_values%20-%20acceptor%20-%20n_values%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(2.0%20*%20v_values%20%2B%20p_values%20%2B%20acceptor%20%2B%20n_values)%0A%0A%20%20%20%20sanity%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22positive%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all(np.all(values%20%3E%200.0)%20for%20values%20in%20concentrations.values())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22finite%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20all(np.all(np.isfinite(values))%20for%20values%20in%20concentrations.values())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22red_residual%22%3A%20float(np.max(np.abs(red_log_residual)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22eh_residual%22%3A%20float(np.max(np.abs(eh_log_residual)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22charge_residual%22%3A%20float(np.max(charge_residual))%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20slope_summary%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22reducing%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22span%22%3A%20sampled_span(regime_masks%5B%22reducing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22V%22%3A%20median_slope(%22V%22%2C%20regime_masks%5B%22reducing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20median_slope(%22n%22%2C%20regime_masks%5B%22reducing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22p%22%3A%20median_slope(%22p%22%2C%20regime_masks%5B%22reducing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22acceptor%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22span%22%3A%20sampled_span(regime_masks%5B%22acceptor%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22V%22%3A%20median_slope(%22V%22%2C%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20median_slope(%22n%22%2C%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22p%22%3A%20median_slope(%22p%22%2C%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22oxidizing%22%3A%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22span%22%3A%20sampled_span(regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22V%22%3A%20median_slope(%22V%22%2C%20regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22n%22%3A%20median_slope(%22n%22%2C%20regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22p%22%3A%20median_slope(%22p%22%2C%20regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20sanity%2C%20slope_summary%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(log_pressure%2C%20np)%3A%0A%20%20%20%20def%20add_slope_guide(axis%2C%20y_values%2C%20mask%2C%20slope%2C%20label)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Draw%20a%20short%20comparison%20segment%20without%20changing%20calculated%20data.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20indices%20%3D%20np.flatnonzero(mask)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20indices.size%20%3C%208%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20center_index%20%3D%20int(indices%5Bindices.size%20%2F%2F%202%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20available_span%20%3D%20log_pressure%5Bindices%5B-1%5D%5D%20-%20log_pressure%5Bindices%5B0%5D%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20half_width%20%3D%20min(1.25%2C%20max(0.35%2C%200.22%20*%20available_span))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_center%20%3D%20log_pressure%5Bcenter_index%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_guide%20%3D%20np.array(%5Bx_center%20-%20half_width%2C%20x_center%20%2B%20half_width%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_center%20%3D%20np.log10(y_values%5Bcenter_index%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_guide%20%3D%20y_center%20%2B%20slope%20*%20(x_guide%20-%20x_center)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_guide%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20y_guide%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D(0%2C%20(4%2C%202))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(x_guide%5B-1%5D%2C%20y_guide%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(5%2C%203)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20textcoords%3D%22offset%20points%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22black%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20return%20(add_slope_guide%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20add_slope_guide%2C%0A%20%20%20%20concentrations%2C%0A%20%20%20%20crossover_log_pressure%2C%0A%20%20%20%20guide_regime%2C%0A%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20regime_masks%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_guide_mask_name%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Reducing%22%3A%20%22reducing%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Acceptor-compensated%22%3A%20%22acceptor%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Oxidizing%22%3A%20%22oxidizing%22%2C%0A%20%20%20%20%7D.get(guide_regime.value)%0A%20%20%20%20_guide_available%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_guide_mask_name%20is%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20or%20np.count_nonzero(regime_masks%5B_guide_mask_name%5D)%20%3E%3D%208%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20guide_status_message%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_guide_available%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22The%20selected%20limiting%20guide%20is%20not%20sampled%20in%20the%20current%20temperature%2C%20acceptor%20concentration%2C%20and%20oxygen-pressure%20window%2C%20so%20no%20dashed%20guide%20is%20drawn.%22%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lines.linewidth%22%3A%201.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20figure%2C%20axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7.8%2C%206.0)%2C%20dpi%3D120)%0A%0A%20%20%20%20axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log10(concentrations%5B%22V%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C27A50%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24V_%7B%5Cmathrm%7BO%7D%7D%5E%7B%5Cbullet%5Cbullet%7D%24%20(%24V%24)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log10(concentrations%5B%22n%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23557FA3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24e'%24%20(%24n%24)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log10(concentrations%5B%22p%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24h%5E%5Cbullet%24%20(%24p%24)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log10(concentrations%5B%22A%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23666D73%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22fixed%20%24A_%7B%5Cmathrm%7BTi%7D%7D'%24%20(%24A%24)%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%20crossover_log_pressure%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.axvline(crossover_log_pressure%2C%20color%3D%22%23666666%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_log_pressure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.04%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%20%24n%3Dp%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3Daxis.get_xaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rotation%3D90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23666D73%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%0A%20%20%20%20if%20guide_regime.value%20%3D%3D%20%22Reducing%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22n%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22reducing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-1.0%20%2F%206.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24n%2CV%3A%5C%3B-1%2F6%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22V%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22reducing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-1.0%20%2F%206.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20guide_regime.value%20%3D%3D%20%22Acceptor-compensated%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22n%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-1.0%20%2F%204.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24n%3A%5C%3B-1%2F4%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22p%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%204.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24p%3A%5C%3B%2B1%2F4%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22V%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22acceptor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24V%3A%5C%3B0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20guide_regime.value%20%3D%3D%20%22Oxidizing%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22V%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-1.0%20%2F%202.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24V%3A%5C%3B-1%2F2%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20add_slope_guide(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%5B%22p%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regime_masks%5B%22oxidizing%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24p%3A%5C%3B0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20plotted_logs%20%3D%20np.concatenate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnp.log10(values)%20for%20values%20in%20concentrations.values()%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis.set_ylim(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.floor(plotted_logs.min())%20-%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.ceil(plotted_logs.max())%20%2B%200.7%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20axis.set_xlim(-25.0%2C%200.0)%0A%20%20%20%20axis.set_xlabel(r%22%24%5Clog_%7B10%7D(p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%2F%5Cmathrm%7Bbar%7D)%24%22)%0A%20%20%20%20axis.set_ylabel(r%22%24%5Clog_%7B10%7D(c%5C%2C%2F%5C%2C%5Cmathrm%7Bcm%7D%5E%7B-3%7D)%24%22)%0A%20%20%20%20axis.set_title(r%22Exact%20defect%20equilibrium%20in%20%24%5Cmathrm%7BSrTiO_3%7D%24%22)%0A%20%20%20%20axis.xaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(5.0))%0A%20%20%20%20axis.xaxis.set_minor_locator(plt.MultipleLocator(1.0))%0A%20%20%20%20axis.grid(which%3D%22major%22%2C%20color%3D%22%23B0B0B0%22%2C%20alpha%3D0.40)%0A%20%20%20%20axis.grid(which%3D%22minor%22%2C%20color%3D%22%23D0D0D0%22%2C%20alpha%3D0.18)%0A%20%20%20%20axis.legend(loc%3D%22upper%20center%22%2C%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.14)%2C%20ncols%3D2%2C%20frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(figure)%0A%20%20%20%20return%20figure%2C%20guide_status_message%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(figure%2C%20guide_status_message%2C%20log_acceptor%2C%20mo%2C%20temperature)%3A%0A%20%20%20%20_items%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%24T%3D%7Btemperature.value%3A.0f%7D%24%20K%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24A%3D10%5E%7B%7B%7Blog_acceptor.value%3A.1f%7D%7D%7D%24%20cm%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20if%20guide_status_message%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_items.append(mo.callout(guide_status_message%2C%20kind%3D%22info%22))%0A%20%20%20%20mo.vstack(_items)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Every%20colored%20line%20comes%20from%20the%20full%20equilibrium%20equations.%20The%20dotted%0A%20%20%20%20vertical%20line%20is%20the%20derived%20crossover%20%24n%3Dp%24%2C%20not%20an%20imposed%20regime%0A%20%20%20%20boundary.%20Select%20one%20optional%20dashed%20guide%20to%20compare%20local%20numerical%0A%20%20%20%20slopes%20with%20a%20limiting%20Brouwer%20prediction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(crossover_log_pressure%2C%20mo%2C%20sanity%2C%20slope_summary)%3A%0A%20%20%20%20def%20check_mark(passed)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20passed%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20def%20slope_cell(value%2C%20expected%2C%20tolerance%3D0.035)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20value%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22not%20sampled%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mark%20%3D%20%22%E2%9C%93%22%20if%20abs(value%20-%20expected)%20%3C%20tolerance%20else%20%22%E2%96%B3%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bmark%7D%20%7Bvalue%3A%2B.3f%7D%22%0A%0A%20%20%20%20def%20span_cell(span)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20span%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22not%20sampled%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20f%22%7Bspan%5B0%5D%3A.2f%7D%20to%20%7Bspan%5B1%5D%3A.2f%7D%22%0A%0A%20%20%20%20concentration_mark%20%3D%20check_mark(sanity%5B%22positive%22%5D%20and%20sanity%5B%22finite%22%5D)%0A%20%20%20%20equilibrium_mark%20%3D%20check_mark(sanity%5B%22red_residual%22%5D%20%3C%201e-10%20and%20sanity%5B%22eh_residual%22%5D%20%3C%201e-10)%0A%20%20%20%20charge_mark%20%3D%20check_mark(sanity%5B%22charge_residual%22%5D%20%3C%201e-12)%0A%20%20%20%20if%20crossover_log_pressure%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_text%20%3D%20%22outside%20the%20plotted%20pressure%20window%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20crossover_text%20%3D%20f%22%24p_%7B%7B%5C%5Cmathrm%7B%7BO_2%7D%7D%7D%7D%3D%7B10.0%20**%20crossover_log_pressure%3A.3e%7D%24%20bar%22%0A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Physical%20consistency%20checks%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20status%20%7C%20physical%20statement%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%3A%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7Bconcentration_mark%7D%20%7C%20all%20concentrations%20are%20positive%20and%20finite%20%7C%20every%20plotted%20point%20represents%20a%20physical%20concentration%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7Bequilibrium_mark%7D%20%7C%20both%20mass-action%20laws%20hold%20across%20the%20pressure%20range%20%7C%20the%20defect%20reactions%20remain%20at%20equilibrium%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7Bcharge_mark%7D%20%7C%20exact%20electroneutrality%20is%20satisfied%20%7C%20positive%20and%20negative%20charge%20balance%20at%20every%20pressure%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20electron%E2%80%93hole%20crossover%20is%20%7Bcrossover_text%7D.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Where%20limiting%20regimes%20are%20visible%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20regime%20is%20labeled%20only%20where%20the%20displayed%20concentrations%20clearly%0A%20%20%20%20%20%20%20%20support%20its%20limiting%20charge%20balance.%20Pressure%20spans%20are%20reported%20as%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Clog_%7B%7B10%7D%7D(p_%7B%7B%5Cmathrm%7B%7BO_2%7D%7D%7D%7D%2F%5Cmathrm%7B%7Bbar%7D%7D)%24%3B%20%E2%80%9Cnot%20sampled%E2%80%9D%20simply%20means%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected%20window%20does%20not%20reach%20that%20limit.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Limiting%20balance%20%7C%20Sampled%20span%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20n%24%20(intrinsic%20reduction)%20%7C%20%7Bspan_cell(slope_summary%5B'reducing'%5D%5B'span'%5D)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20A%24%20(acceptor%20compensation)%20%7C%20%7Bspan_cell(slope_summary%5B'acceptor'%5D%5B'span'%5D)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24p%5Csimeq%20A%24%20(oxidizing%20compensation)%20%7C%20%7Bspan_cell(slope_summary%5B'oxidizing'%5D%5B'span'%5D)%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Balance%20%7C%20Species%20%7C%20Expected%20%7C%20Median%20numerical%20slope%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C---%3A%7C---%3A%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20n%24%20%7C%20%24V%24%20%7C%20%24-1%2F6%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'reducing'%5D%5B'V'%5D%2C%20-1%2F6)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20n%24%20%7C%20%24n%24%20%7C%20%24-1%2F6%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'reducing'%5D%5B'n'%5D%2C%20-1%2F6)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20n%24%20plus%20%24np%3DK_%7B%7Beh%7D%7D%24%20%7C%20%24p%24%20%7C%20%24%2B1%2F6%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'reducing'%5D%5B'p'%5D%2C%201%2F6)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20A%24%20%7C%20%24V%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'acceptor'%5D%5B'V'%5D%2C%200)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20A%24%20%7C%20%24n%24%20%7C%20%24-1%2F4%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'acceptor'%5D%5B'n'%5D%2C%20-1%2F4)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%242V%5Csimeq%20A%24%20plus%20%24np%3DK_%7B%7Beh%7D%7D%24%20%7C%20%24p%24%20%7C%20%24%2B1%2F4%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'acceptor'%5D%5B'p'%5D%2C%201%2F4)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24p%5Csimeq%20A%24%20%7C%20%24p%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'oxidizing'%5D%5B'p'%5D%2C%200)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24p%5Csimeq%20A%24%20plus%20%24np%3DK_%7B%7Beh%7D%7D%24%20%7C%20%24n%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'oxidizing'%5D%5B'n'%5D%2C%200)%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%24p%5Csimeq%20A%24%20%7C%20%24V%24%20%7C%20%24-1%2F2%24%20%7C%20%7Bslope_cell(slope_summary%5B'oxidizing'%5D%5B'V'%5D%2C%20-1%2F2)%7D%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%E2%9C%93%20means%20the%20curve%20has%20reached%20the%20expected%20limiting%20slope%3B%20%E2%96%B3%20means%20it%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20still%20approaching%20that%20limit.%20These%20slopes%20are%20measured%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full-equilibrium%20curves%2C%20not%20imposed%20beforehand.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Where%20the%20power%20laws%20come%20from%0A%0A%20%20%20%20None%20of%20these%20slopes%20is%20assumed%20in%20the%20plotted%20curves.%20They%20emerge%20when%0A%20%20%20%20particular%20terms%20dominate%20the%20exact%20charge-neutrality%20equation%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Strong%20reduction%3A**%20if%20%242V%5Csimeq%20n%24%2C%20substitution%20into%0A%20%20%20%20%20%20%24K_%7Bred%7D%3DVn%5E2p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B1%2F2%7D%24%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%24V%2Cn%5Cpropto%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B-1%2F6%7D%24.%20Since%20%24np%3DK_%7Beh%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%24p%5Cpropto%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B%2B1%2F6%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20**Acceptor-compensated%20plateau%3A**%20if%20%242V%5Csimeq%20A%24%2C%20then%20%24V%24%20has%20slope%20zero%2C%0A%20%20%20%20%20%20%24n%5Cpropto%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B-1%2F4%7D%24%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%24p%3DK_%7Beh%7D%2Fn%5Cpropto%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B%2B1%2F4%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20**Strong%20oxidation%3A**%20if%20%24p%5Csimeq%20A%24%2C%20then%20%24p%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%24n%3DK_%7Beh%7D%2Fp%24%20approach%20slope-zero%20plateaus%2C%20while%0A%20%20%20%20%20%20%24V%5Cpropto%20p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%5E%7B-1%2F2%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20**Relation%20to%20the%20lecture%20diagrams.**%20Lecture%202%20first%20builds%20an%20intrinsic%0A%20%20%20%20example%20containing%20oxygen%20interstitials%20as%20well%20as%20vacancies.%20This%20notebook%0A%20%20%20%20instead%20selects%20fixed%20acceptor%20dopants%20as%20the%20negative%20ionic%20compensation.%0A%20%20%20%20Its%20oxidizing%20limit%20is%20therefore%20a%20hole%20plateau%2C%20rather%20than%20the%20growing%0A%20%20%20%20hole%2Finterstitial%20pair%20in%20that%20intrinsic%20example.%20Transfer%20the%20dominant-%0A%20%20%20%20balance%20method%20between%20models%2C%20and%20check%20the%20retained%20species%20before%0A%20%20%20%20transferring%20a%20slope.%0A%0A%20%20%20%20The%20bends%20between%20these%20limits%20are%20not%20patched%20together.%20They%20appear%20because%0A%20%20%20%20all%20four%20terms%20in%20%242V%2Bp%3DA%2Bn%24%20are%20retained%20while%20the%20balance%20changes%20smoothly.%0A%20%20%20%20Likewise%2C%20the%20point%20%24n%3Dp%24%20separates%20electron-rich%20and%20hole-rich%20behavior%20but%0A%20%20%20%20is%20not%20itself%20a%20charge-compensation%20approximation.%0A%0A%20%20%20%20**Assumptions.**%20Defects%20and%20carriers%20are%20treated%20as%20dilute%20ideal%20species%3B%0A%20%20%20%20activities%20are%20represented%20by%20concentrations%20in%20the%20stated%20units%3B%20oxygen%0A%20%20%20%20site%20activity%20is%20absorbed%20in%20%24K_%7Bred%7D%24%3B%20oxygen%20activity%20is%20represented%20by%0A%20%20%20%20pressure%20in%20bar%3B%20acceptors%20are%20fixed%20and%20fully%20ionized.%20Cation%20defects%2C%0A%20%20%20%20defect%20complexes%2C%20band-density%20limits%2C%20non-ideal%20activities%2C%20and%20changes%20in%0A%20%20%20%20site%20density%20are%20deliberately%20outside%20this%20first%20teaching%20model.%0A%0A%20%20%20%20At%20every%20pressure%2C%20both%20mass-action%20laws%20and%20exact%20electroneutrality%20are%0A%20%20%20%20satisfied%20together.%20No%20limiting%20Brouwer%20balance%20is%20used%20to%20draw%20the%20curves.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%201.%20**The%20concentration%20lines%20are%20the%20full%20equilibrium.**%20Two%20mass-action%20laws%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20exact%20%242V%2Bp%3DA%2Bn%24%20determine%20every%20plotted%20point.%0A%20%20%20%202.%20**A%20Brouwer%20condition%20is%20an%20interpretation.**%20Dominant%20charge-balance%0A%20%20%20%20%20%20%20terms%20explain%20plateaus%20and%20slopes%20only%20after%20the%20exact%20solution%20reveals%0A%20%20%20%20%20%20%20that%20the%20assumed%20terms%20really%20dominate.%0A%20%20%20%203.%20**Pressure%20is%20a%20chemical-potential%20control.**%20Changing%20%24p_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%20shifts%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu_%7B%5Cmathrm%7BO_2%7D%7D%24%20and%20smoothly%20changes%20which%20defects%20or%20carriers%20compensate%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20fixed%20acceptors.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2003%20%E2%80%94%20Defect%20Transport%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F03-defect-transport%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%202%2C%20slides%207%E2%80%9320%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture2_brouwer_diagram.pdf)%3A%20charge%20balance%2C%20intrinsic%20and%20doped%20Brouwer%20diagrams%2C%20and%20SrTiO3.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A