03 defect transport

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.function%0Adef%20scientific_03(value)%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22Typeset%20a%20finite%20readout%20without%20treating%20e-notation%20as%20algebra.%22%22%22%0A%20%20%20%20mantissa%2C%20exponent%20%3D%20f%22%7Bvalue%3A.3e%7D%22.split(%22e%22)%0A%20%20%20%20return%20rf%22%7Bmantissa%7D%5Ctimes10%5E%7B%7B%7Bint(exponent)%7D%7D%7D%22%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_03(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boxes%20%3D%20%5Baxis.get_tightbbox(renderer).transformed(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08)%20for%20axis%20in%20figure.axes%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axis%2C%20box)%20in%20enumerate(zip(figure.axes%2C%20boxes))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20is%20axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axis.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%3Bmax-width%3A42rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rendered%20%3D%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20heading%20%3D%20figure._suptitle.get_text()%20if%20figure._suptitle%20is%20not%20None%20else%20%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.vstack(%5Bmo.md(heading)%2C%20rendered%5D)%20if%20heading%20else%20rendered%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_03%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Defect%20transport%3A%20from%20atomic%20hopping%20to%20chemical%20diffusion%0A%0A%20%20%20%20**How%20can%20random%20atomic%20hops%20produce%20a%20predictable%20diffusivity%3F**%0A%0A%20%20%20%20A%20single%20defect%20wanders%20unpredictably%2C%20but%20many%20identical%20defects%20obey%20a%0A%20%20%20%20simple%20statistical%20law.%20In%20one%20dimension%20we%20use%20the%20convention%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5CGamma%3D%5Cnu%20e%5E%7B-%5CDelta%20H_%7B%5Crm%20mig%7D%2F(k_BT)%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20D%3D%5Cfrac%7Ba%5E2%5CGamma%7D%7B2%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20build%20that%20result%20visually%3A%20one%20activated%20hop%2C%20many%20random%20hops%2C%0A%20%20%20%20net%20exchange%20across%20a%20concentration%20gradient%2C%20and%20finally%20the%20coupled%0A%20%20%20%20motion%20of%20%5C(%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%5C)%20and%20electrons%20during%20chemical%20diffusion.%0A%20%20%20%20Every%20spatial%20picture%20is%20one-dimensional.%0A%0A%20%20%20%20**Reading%20in%20two%20sessions.**%20Sections%201%E2%80%932%20connect%20activated%20hops%20to%20diffusion%0A%20%20%20%20and%20Fick's%20law.%20Pause%20there%20to%20explain%20how%20random%20motion%20can%20give%20a%20net%20flux.%0A%20%20%20%20Sections%203%E2%80%934%20add%20an%20electric%20field%20and%20then%20coupled%20ion%E2%80%93electron%20transport.%0A%20%20%20%20This%20follows%20the%20microscopic%2C%20macroscopic%2C%20and%20chemical-diffusion%20themes%0A%20%20%20%20of%20Lectures%204%2C%203%2C%20and%205%2C%20respectively.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%20%3D%208.617333262e-5%0A%20%20%20%20KB_J_PER_K%20%3D%201.380649e-23%0A%20%20%20%20E_CHARGE_C%20%3D%201.602176634e-19%0A%20%20%20%20AVOGADRO_PER_MOL%20%3D%206.02214076e23%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20%3D%20E_CHARGE_C%20*%20AVOGADRO_PER_MOL%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20%3D%20KB_J_PER_K%20*%20AVOGADRO_PER_MOL%0A%0A%20%20%20%20def%20require_positive(name%2C%20value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20positive%20finite%20scalar.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%3D%20float(value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(number)%20or%20number%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bname%7D%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20number%0A%0A%20%20%20%20def%20hop_frequency(temperature_k%2C%20migration_enthalpy_ev%2C%20attempt_frequency_hz)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20Gamma%20%3D%20nu%20exp%5B-Delta%20H_mig%2F(k_B%20T)%5D%20in%20s%5E-1.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20barrier%20%3D%20require_positive(%22migration_enthalpy_ev%22%2C%20migration_enthalpy_ev)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20attempt%20%3D%20require_positive(%22attempt_frequency_hz%22%2C%20attempt_frequency_hz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20attempt%20*%20np.exp(-barrier%20%2F%20(KB_EV_PER_K%20*%20temperature))%0A%0A%20%20%20%20def%20hopping_diffusivity_1d(jump_distance_m%2C%20hop_frequency_hz)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20D%20%3D%20a%5E2%20Gamma%20%2F%202%20in%20m%5E2%2Fs%20for%20a%201D%20random%20walk.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20require_positive(%22jump_distance_m%22%2C%20jump_distance_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20require_positive(%22hop_frequency_hz%22%2C%20hop_frequency_hz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20distance**2%20*%20frequency%0A%0A%20%20%20%20def%20biased_directional_rates(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20Gamma_%2B%2C%20Gamma_-%2C%20and%20zero-field%20Gamma%20in%20s%5E-1.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Gamma%20is%20the%20total%20zero-field%20hop%20frequency%20used%20throughout%20this%20module.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20zero%20field%2C%20half%20of%20the%20hops%20go%20toward%20%2Bx%20and%20half%20toward%20-x.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20require_positive(%22jump_distance_m%22%2C%20jump_distance_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge%20%3D%20float(charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field%20%3D%20float(electric_field_v_per_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(charge)%20or%20charge%20%3D%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22charge_number%20must%20be%20finite%20and%20nonzero%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(field)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22electric_field_v_per_m%20must%20be%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20hop_frequency(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20half_bias%20%3D%20charge%20*%20field%20*%20distance%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20KB_EV_PER_K%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20frequency%20*%20np.exp(half_bias)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20frequency%20*%20np.exp(-half_bias)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20exact_hopping_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a(Gamma_%2B%20-%20Gamma_-)%20in%20m%2Fs.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20require_positive(%22jump_distance_m%22%2C%20jump_distance_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20distance%20*%20(float(forward_rate_hz)%20-%20float(backward_rate_hz))%0A%0A%20%20%20%20def%20nernst_einstein_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20low-field%20particle%20drift%20z%20e%20D%20E%2F(k_B%20T)%20in%20m%2Fs.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20require_positive(%22diffusivity_m2_per_s%22%2C%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20E_CHARGE_C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(electric_field_v_per_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(KB_J_PER_K%20*%20temperature)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20simulate_zero_field_walks(walker_count%3D6000%2C%20step_count%3D320%2C%20seed%3D2026)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20one%20fixed%20ensemble%20of%20unbiased%20one-dimensional%20lattice%20walks.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20output%20is%20expressed%20only%20in%20hop%20number%20and%20lattice-site%20units.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Physical%20distance%20and%20time%20are%20applied%20later%20through%20a%20and%20Gamma.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walkers%20%3D%20int(walker_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20steps%20%3D%20int(step_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20walkers%20%3C%202%20or%20steps%20%3C%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22walker_count%20and%20step_count%20must%20be%20at%20least%202%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rng%20%3D%20np.random.default_rng(int(seed))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20increments%20%3D%20rng.choice((-1.0%2C%201.0)%2C%20size%3D(walkers%2C%20steps))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_in_lattice_steps%20%3D%20np.concatenate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bnp.zeros((walkers%2C%201))%2C%20np.cumsum(increments%2C%20axis%3D1)%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hop_numbers%20%3D%20np.arange(steps%20%2B%201%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_square_steps%20%3D%20np.mean(positions_in_lattice_steps**2%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20hop_numbers%2C%20positions_in_lattice_steps%2C%20mean_square_steps%0A%0A%20%20%20%20def%20evolve_periodic_master_equation(initial_occupancy%2C%20hop_frequency_hz%2C%20time_s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Evolve%20dc_j%2Fdt%3D(Gamma%2F2)(c_%7Bj-1%7D-2c_j%2Bc_%7Bj%2B1%7D)%20in%201D.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20%3D%20np.asarray(initial_occupancy%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20profile.ndim%20!%3D%201%20or%20profile.size%20%3C%204%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22initial_occupancy%20must%20be%20a%201D%20array%20with%20at%20least%204%20sites%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(~np.isfinite(profile))%20or%20np.any(profile%20%3C%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22initial_occupancy%20must%20be%20finite%20and%20nonnegative%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20require_positive(%22hop_frequency_hz%22%2C%20hop_frequency_hz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elapsed%20%3D%20float(time_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(elapsed)%20or%20elapsed%20%3C%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22time_s%20must%20be%20finite%20and%20nonnegative%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modes%20%3D%20np.arange(profile.size)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20decay%20%3D%20np.exp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-2.0%20*%20frequency%20*%20elapsed%20*%20np.sin(np.pi%20*%20modes%20%2F%20profile.size)%20**%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.real(np.fft.ifft(np.fft.fft(profile)%20*%20decay))%0A%0A%20%20%20%20def%20discrete_bond_exchange_rates(occupancy%2C%20hop_frequency_hz)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20net%20crossings%20per%20second%20for%20each%20dimensionless%201D%20bond.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20%3D%20np.asarray(occupancy%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20require_positive(%22hop_frequency_hz%22%2C%20hop_frequency_hz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20frequency%20*%20(profile%20-%20np.roll(profile%2C%20-1))%0A%0A%20%20%20%20def%20fick_bond_exchange_rates(occupancy%2C%20jump_distance_m%2C%20diffusivity_m2_per_s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20-D%20dc%2Fdx%20for%20c%3Doccupancy%2Fa%20on%20each%201D%20bond%2C%20in%20s%5E-1.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20%3D%20np.asarray(occupancy%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20require_positive(%22jump_distance_m%22%2C%20jump_distance_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20require_positive(%22diffusivity_m2_per_s%22%2C%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_per_m%20%3D%20profile%20%2F%20distance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gradient_per_m2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.roll(concentration_per_m%2C%20-1)%20-%20concentration_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20distance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20-diffusivity%20*%20gradient_per_m2%0A%0A%20%20%20%20def%20molar_nernst_planck_flux(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20diffusion%2C%20electrical%2C%20and%20total%201D%20molar%20flux.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20require_positive(%22diffusivity_m2_per_s%22%2C%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion_flux%20%3D%20-diffusivity%20*%20float(concentration_gradient_mol_per_m4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_flux%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-float(charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20concentration%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(potential_gradient_v_per_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20diffusion_flux%2C%20electrical_flux%2C%20diffusion_flux%20%2B%20electrical_flux%0A%0A%20%20%20%20def%20ambipolar_internal_potential_gradient(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20dphi%2Fdx%20enforcing%20J_Li%2B%20%3D%20J_e-%20in%20one%20dimension.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic%20%3D%20require_positive(%22ionic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%20ionic_diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(FARADAY_C_PER_MOL%20*%20concentration)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(electronic%20-%20ionic)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(electronic%20%2B%20ionic)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(concentration_gradient_mol_per_m4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20ambipolar_fluxes(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20J_Li%2B%20and%20J_e-%20in%20mol%2F(m%5E2%20s).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic%20%3D%20require_positive(%22ionic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%20ionic_diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_scale%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20concentration%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(potential_gradient_v_per_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gradient%20%3D%20float(concentration_gradient_mol_per_m4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_flux%20%3D%20-ionic%20*%20(gradient%20%2B%20electrical_scale)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_flux%20%3D%20-electronic%20*%20(gradient%20-%20electrical_scale)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20ionic_flux%2C%20electronic_flux%0A%0A%20%20%20%20def%20lithium_chemical_diffusivity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20D_Li%5Edelta%20%3D%202%20D_Li%2B%20D_e-%2F(D_Li%2B%20%2B%20D_e-)%20in%20m%5E2%2Fs.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic%20%3D%20require_positive(%22ionic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%20ionic_diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_diffusivity_m2_per_s%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202.0%20*%20ionic%20*%20electronic%20%2F%20(ionic%20%2B%20electronic)%0A%0A%20%20%20%20def%20conductivity_from_diffusivity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20sigma%3DF%5E2%20c%20D%2F(RT)%20in%20S%2Fm%20for%20a%20monovalent%20carrier.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20require_positive(%22diffusivity_m2_per_s%22%2C%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20concentration%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20lithium_chemical_diffusivity_from_conductivities(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20D_Li%5Edelta%20for%20the%20ideal%20dilute%20Li%2B%2Felectron%20pair.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_sigma%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ionic_conductivity_s_per_m%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_sigma%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_conductivity_s_per_m%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_c%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ionic_concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_c%20%3D%20require_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_concentration_mol_per_m3%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20require_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20harmonic_conductivity%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_sigma%20*%20electronic_sigma%20%2F%20(ionic_sigma%20%2B%20electronic_sigma)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20harmonic_conductivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20%2F%20ionic_c%20%2B%201.0%20%2F%20electronic_c)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20characteristic_relaxation_time(length_m%2C%20diffusivity_m2_per_s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20one-dimensional%20scaling%20time%20L%5E2%2FD%20in%20seconds.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length%20%3D%20require_positive(%22length_m%22%2C%20length_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20require_positive(%22diffusivity_m2_per_s%22%2C%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20length**2%20%2F%20diffusivity%0A%0A%20%20%20%20def%20slab_remaining_profile(normalized_position%2C%20time_over_l2_by_d%2C%20term_count%3D80)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20normalized%20excess%20in%20a%201D%20slab%20held%20at%20zero%20at%20both%20faces.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coordinate%20%3D%20np.asarray(normalized_position%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_time%20%3D%20require_positive(%22time_over_l2_by_d%22%2C%20time_over_l2_by_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20odd%20%3D%202%20*%20np.arange(int(term_count))%20%2B%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20terms%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%204.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20np.pi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.sin(np.pi%20*%20coordinate%5B%3A%2C%20None%5D%20*%20odd%5BNone%2C%20%3A%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20odd%5BNone%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.exp(-(np.pi%20*%20odd%5BNone%2C%20%3A%5D)%20**%202%20*%20reduced_time)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sum(terms%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20def%20scaled_time_axis(times_s)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20display-scaled%20times%20and%20a%20readable%20axis%20unit.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20maximum%20%3D%20float(np.max(times_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20maximum%20%3C%201.0e-6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.asarray(times_s)%20*%201.0e9%2C%20%22ns%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20maximum%20%3C%201.0e-3%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.asarray(times_s)%20*%201.0e6%2C%20%22%C2%B5s%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20maximum%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.asarray(times_s)%20*%201.0e3%2C%20%22ms%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.asarray(times_s)%2C%20%22s%22%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20KB_EV_PER_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_fluxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_internal_potential_gradient%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biased_directional_rates%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20characteristic_relaxation_time%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_from_diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_hopping_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hop_frequency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hopping_diffusivity_1d%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_from_conductivities%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20molar_nernst_planck_flux%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nernst_einstein_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scaled_time_axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulate_zero_field_walks%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slab_remaining_profile%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20temperature%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1600%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D900%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%2C%20T%20(K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20migration_barrier%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Migration%20enthalpy%20(eV)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_attempt_frequency%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D14.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D13.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Attempt-frequency%20exponent%20(base%2010%2C%20per%20second)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20jump_distance%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.02%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Jump%20distance%2C%20a%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20hopping_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btemperature%2C%20migration_barrier%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_hopping_controls%20%3D%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20%E2%80%94%20jump%20geometry%20and%20attempt%20rate%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blog_attempt_frequency%2C%20jump_distance%5D%2C%20gap%3D0.7%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20advanced_hopping_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hopping_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_attempt_frequency%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20migration_barrier%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(advanced_hopping_controls%2C%20hopping_controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%201.%20One%20activated%20hop%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20defect%20remains%20near%20a%20stable%20lattice%20site%20until%20thermal%20motion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20carries%20it%20over%20the%20migration%20barrier.%20Raise%20the%20temperature%20or%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lower%20the%20barrier%20and%20ask%20which%20part%20of%20the%20picture%20changes%3A%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20geometry%20stays%20fixed%2C%20while%20the%20hop%20frequency%20rises%20sharply.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hopping_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20advanced_hopping_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20hop_frequency%2C%0A%20%20%20%20hopping_diffusivity_1d%2C%0A%20%20%20%20jump_distance%2C%0A%20%20%20%20log_attempt_frequency%2C%0A%20%20%20%20migration_barrier%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20simulate_zero_field_walks%2C%0A%20%20%20%20temperature%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20temperature_k%20%3D%20float(temperature.value)%0A%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%20%3D%20float(migration_barrier.value)%0A%20%20%20%20attempt_frequency_hz%20%3D%2010.0%20**%20float(log_attempt_frequency.value)%0A%20%20%20%20jump_distance_m%20%3D%20float(jump_distance.value)%20*%201.0e-9%0A%20%20%20%20hop_frequency_hz%20%3D%20hop_frequency(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20hopping_diffusivity_1d(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20walk_hop_numbers%2C%20walk_positions_in_steps%2C%20walk_msd_in_steps2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulate_zero_field_walks(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20walker_count%3D6000%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20step_count%3D320%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20seed%3D2026%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20walk_times_s%20%3D%20walk_hop_numbers%20%2F%20hop_frequency_hz%0A%20%20%20%20walk_positions_m%20%3D%20jump_distance_m%20*%20walk_positions_in_steps%0A%20%20%20%20walk_msd_m2%20%3D%20jump_distance_m**2%20*%20walk_msd_in_steps2%0A%20%20%20%20fit_start%20%3D%20walk_times_s.size%20%2F%2F%205%0A%20%20%20%20_fit_times%20%3D%20walk_times_s%5Bfit_start%3A%5D%0A%20%20%20%20_fit_msd%20%3D%20walk_msd_m2%5Bfit_start%3A%5D%0A%20%20%20%20msd_slope%20%3D%20float(np.dot(_fit_times%2C%20_fit_msd)%20%2F%20np.dot(_fit_times%2C%20_fit_times))%0A%20%20%20%20extracted_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20msd_slope%20%2F%202.0%0A%20%20%20%20fitted_msd_m2%20%3D%20msd_slope%20*%20walk_times_s%0A%20%20%20%20residual_sum_squares%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.sum((_fit_msd%20-%20fitted_msd_m2%5Bfit_start%3A%5D)%20**%202)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20total_sum_squares%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.sum((_fit_msd%20-%20np.mean(_fit_msd))%20**%202)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20msd_fit_r_squared%20%3D%201.0%20-%20residual_sum_squares%20%2F%20total_sum_squares%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20extracted_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20msd_fit_r_squared%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walk_hop_numbers%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walk_msd_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walk_positions_in_steps%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walk_times_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Predict%20before%20moving%20the%20controls.**%20Raising%20%5C(T%5C)%2C%20lowering%0A%20%20%20%20%5C(%5CDelta%20H_%7B%5Crm%20mig%7D%5C)%2C%20or%20raising%20%5C(%5Cnu%5C)%20should%20make%20the%20same%20number%20of%0A%20%20%20%20hops%20occur%20in%20less%20physical%20time.%20Increasing%20%5C(a%5C)%20should%20enlarge%20every%0A%20%20%20%20spatial%20step%20and%20increase%20%5C(D%5C)%20as%20%5C(a%5E2%5C).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20extracted_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20msd_fit_r_squared%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20scaled_time_axis%2C%0A%20%20%20%20walk_hop_numbers%2C%0A%20%20%20%20walk_msd_m2%2C%0A%20%20%20%20walk_positions_in_steps%2C%0A%20%20%20%20walk_times_s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20reaction_coordinate%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%202.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20barrier_energy_ev%20%3D%200.5%20*%20migration_enthalpy_ev%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20-%20np.cos(2.0%20*%20np.pi%20*%20reaction_coordinate)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20hop_figure%2C%20barrier_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%204.6)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20barrier_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reaction_coordinate%2C%20barrier_energy_ev%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.7%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20barrier_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%201.0%2C%202.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%200.0%2C%200.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Equivalent%20sites%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20barrier_axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.5%2C%20migration_enthalpy_ev)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.5%2C%200.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22%3C-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%23B65C4A%22%2C%20%22lw%22%3A%201.4%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20barrier_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.55%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.52%20*%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5CDelta%20H_%7B%5Crm%20mig%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20barrier_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Reaction%20coordinate%2C%20%24x%2Fa%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Energy%20(eV)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22A%20hop%20must%20cross%20the%20migration%20barrier%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.04%20*%20migration_enthalpy_ev%2C%201.15%20*%20migration_enthalpy_ev)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20barrier_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20loc%3D%22upper%20right%22)%0A%20%20%20%20barrier_axis.grid(alpha%3D0.2)%0A%20%20%20%20hop_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(hop_figure)%0A%0A%20%20%20%20trajectory_figure%2C%20trajectory_axis%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(8.6%2C%204.5)%2C%20dpi%3D120%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20trajectory_index%2C%20(_color%2C%20_style)%20in%20enumerate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zip((%22%234C7C86%22%2C%20%22%23B8734A%22%2C%20%22%237C6A91%22)%2C%20(%22-%22%2C%20%22--%22%2C%20%22-.%22))%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20trajectory_axis.step(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20walk_hop_numbers%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20walk_positions_in_steps%5Btrajectory_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20where%3D%22post%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D_style%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Df%22Walker%20%7Btrajectory_index%20%2B%201%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20trajectory_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D0.9%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20trajectory_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22Hop%20number%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2Fa%24%20(lattice%20steps)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22A%20random%20walk%20is%20geometry%20before%20it%20is%20a%20clock%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20trajectory_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20trajectory_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20trajectory_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(trajectory_figure)%0A%0A%20%20%20%20selected_display_time%2C%20time_unit%20%3D%20scaled_time_axis(walk_times_s)%0A%20%20%20%20msd_figure%2C%20msd_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.6%2C%204.5)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20msd_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_display_time%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20walk_msd_m2%20*%201.0e18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20markevery%3D32%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms%3D3.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Fixed%20random-walk%20ensemble%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20msd_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_display_time%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20defect_diffusivity_m2_per_s%20*%20walk_times_s%20*%201.0e18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Analytical%20%242Dt%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20msd_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Df%22Physical%20time%20(%7Btime_unit%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Mean-square%20displacement%2C%20%24%5Clangle%20x%5E2%5Crangle%24%20(nm%24%5E2%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22The%20ensemble%20slope%20is%20%242D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20msd_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20msd_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20msd_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(msd_figure)%0A%0A%20%20%20%20microscopic_summary%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24D_%7B%7B%5Crm%20analytical%7D%7D%3D%7Bscientific_03(defect_diffusivity_m2_per_s%20*%201.0e4)%7D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9%3B%20%24D_%7B%7B%5Crm%20fit%7D%7D%3D%7Bscientific_03(extracted_diffusivity_m2_per_s%20*%201.0e4)%7D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9%3B%20%24D_%7B%7B%5Crm%20fit%7D%7D%2FD_%7B%7B%5Crm%20analytical%7D%7D%3D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%7Bextracted_diffusivity_m2_per_s%20%2F%20defect_diffusivity_m2_per_s%3A.4f%7D%24%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22(%24R%5E2%3D%7Bmsd_fit_r_squared%3A.5f%7D%24).%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20hop_figure%2C%20microscopic_summary%2C%20msd_figure%2C%20trajectory_figure%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(hop_figure%2C%20microscopic_summary%2C%20mo%2C%20msd_figure%2C%20trajectory_figure)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hop_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20barrier%20controls%20**how%20often**%20a%20hop%20occurs%3B%20it%20does%20not%20give%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20preferred%20direction%20between%20equivalent%20sites.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Many%20hops%20give%20diffusivity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20paths%20below%20use%20one%20fixed%20random%20realization.%20Moving%20a%20physical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20control%20therefore%20changes%20the%20clock%20or%20length%20scale%2C%20not%20the%20random%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sequence%20itself.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20trajectory_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Temperature%20and%20migration%20barrier%20do%20not%20change%20these%20paths%20in%20hop%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20space.%20They%20change%20only%20how%20quickly%20the%20same%20hop%20sequence%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20traversed.%20The%20next%20figure%20applies%20the%20selected%20physical%20clock%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24t%3DN_%7B%5Crm%20hop%7D%2F%5CGamma%24%2C%20and%20length%20scale%2C%20%24x%3Da(x%2Fa)%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20msd_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22**At%20the%20selected%20state%3A**%20%7Bmicroscopic_summary%7D%20%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Because%20%24D%5Cpropto%20a%5E2%5CGamma%24%2C%20doubling%20%24a%24%20gives%20%244D%24%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22while%20multiplying%20%24%5CGamma%24%20by%20ten%20gives%20%2410D%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20master_time%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.002%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.080%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.002%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Diffusion%20time%2C%20Dt%20%2F%20L%C2%B2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20step_contrast%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.90%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20left%E2%80%93right%20occupancy%20contrast%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20master_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bmaster_time%2C%20step_contrast%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20master_controls%2C%20master_time%2C%20step_contrast%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(master_controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%202.%20Random%20exchange%20becomes%20Fick's%20law%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Put%20more%20defects%20on%20the%20left%20than%20on%20the%20right.%20Hops%20remain%20random%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20but%20more%20defects%20are%20available%20to%20cross%20from%20left%20to%20right.%20Across%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20one%20bond%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5CPhi_%7Bj%2B1%2F2%7D%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%7D%7B2%7D(c_j-c_%7Bj%2B1%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D-%5Cfrac%7BD%7D%7Ba%5E2%7D(c_%7Bj%2B1%7D-c_j).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%24c_j%24%20is%20a%20dimensionless%20site%20occupancy%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5CPhi_%7Bj%2B1%2F2%7D%24%20is%20a%20**net%20exchange%20rate%20across%20one%20bond**%20in%20s%24%5E%7B-1%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20We%20reserve%20%24J%24%20for%20the%20continuum%20number%20or%20molar%20flux%20introduced%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20later.%20The%20difference%20between%20two%20opposing%20random%20exchanges%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite-lattice%20form%20of%20Fick's%20law.%20The%20ends%20below%20are%20reflecting%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20so%20defects%20remain%20inside%20the%20sample.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20master_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20master_time%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20step_contrast%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20master_site_count%20%3D%20256%0A%20%20%20%20master_position%20%3D%20(np.arange(master_site_count)%20%2B%200.5)%20%2F%20master_site_count%0A%20%20%20%20contrast_value%20%3D%20float(step_contrast.value)%0A%20%20%20%20left_occupancy%20%3D%200.5%20*%20(1.0%20%2B%20contrast_value)%0A%20%20%20%20right_occupancy%20%3D%200.5%20*%20(1.0%20-%20contrast_value)%0A%20%20%20%20initial_master_occupancy%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_position%20%3C%200.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20left_occupancy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20right_occupancy%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20fourier_time%20%3D%20float(master_time.value)%0A%20%20%20%20mode_numbers%20%3D%20np.arange(1%2C%20160%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20cosine_basis%20%3D%20np.cos(np.pi%20*%20mode_numbers%5B%3A%2C%20None%5D%20*%20master_position%5BNone%2C%20%3A%5D)%0A%20%20%20%20mean_occupancy%20%3D%20float(np.mean(initial_master_occupancy))%0A%20%20%20%20mode_coefficients%20%3D%20(2.0%20%2F%20master_site_count)%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cosine_basis%20%40%20(initial_master_occupancy%20-%20mean_occupancy)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mode_decay%20%3D%20np.exp(-(np.pi%20*%20mode_numbers)%20**%202%20*%20fourier_time)%0A%20%20%20%20evolved_master_occupancy%20%3D%20mean_occupancy%20%2B%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode_coefficients%20*%20mode_decay%0A%20%20%20%20)%20%40%20cosine_basis%0A%0A%20%20%20%20sample_length_m%20%3D%20master_site_count%20*%20jump_distance_m%0A%20%20%20%20master_elapsed_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fourier_time%20*%20sample_length_m**2%20%2F%20defect_diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20microscopic_bond_exchange_per_s%20%3D%200.5%20*%20hop_frequency_hz%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evolved_master_occupancy%5B%3A-1%5D%20-%20evolved_master_occupancy%5B1%3A%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fick_bond_exchange_per_s%20%3D%20-(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%20%2F%20jump_distance_m**2%0A%20%20%20%20)%20*%20np.diff(evolved_master_occupancy)%0A%20%20%20%20master_mass_relative_error%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.sum(evolved_master_occupancy)%20-%20np.sum(initial_master_occupancy)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20np.sum(initial_master_occupancy)%0A%20%20%20%20master_flux_relative_error%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(microscopic_bond_exchange_per_s%20-%20fick_bond_exchange_per_s))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(np.max(np.abs(microscopic_bond_exchange_per_s))%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evolved_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_elapsed_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_flux_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_mass_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20master_site_count%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20microscopic_bond_exchange_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20evolved_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20initial_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20master_elapsed_s%2C%0A%20%20%20%20master_site_count%2C%0A%20%20%20%20microscopic_bond_exchange_per_s%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_03%2C%0A%20%20%20%20scaled_time_axis%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_master_position%20%3D%20(np.arange(master_site_count)%20%2B%200.5)%20%2F%20master_site_count%0A%20%20%20%20bond_position%20%3D%20np.arange(1%2C%20master_site_count)%20%2F%20master_site_count%0A%20%20%20%20master_display_time%2C%20master_time_unit%20%3D%20scaled_time_axis(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bmaster_elapsed_s%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20master_figure%2C%20(profile_axis%2C%20_flux_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%204.8)%2C%20dpi%3D120%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_master_position%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%238C9196%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial%20step%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_master_position%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20evolved_master_occupancy%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22After%20diffusion%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Site%20occupancy%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Random%20hopping%20smooths%20the%20concentration%20step%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20profile_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20_flux_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bond_position%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20microscopic_bond_exchange_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.6%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_flux_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23666D73%22%2C%20lw%3D1.0)%0A%20%20%20%20_flux_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Bond%20position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Net%20bond%20exchange%2C%20%24%5CPhi%24%20(s%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22More%20defects%20cross%20from%20high%20to%20low%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_flux_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20master_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(master_figure)%0A%0A%20%20%20%20master_summary%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20this%20state%2C%20the%20profile%20has%20evolved%20for%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bmaster_display_time%5B0%5D%3A.3g%7D%20%7Bmaster_time_unit%7D**.%20The%20net%20bond%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exchange%20is%20zero%20at%20the%20reflecting%20ends%20and%20largest%20near%20the%20original%20interface.%20Both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20describe%20the%20same%20net%20exchange%3B%20no%20particle%20is%20assigned%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20deterministic%20force%20toward%20lower%20concentration.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bresponsive_panels_03(master_figure)%2C%20master_summary%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20charge_selector%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22Positive%20defect%2C%20z%20%3D%20%2B1%22%3A%201%2C%20%22Negative%20defect%2C%20z%20%3D%20-1%22%3A%20-1%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Positive%20defect%2C%20z%20%3D%20%2B1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Defect%20charge%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20field_sign%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%22Toward%20%2Bx%22%3A%201.0%2C%20%22Toward%20-x%22%3A%20-1.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Toward%20%2Bx%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Field%20direction%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_electric_field%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D2.0%2C%20stop%3D7.0%2C%20step%3D0.25%2C%20value%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Field-magnitude%20exponent%20(base%2010%2C%20volts%20per%20centimeter)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20relative_concentration_gradient%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.80%2C%20stop%3D0.80%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D0.30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Relative%20concentration%20gradient%20(per%20micrometer)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20field_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bcharge_selector%2C%20field_sign%2C%20log_electric_field%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_selector%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field_sign%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_electric_field%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_concentration_gradient%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(field_controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20An%20electric%20field%20biases%20the%20hops%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Define%20positive%20%5C(x%5C)%20to%20the%20right%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(E%3D-d%5Cphi%2Fdx%5C).%20A%20positive%20field%20lowers%20one%20barrier%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raises%20the%20other.%20The%20two%20directional%20rates%20are%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5CGamma_%5Cpm%3D%5Cfrac%7B%5CGamma%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cexp%5C!%5Cleft(%5Cpm%5Cfrac%7BzeEa%7D%7B2k_BT%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Change%20the%20field%20direction%20and%20magnitude.%20The%20stable%20lattice%20sites%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20do%20not%20move%2C%20but%20the%20energy%20difference%20between%20neighboring%20sites%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reverses%20with%20the%20field.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20field_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20biased_directional_rates%2C%0A%20%20%20%20charge_selector%2C%0A%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20exact_hopping_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20field_sign%2C%0A%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20log_electric_field%2C%0A%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20molar_nernst_planck_flux%2C%0A%20%20%20%20nernst_einstein_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20relative_concentration_gradient%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20charge_number_value%20%3D%20int(charge_selector.value)%0A%20%20%20%20electric_field_v_per_m%20%3D%20float(field_sign.value)%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20100.0%20*%2010.0%20**%20float(log_electric_field.value)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20forward_rate_hz%2C%20backward_rate_hz%2C%20_unbiased_hop_frequency_hz%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biased_directional_rates(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%20migration_enthalpy_ev%2C%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%20charge_number_value%2C%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20exact_drift_m_per_s%20%3D%20exact_hopping_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%20forward_rate_hz%2C%20backward_rate_hz%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20low_field_drift_m_per_s%20%3D%20nernst_einstein_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%20temperature_k%2C%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20hopping_bias_ratio%20%3D%20forward_rate_hz%20%2F%20backward_rate_hz%0A%20%20%20%20field_work_per_hop_ev%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number_value%20*%20electric_field_v_per_m%20*%20jump_distance_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20low_field_parameter%20%3D%20abs(field_work_per_hop_ev)%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%208.617333262e-5%20*%20temperature_k%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20demonstration_concentration_mol_per_m3%20%3D%201000.0%0A%20%20%20%20relative_gradient_per_m%20%3D%20float(relative_concentration_gradient.value)%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20demonstration_gradient_mol_per_m4%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demonstration_concentration_mol_per_m3%20*%20relative_gradient_per_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20demonstration_potential_gradient_v_per_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature_k%20*%20relative_gradient_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(charge_number_value%20*%20FARADAY_C_PER_MOL)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20chemical_potential_gradient_j_per_mol_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature_k%20*%20relative_gradient_per_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electrical_potential_gradient_j_per_mol_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number_value%20*%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20demonstration_potential_gradient_v_per_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electrochemical_gradient_j_per_mol_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_gradient_j_per_mol_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20electrical_potential_gradient_j_per_mol_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_np_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20)%20%3D%20molar_nernst_planck_flux(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%20demonstration_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demonstration_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demonstration_potential_gradient_v_per_m%2C%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20demonstration_potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrochemical_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exact_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field_work_per_hop_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20hopping_bias_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20low_field_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_np_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20chemical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20demonstration_potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20diffusion_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20electric_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20electrical_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20electrical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20electrochemical_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20exact_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20field_work_per_hop_ev%2C%0A%20%20%20%20hopping_bias_ratio%2C%0A%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20low_field_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20relative_concentration_gradient%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_03%2C%0A%20%20%20%20total_np_flux_mol_per_m2_s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20field_coordinate%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%202.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20field_position_m%20%3D%20field_coordinate%20*%20jump_distance_m%0A%20%20%20%20tilted_energy_ev%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20migration_enthalpy_ev%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20-%20np.cos(2.0%20*%20np.pi%20*%20field_coordinate))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20charge_number_value%20*%20electric_field_v_per_m%20*%20field_position_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20field_figure%2C%20tilt_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%204.6)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20tilt_axis.plot(field_coordinate%2C%20tilted_energy_ev%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.7)%0A%20%20%20%20site_energies%20%3D%20-charge_number_value%20*%20electric_field_v_per_m%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B0.0%2C%201.0%2C%202.0%5D)%20*%20jump_distance_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tilt_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%201.0%2C%202.0%5D%2C%20site_energies%2C%20s%3D65%2C%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%20zorder%3D4%2C%20label%3D%22Stable%20sites%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tilt_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2Fa%24%22%2C%20ylabel%3D%22Energy%20(eV)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20electric%20field%20tilts%20the%20hopping%20landscape%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tilt_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20tilt_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20field_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(field_figure)%0A%0A%20%20%20%20gradient_values%20%3D%201.0e-6%20*%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_potential_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrochemical_gradient_j_per_mol_m%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20flux_values%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion_flux_mol_per_m2_s%2C%20electrical_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_np_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20balance_figure%2C%20(_gradient_axis%2C%20_flux_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%204.5)%2C%20dpi%3D120%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_gradient_axis.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Chemical%22%2C%20%22Electrical%22%2C%20%22Total%22%5D%2C%20gradient_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%234C7C86%22%2C%20%22%23B8734A%22%2C%20%22%23C49345%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_gradient_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23333333%22%2C%20lw%3D1.0)%0A%20%20%20%20_gradient_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Potential%20gradient%20(J%20mol%24%5E%7B-1%7D%24%20%24%5Cmu%24m%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Potential%20gradients%20cancel%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_gradient_axis.grid(axis%3D%22y%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20_flux_axis.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%22Diffusion%22%2C%20%22Electrical%22%2C%20%22Total%22%5D%2C%20flux_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%234C7C86%22%2C%20%22%23B8734A%22%2C%20%22%23C49345%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_flux_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23333333%22%2C%20lw%3D1.0)%0A%20%20%20%20_flux_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Molar%20flux%20(mol%20m%24%5E%7B-2%7D%24%20s%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20total%20flux%20is%20zero%20at%20equilibrium%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_flux_axis.grid(axis%3D%22y%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20balance_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(balance_figure)%0A%0A%20%20%20%20field_summary%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Neighboring%20sites%20differ%20by%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(zeEa%3D%7Bscientific_03(field_work_per_hop_ev)%7D%5C)%20eV%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5CGamma_%2B%2F%5CGamma_-%3D%7Bhopping_bias_ratio%3A.5g%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20exact%20drift%20is%20**%7Bexact_drift_m_per_s%3A.3e%7D%20m%20s%5E-1**%3B%20the%20low-field%0A%20%20%20%20%20%20%20%20prediction%20is%20**%7Blow_field_drift_m_per_s%3A.3e%7D%20m%20s%5E-1**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20balance_details%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Chemical%20and%20electrical%20driving%20forces%20can%20cancel%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20a%20molar%20concentration%20%5C(c%5C)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20J%3D-D%5Cfrac%7Bdc%7D%7Bdx%7D-%5Cfrac%7BzFD%7D%7BRT%7Dc%5Cfrac%7Bd%5Cphi%7D%7Bdx%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D-%5Cfrac%7BDc%7D%7BRT%7D%5Cfrac%7Bd%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D%7D%7Bdx%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20electrochemical%20potential%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D%3D%5Cmu%2BzF%5Cphi%5C).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20concentration%20gradient%20can%20therefore%20coexist%20with%20equilibrium%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20chemical%20and%20electrical%20parts%20are%20nonzero%2C%20but%20their%20sum%20is%20zero.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_concentration_gradient%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_03(balance_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22The%20balancing%20field%20is%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%5C(E%3D%7Bscientific_03(-demonstration_potential_gradient_v_per_m%20%2F%20100.0)%7D%5C)%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22V%2Fcm%20for%20the%20selected%20concentration%20gradient.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20field_summary%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Explore%20further%20-%20why%20equilibrium%20can%20have%20gradients%22%3A%20balance_details%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Model%20details%20-%20particle%20and%20molar%20flux%20notation%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20number%20concentration%20%5C(c_N%5C)%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20J_N%3D-D%5Cfrac%7Bdc_N%7D%7Bdx%7D%2B%5Cfrac%7BzeD%7D%7Bk_BT%7Dc_N%20E%20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%20%5BJ_N%5D%3D%5Cmathrm%7Bm%5E%7B-2%7D%5C%2Cs%5E%7B-1%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20molar%20concentration%20%5C(c%5C)%2C%20use%20%5C(F%3DN_Ae%5C)%20and%20%5C(R%3DN_Ak_B%5C)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20J%3D-D%5Cfrac%7Bdc%7D%7Bdx%7D-%5Cfrac%7BzFD%7D%7BRT%7Dc%5Cfrac%7Bd%5Cphi%7D%7Bdx%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cqquad%20%5BJ%5D%3D%5Cmathrm%7Bmol%5C%2Cm%5E%7B-2%7D%5C%2Cs%5E%7B-1%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Particle-scale%20equations%20use%20%5C(k_B%2Ce%5C)%3B%20molar%20equations%20use%20%5C(R%2CF%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20-%20tracer%2C%20charge%2C%20and%20chemical%20diffusivity%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20symbol%20%5C(D%5C)%20can%20describe%20different%20experiments%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20notation%20%7C%20experiment%20%7C%20what%20moves%3F%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(D%5E*%5C)%20%7C%20isotope%20tracer%20profile%20%7C%20labeled%20atoms%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(D%5Eq%5C)%20%7C%20steady%20conductivity%20%7C%20charge-carrying%20ions%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%5C(D_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%5C)%20%7C%20chemical%20relaxation%20%7C%20%5C(%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%5C)%20and%20%5C(e%5E-%5C)%20together%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Lecture%205%20calls%20%5C(D%5Eq%5C)%20the%20self-diffusivity%20obtained%20from%20charge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transport.%20Its%20concentration%20denominator%20counts%20the%20**ions**%2C%20not%20only%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20dilute%20defects%20that%20enable%20their%20motion.%20For%20one%20dilute%20defect%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mechanism%20without%20correlation%20corrections%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(D%5Eq%3D(c_%7B%5Crm%20defect%7D%2Fc_%7B%5Crm%20ion%7D)D_%7B%5Crm%20defect%7D%5C).%20The%20hopping%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20introduced%20earlier%20describes%20the%20moving%20defect%20itself.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Correlation%20can%20make%20tracer%20and%20conductivity-derived%20values%20differ%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(D%5E*%3DH%20D%5Eq%5C)%2C%20where%20%5C(H%5C)%20is%20the%20Haven%20ratio.%20The%20core%20lesson%20below%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concerns%20chemical%20diffusion%2C%20where%20the%20composition%20itself%20changes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_ionic_diffusivity_cm2%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-14.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D-6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-10.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Lithium-ion%20diffusivity%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_electronic_to_ionic_ratio%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Electron%2Fion%20diffusivity-ratio%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ambipolar_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blog_ionic_diffusivity_cm2%2C%20log_electronic_to_ionic_ratio%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_ionic_diffusivity_cm2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(ambipolar_controls%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%204.%20Chemical%20diffusion%3A%20two%20carriers%2C%20one%20bottleneck%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**If%20electrons%20become%20much%20faster%20than%20ions%2C%20can%20the%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20grow%20without%20limit%3F**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Consider%20the%20simplest%20neutral-composition%20reaction%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmathrm%7BLi%7D%5Crightleftharpoons%20%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%2Be%5E-%20.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20bulk%2C%20local%20electroneutrality%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(c_%7B%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%7D%3Dc_%7Be%5E-%7D%3Dc_%7B%5Cmathrm%7BLi%7D%7D%5C).%20Local%20equilibrium%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20connects%20the%20neutral%20and%20charged%20chemical%20potentials%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cmu_%7B%5Cmathrm%7BLi%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D_%7B%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D_%7Be%5E-%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Open-circuit%20composition%20transport%20carries%20no%20net%20current.%20For%20this%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20monovalent%20pair%2C%20the%20ion%20and%20electron%20therefore%20share%20one%20molar%20flux%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20J_%7B%5Cmathrm%7BLi%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3DJ_%7B%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3DJ_%7Be%5E-%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20If%20electrons%20would%20diffuse%20faster%20on%20their%20own%2C%20a%20small%20internal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electric%20field%20slows%20them%20and%20speeds%20up%20%5C(%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%5C).%20Only%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minute%20charge%20displacement%20is%20needed%20to%20establish%20this%20field%3B%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk%20remains%20locally%20electroneutral%20in%20the%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20ambipolar_fluxes%2C%0A%20%20%20%20ambipolar_internal_potential_gradient%2C%0A%20%20%20%20conductivity_from_diffusivity%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_from_conductivities%2C%0A%20%20%20%20log_electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20log_ionic_diffusivity_cm2%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20ionic_diffusivity_cm2_per_s%20%3D%2010.0%20**%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_ionic_diffusivity_cm2.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20ionic_diffusivity_cm2_per_s%20*%201.0e-4%0A%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%20%3D%2010.0%20**%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_electronic_to_ionic_ratio.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%20*%20electronic_to_ionic_ratio%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electronic_diffusivity_cm2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%20*%201.0e4%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%20%3D%201000.0%0A%20%20%20%20ambipolar_relative_gradient_per_m%20%3D%202.0e5%0A%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20ambipolar_relative_gradient_per_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20internal_potential_gradient_v_per_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_internal_potential_gradient(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%20electronic_flux_mol_per_m2_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_fluxes(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20internal_potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20open_circuit_current_a_per_m2%20%3D%20FARADAY_C_PER_MOL%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%20-%20electronic_flux_mol_per_m2_s%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20lithium_chemical_diffusivity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%20*%201.0e4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%20%3D%20conductivity_from_diffusivity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%20%3D%20conductivity_from_diffusivity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20conductivity_form_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_from_conductivities(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_form_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20internal_potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20open_circuit_current_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20internal_potential_gradient_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_03%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20ratio_curve%20%3D%20np.logspace(-4.0%2C%204.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20chemical_to_ionic_ratio_curve%20%3D%202.0%20*%20ratio_curve%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio_curve)%0A%0A%20%20%20%20uncoupled_ionic_flux%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-ionic_diffusivity_m2_per_s%20*%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20uncoupled_electronic_flux%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-electronic_diffusivity_m2_per_s%20*%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20flux_magnitudes%20%3D%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20uncoupled_ionic_flux%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20uncoupled_electronic_flux%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20flux_floor%20%3D%20max(np.max(flux_magnitudes)%20*%201.0e-6%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20flux_magnitudes%20%3D%20np.maximum(flux_magnitudes%2C%20flux_floor)%0A%0A%20%20%20%20ambipolar_figure%2C%20(ratio_axis%2C%20coupling_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(13.8%2C%204.9)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axis.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_to_ionic_ratio_curve%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%242r%2F(1%2Br)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Belectronic_to_ionic_ratio%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20electronic_to_ionic_ratio%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(1.0%20%2B%20electronic_to_ionic_ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20values%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axis.axhline(1.0%2C%20color%3D%22%23858B90%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20ratio_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Mobility%20contrast%2C%20%24r%3DD_%7Be%5E-%7D%2FD_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24D_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%2FD_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20slower%20carrier%20limits%20chemical%20diffusion%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Leave%20space%20for%20the%20selected%20marker%20at%20both%20slider%20endpoints.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(5.0e-5%2C%202.0e4)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(1.0e-4%2C%2010.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axis.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ratio_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20coupling_axis.bar(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%24%20alone%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24e%5E-%24%20alone%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22common%20flux%5Cn%22%20%2B%20r%22%24J_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%3DJ_%7Be%5E-%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flux_magnitudes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%234C7C86%22%2C%20%22%23B65C4A%22%2C%20%22%23C49345%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20coupling_axis.set_yscale(%22log%22)%0A%20%20%20%20coupling_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%7Cflux%7C%20(mol%20m%24%5E%7B-2%7D%24%20s%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22The%20internal%20field%20makes%20%24J_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%3DJ_%7Be%5E-%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20coupling_axis.tick_params(axis%3D%22x%22%2C%20rotation%3D12)%0A%20%20%20%20coupling_axis.grid(axis%3D%22y%22%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ambipolar_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(ambipolar_figure)%0A%0A%20%20%20%20ambipolar_summary%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20internal%20field%20forces%20the%20ion%20and%20electron%20to%20share%20one%0A%20%20%20%20%20%20%20%20neutral-composition%20flux.%20The%20internal%20potential%20gradient%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Binternal_potential_gradient_v_per_m%20%2F%20100.0%3A.3e%7D%20V%2Fcm**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Both%20carriers%20have%20the%20common%20flux%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(J%3D%7Bscientific_03(ionic_flux_mol_per_m2_s)%7D%5C)%20mol%2F(m%C2%B2%20s).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Their%20charge%20currents%20cancel%20because%20the%20carriers%20have%20opposite%20charges%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(j%3DF(J_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D-J_%7B%7Be%5E-%7D%7D)%3D0%5C).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20common%20flux%20corresponds%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%7B%7B%5Cdelta%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%7Bscientific_03(lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s)%7D%5C)%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bresponsive_panels_03(ambipolar_figure)%2C%20ambipolar_summary%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20conductivity_form_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20electronic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20electronic_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20ionic_conductivity_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20ionic_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20derivation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Deriving%20the%20common%20chemical%20diffusivity%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20either%20carrier%2C%20the%20one-dimensional%20flux%20can%20be%20written%20in%20terms%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20its%20electrochemical-potential%20gradient%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20J_s%3D-%5Cfrac%7B%7B%5Csigma_s%7D%7D%7B%7Bz_s%5E2F%5E2%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7Bd%5Cwidetilde%7B%7B%5Cmu%7D%7D_s%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20monovalent%20Li-ion%2Felectron%20pair%2C%20both%20carrier%20fluxes%20equal%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20common%20neutral-composition%20flux%20%24J%24.%20Differentiating%20the%20local-equilibrium%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relation%20then%20gives%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7Bd%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D-F%5E2J%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7B%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D%7D%7D%5Cright)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20or%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20J%3D-%5Cfrac%7B%7B%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7BF%5E2(%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%2B%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D)%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7Bd%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%7D%7D%7B%7Bdx%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20model%20now%20makes%20its%20ideal-dilute%20assumption%20explicit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%3Dc_%7B%7Be%5E-%7D%7D%3Dc%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%3D%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E0%2B2RT%5Cln(c%2Fc_0)%24.%20Identifying%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24J%3D-D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%20dc%2Fdx%24%20gives%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%7BRT%7D%7D%7B%7BF%5E2%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7B%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7B%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D%2B%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7Bc_%7B%7Be%5E-%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%5Cfrac%7B%7B1%7D%7D%7B%7Bc_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%7D%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Using%20the%20Nernst%E2%80%93Einstein%20relation%20for%20each%20carrier%20reduces%20this%20to%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboxed%7B%7BD_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%7B2D_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7DD_%7B%7Be%5E-%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7BD_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%2BD_%7B%7Be%5E-%7D%7D%7D%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20the%20selected%20values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24D_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%3D%7Bscientific_03(ionic_diffusivity_cm2_per_s)%7D%24%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24D_%7B%7Be%5E-%7D%7D%3D%7Bscientific_03(electronic_diffusivity_cm2_per_s)%7D%24%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9%2C%20with%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma_%7B%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%7D%3D%7Bscientific_03(ionic_conductivity_s_per_m)%7D%24%20S%2Fm%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Csigma_%7B%7Be%5E-%7D%7D%3D%7Bscientific_03(electronic_conductivity_s_per_m)%7D%24%20S%2Fm.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20conductivity%20form%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bconductivity_form_diffusivity_m2_per_s%20*%201.0e4%3A.3e%7D%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9**%2C%20matching%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%7Bscientific_03(lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s)%7D%24%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20factor%20of%20two%20belongs%20to%20this%20ideal%2C%20dilute%2C%20locally%20neutral%20pair.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Outside%20that%20limit%2C%20the%20composition%20dependence%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%24%20must%20be%20supplied%20separately.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20deriving%20the%20common%20diffusivity%22%3A%20derivation%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_sample_length%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D-2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sample-length%20exponent%20(base%2010%2C%20meters)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20reduced_profile_time%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Reduced%20diffusion%20time%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20relaxation_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blog_sample_length%2C%20reduced_profile_time%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20log_sample_length%2C%20reduced_profile_time%2C%20relaxation_controls%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20characteristic_relaxation_time%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20log_sample_length%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20reduced_profile_time%2C%0A%20%20%20%20slab_remaining_profile%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_length_m%20%3D%2010.0%20**%20float(log_sample_length.value)%0A%20%20%20%20selected_relaxation_time_s%20%3D%20characteristic_relaxation_time(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20length_curve_m%20%3D%20np.logspace(-8.0%2C%20-2.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20relaxation_curve_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_curve_m**2%20%2F%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20slab_position%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20400)%0A%20%20%20%20selected_slab_profile%20%3D%20slab_remaining_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slab_position%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(reduced_profile_time.value)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_curve_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relaxation_curve_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_relaxation_time_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_slab_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slab_position%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20length_curve_m%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20reduced_profile_time%2C%0A%20%20%20%20relaxation_controls%2C%0A%20%20%20%20relaxation_curve_s%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_03%2C%0A%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20selected_relaxation_time_s%2C%0A%20%20%20%20selected_slab_profile%2C%0A%20%20%20%20slab_position%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20relaxation_figure%2C%20(time_axis%2C%20relaxation_profile_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(13.6%2C%204.8)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20time_axis.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_curve_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relaxation_curve_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22scaling%20time%20%24t_D%3DL%5E2%2FD_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20time_axis.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_curve_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relaxation_curve_s%20%2F%20np.pi**2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22first%20mode%20%24%5Ctau%5E%5Cdelta%3Dt_D%2F%5Cpi%5E2%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20time_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_length_m%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_relaxation_time_s%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20%24t_D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20time_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Sample%20length%2C%20%24L%24%20(m)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Characteristic%20time%20(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Diffusion%20time%20grows%20as%20length%20squared%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20time_axis.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20time_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20relaxation_profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slab_position%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_slab_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20relaxation_profile_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Remaining%20normalized%20composition%20change%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22One-dimensional%20slab%20relaxation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.03%2C%201.03)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20relaxation_profile_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20relaxation_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(relaxation_figure)%0A%0A%20%20%20%20if%20selected_relaxation_time_s%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_text%20%3D%20f%22%7Bselected_relaxation_time_s%3A.3e%7D%20s%22%0A%20%20%20%20elif%20selected_relaxation_time_s%20%3C%203600.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_text%20%3D%20f%22%7Bselected_relaxation_time_s%20%2F%2060.0%3A.2f%7D%20min%22%0A%20%20%20%20elif%20selected_relaxation_time_s%20%3C%2086400.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_text%20%3D%20f%22%7Bselected_relaxation_time_s%20%2F%203600.0%3A.2f%7D%20h%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_text%20%3D%20f%22%7Bselected_relaxation_time_s%20%2F%2086400.0%3A.2f%7D%20days%22%0A%0A%20%20%20%20selected_first_mode_time_s%20%3D%20selected_relaxation_time_s%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20if%20selected_first_mode_time_s%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_text%20%3D%20f%22%7Bselected_first_mode_time_s%3A.3e%7D%20s%22%0A%20%20%20%20elif%20selected_first_mode_time_s%20%3C%203600.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_text%20%3D%20f%22%7Bselected_first_mode_time_s%20%2F%2060.0%3A.2f%7D%20min%22%0A%20%20%20%20elif%20selected_first_mode_time_s%20%3C%2086400.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_text%20%3D%20f%22%7Bselected_first_mode_time_s%20%2F%203600.0%3A.2f%7D%20h%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_text%20%3D%20f%22%7Bselected_first_mode_time_s%20%2F%2086400.0%3A.2f%7D%20days%22%0A%0A%20%20%20%20relaxation_summary%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20With%20%5C(D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%7Bscientific_03(lithium_chemical_diffusivity_cm2_per_s)%7D%5C)%20cm%C2%B2%20s%E2%81%BB%C2%B9%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(L%3D%7Bscientific_03(selected_length_m)%7D%5C)%20m%2C%20%24t_D%24%20is%20**%7Btime_text%7D**%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Ctau%5E%5Cdelta%24%20is%20**%7Bfirst_mode_text%7D**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20concentration%20panel%20shows%20the%20remaining%20composition%20change%20at%20Fourier%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%5C(%5Ctheta%3D%7Bfloat(reduced_profile_time.value)%3A.2f%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20relaxation_reader%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Chemical%20diffusivity%20also%20sets%20a%20sample-scale%20clock%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_D%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BD_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2D_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20why%20the%20same%20material%20responds%20rapidly%20as%20a%20thin%20film%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slowly%20as%20a%20bulk%20sample.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relaxation_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_03(relaxation_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relaxation_summary%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Explore%20further%20-%20sample%20length%20and%20relaxation%20time%22%3A%20relaxation_reader%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20KB_EV_PER_K%2C%0A%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20backward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20biased_directional_rates%2C%0A%20%20%20%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20conductivity_form_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20diffusion_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20electrical_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20electronic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20exact_hopping_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20extracted_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20field_work_per_hop_ev%2C%0A%20%20%20%20forward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20master_flux_relative_error%2C%0A%20%20%20%20master_mass_relative_error%2C%0A%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20msd_fit_r_squared%2C%0A%20%20%20%20nernst_einstein_drift_velocity%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20open_circuit_current_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20total_np_flux_mol_per_m2_s%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20def%20_relative_error(value%2C%20reference)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20abs(float(value)%20-%20float(reference))%20%2F%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs(float(reference))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0e-300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20zero_field_identity_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20jump_distance_m**2%20*%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20msd_diffusivity_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20extracted_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20detailed_balance_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forward_rate_hz%20%2F%20backward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(field_work_per_hop_ev%20%2F%20(KB_EV_PER_K%20*%20temperature_k))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_test_field_v_per_m%20%3D%201.0%0A%20%20%20%20_test_forward_rate_hz%2C%20_test_backward_rate_hz%2C%20_%20%3D%20biased_directional_rates(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20migration_enthalpy_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20attempt_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_test_exact_drift_m_per_s%20%3D%20exact_hopping_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20jump_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_forward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_backward_rate_hz%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_test_low_field_drift_m_per_s%20%3D%20nernst_einstein_drift_velocity(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_field_v_per_m%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20low_field_drift_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_exact_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_test_low_field_drift_m_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20flux_balance_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(diffusion_flux_mol_per_m2_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20abs(electrical_flux_mol_per_m2_s)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e-300%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electrochemical_flux_relative%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(total_np_flux_mol_per_m2_s)%20%2F%20flux_balance_scale%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ambipolar_flux_match_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ambipolar_current_relative%20%3D%20abs(open_circuit_current_a_per_m2)%20%2F%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(abs(ionic_flux_mol_per_m2_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20abs(electronic_flux_mol_per_m2_s))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e-300%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20analytic_chemical_flux_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20analytic_common_flux_mol_per_m2_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20conductivity_form_error%20%3D%20_relative_error(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_form_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20positive_values%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hop_frequency_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20defect_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lithium_chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20finite_values%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zero_field_identity_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20msd_diffusivity_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20detailed_balance_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20low_field_drift_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20master_mass_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20master_flux_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electrochemical_flux_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_flux_match_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_current_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20analytic_chemical_flux_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_form_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20msd_fit_r_squared%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ambipolar_gradient_mol_per_m4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20transport_validation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22zero_field_identity_error%22%3A%20zero_field_identity_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22zero_field_identity_pass%22%3A%20zero_field_identity_error%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22msd_diffusivity_error%22%3A%20msd_diffusivity_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22msd_r_squared%22%3A%20msd_fit_r_squared%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22msd_pass%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20msd_diffusivity_error%20%3C%200.05%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20msd_fit_r_squared%20%3E%200.995%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22detailed_balance_error%22%3A%20detailed_balance_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22detailed_balance_pass%22%3A%20detailed_balance_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22low_field_drift_error%22%3A%20low_field_drift_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22low_field_drift_pass%22%3A%20low_field_drift_error%20%3C%201.0e-7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mass_error%22%3A%20master_mass_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mass_pass%22%3A%20master_mass_relative_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22fick_error%22%3A%20master_flux_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22fick_pass%22%3A%20master_flux_relative_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrochemical_flux_relative%22%3A%20electrochemical_flux_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrochemical_flux_pass%22%3A%20electrochemical_flux_relative%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ambipolar_current_relative%22%3A%20ambipolar_current_relative%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ambipolar_current_pass%22%3A%20ambipolar_current_relative%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ambipolar_flux_match_error%22%3A%20ambipolar_flux_match_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ambipolar_flux_match_pass%22%3A%20ambipolar_flux_match_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22analytic_chemical_flux_error%22%3A%20analytic_chemical_flux_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22analytic_chemical_flux_pass%22%3A%20analytic_chemical_flux_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_form_error%22%3A%20conductivity_form_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_form_pass%22%3A%20conductivity_form_error%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22positive_pass%22%3A%20bool(np.all(positive_values%20%3E%200.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22finite_pass%22%3A%20bool(np.all(np.isfinite(finite_values)))%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(transport_validation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20transport_validation)%3A%0A%20%20%20%20def%20_check_mark(passed)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20passed%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Physical%20consistency%20checks%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20status%20%7C%20physical%20statement%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%3A%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'zero_field_identity_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'msd_pass'%5D)%7D%20%7C%20atomic%20hops%20and%20the%20random%20walk%20give%20%5C(D%3Da%5E2%5CGamma%2F2%5C)%20%7C%20microscopic%20motion%20connects%20to%20measurable%20diffusion%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'detailed_balance_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'low_field_drift_pass'%5D)%7D%20%7C%20biased%20hops%20obey%20detailed%20balance%20and%20approach%20Nernst%E2%80%93Einstein%20at%20low%20field%20%7C%20the%20field%20response%20has%20the%20correct%20equilibrium%20limit%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'mass_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'fick_pass'%5D)%7D%20%7C%20one-dimensional%20transport%20conserves%20defects%20and%20follows%20Fick's%20law%20%7C%20the%20concentration%20profile%20and%20flux%20describe%20the%20same%20motion%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'electrochemical_flux_pass'%5D)%7D%20%7C%20chemical%20and%20electrical%20driving%20forces%20cancel%20at%20equilibrium%20%7C%20a%20flat%20electrochemical%20potential%20means%20zero%20total%20flux%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'ambipolar_flux_match_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'ambipolar_current_pass'%5D)%7D%20%7C%20Li%E2%81%BA%20and%20electrons%20carry%20a%20common%20chemical-diffusion%20flux%20with%20zero%20current%20%7C%20local%20neutrality%20couples%20the%20two%20carriers%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'analytic_chemical_flux_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'conductivity_form_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20two%20forms%20of%20%5C(D_%7B%7B%5Crm%20Li%7D%7D%5E%5Cdelta%5C)%20agree%20%7C%20transport%20and%20conductivity%20descriptions%20are%20consistent%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_mark(transport_validation%5B'positive_pass'%5D%20and%20transport_validation%5B'finite_pass'%5D)%7D%20%7C%20all%20rates%20and%20diffusivities%20are%20positive%20and%20finite%20%7C%20every%20displayed%20quantity%20is%20physical%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20checks%20follow%20the%20main%20physical%20chain%20from%20atomic%20hopping%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coupled%20chemical%20diffusion%3B%20they%20do%20not%20add%20new%20assumptions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%20Random%20hops%20produce%20%5C(D%3Da%5E2%5CGamma%2F2%5C)%20in%20one%20dimension.%20A%20concentration%0A%20%20%20%20difference%20creates%20a%20net%20flux%20because%20more%20defects%20exchange%20from%20the%0A%20%20%20%20crowded%20side%2C%20and%20an%20electric%20field%20biases%20the%20two%20directional%20hop%20rates.%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20ideal%20locally%20neutral%20pair%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmathrm%7BLi%7D%5Crightleftharpoons%5Cmathrm%7BLi%5E%2B%7D%2Be%5E-%5C)%2C%20ions%20and%20electrons%20must%0A%20%20%20%20share%20one%20flux.%20Their%20chemical%20diffusivity%20is%20therefore%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20D_%7B%5Crm%20Li%7D%5E%7B%5Cdelta%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B2D_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7DD_%7Be%5E-%7D%7D%7BD_%7B%5Crm%20Li%5E%2B%7D%2BD_%7Be%5E-%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20so%20the%20slower%20carrier%20sets%20the%20bottleneck.%20The%20factor%20of%20two%20is%20specific%20to%0A%20%20%20%20this%20ideal%2C%20dilute%2C%20locally%20neutral%20one-ion%2Fone-electron%20pair%3B%20it%20is%20not%20a%0A%20%20%20%20universal%20chemical-diffusion%20formula.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2004%20%E2%80%94%20Space-Charge%20Layers%20and%20the%20Frumkin%20Effect%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F04-space-charge-frumkin%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%203%2C%20slides%205%E2%80%9311%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture3_macroscopic_transport.pdf)%2C%20%5BLecture%204%2C%20slides%208%E2%80%9317%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture4_microscopic_transport.pdf)%2C%20and%20%5BLecture%205%2C%20slides%2020%E2%80%9324%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture5_chemical_diffusivity.pdf)%3A%20driving%20forces%2C%20hops%2C%20and%20coupled%20diffusion.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A