04 space charge frumkin

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_04(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boxes%20%3D%20%5Baxis.get_tightbbox(renderer).transformed(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08)%20for%20axis%20in%20figure.axes%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axis%2C%20box)%20in%20enumerate(zip(figure.axes%2C%20boxes))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20is%20axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axis.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%3Bmax-width%3A42rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_04%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20model_details%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Geometry%2C%20notation%2C%20and%20model%20scope%0A%0A%20%20%20%20%3E%20**Predict%20before%20exploring.**%20If%20the%20bulk%20defect%20concentration%20increases%2C%0A%20%20%20%20%3E%20should%20the%20space-charge%20layer%20extend%20farther%20into%20the%20crystal%20or%20become%0A%20%20%20%20%3E%20more%20compact%3F%20What%20must%20happen%20to%20its%20capacitance%3F%0A%0A%20%20%20%20**Reader%20path%20and%20scope.**%20Sections%201%E2%80%932%20are%20the%20core%20space-charge%20lesson.%0A%20%20%20%20Sections%203%E2%80%934%20are%20the%20interface%20extension%3A%20capacitance%20and%20reaction-plane%0A%20%20%20%20kinetics.%20The%20geometry%20is%20planar%20and%20one-dimensional%3B%20%24%5Cphi_0%24%20is%20a%20boundary%0A%20%20%20%20condition%20supplied%20by%20the%20charged%20core.%20See%20the%20shared%0A%20%20%20%20%5Bnotation%20bridge%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md).%0A%0A%20%20%20%20A%20surface%2C%20grain%20boundary%2C%20or%20phase%20boundary%20can%20have%20a%20different%20defect%0A%20%20%20%20formation%20energy%20from%20the%20bulk.%20Defects%20may%20therefore%20segregate%20into%20a%20thin%0A%20%20%20%20**core**.%20If%20that%20core%20acquires%20net%20charge%2C%20nearby%20mobile%20defects%20rearrange%0A%20%20%20%20to%20screen%20it%3A%20this%20surrounding%20region%20is%20the%20**space-charge%20layer**.%20We%20do%0A%20%20%20%20not%20model%20the%20atomic%20structure%20of%20the%20core%3B%20its%20potential%20%5C(%5Cphi_0%5C)%20is%20the%0A%20%20%20%20boundary%20condition%20for%20the%20continuum%20region.%0A%0A%20%20%20%20At%20equilibrium%2C%20%5C(%5Cwidetilde%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%2Bz_i%20e%5Cphi%5C)%20is%20constant.%0A%20%20%20%20This%20relates%20concentration%20to%20potential.%20Charge%20density%20follows%20from%20the%0A%20%20%20%20concentrations%2C%20and%20Poisson's%20equation%20determines%20a%20consistent%20potential%0A%20%20%20%20profile.%20Gauss's%20law%20then%20gives%20the%20core%20charge%3B%20its%20potential%20derivative%0A%20%20%20%20gives%20the%20differential%20capacitance.%20The%20GCS%20and%20Frumkin%20extensions%20connect%0A%20%20%20%20that%20electrostatic%20profile%20to%20the%20reaction%20plane.%0A%0A%20%20%20%20We%20compare%20two%20limiting%20screening%20pictures%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Gouy%E2%80%93Chapman%3A**%20both%20positive%20and%20negative%20defects%20are%20mobile.%0A%20%20%20%20-%20**Mott%E2%80%93Schottky%3A**%20the%20majority%20negative%20dopants%20are%20frozen%2C%20while%20the%0A%20%20%20%20%20%20positive%20defects%20remain%20mobile.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20symbol%20%7C%20meaning%20used%20here%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(x%5C)%20%7C%20distance%20from%20the%20core%3B%20%5C(x%3D0%5C)%20at%20the%20interface%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(c_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%5C)%20%7C%20bulk%20number%20concentration%20of%20each%20charge%20carrier%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(%5Cphi_0%5C)%2C%20%5C(%5Cphi_1%5C)%2C%20%5C(%5Cphi_%5Cinfty%5C)%20%7C%20core%2C%20reaction-plane%2C%20and%20bulk%20potentials%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(Q_%7B%5Crm%20core%7D%5C)%20%7C%20core%20charge%20**per%20unit%20area**%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(%5Clambda_D%5C)%2C%20%5C(%5Clambda%5C)%20%7C%20Gouy%E2%80%93Chapman%20Debye%20length%20and%20Mott%E2%80%93Schottky%20depletion%20width%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%5C(C_%7B%5Crm%20sc%7D%5C)%2C%20%5C(C_s%5C)%20%7C%20diffuse-layer%20and%20Stern-layer%20differential%20capacitances%20per%20area%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20bulk%20is%20the%20reference%2C%20%5C(%5Cphi_%5Cinfty%3D0%5C)%2C%20and%20the%20main%20profile%20sections%0A%20%20%20%20use%20a%20positively%20charged%20core.%20Inputs%20are%20shown%20in%0A%20%20%20%20**K%2C%20V%2C%20cm%E2%81%BB%C2%B3%2C%20nm%2C%20and%20%CE%BCF%2Fcm%C2%B2**%3B%20calculations%20use%20SI%20internally.%20We%20use%0A%20%20%20%20%5C(k_B%2Ce%5C)%20for%20energies%20per%20defect%20and%20%5C(R%2CF%5C)%20for%20the%20equivalent%20molar%0A%20%20%20%20kinetic%20equations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Space-charge%20layers%3A%20screening%20a%20charged%20interface%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**How%20does%20a%20charged%20interface%20rearrange%20defects%20in%20the%20nearby%20solid%3F**%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20charged%20core%20creates%20an%20electrostatic%20potential%20%5C(%5Cphi(x)%5C).%20Mobile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charged%20defects%20respond%20through%20their%20electrochemical%20potential%20per%0A%20%20%20%20%20%20%20%20particle%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cwidetilde%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%5E0%2Bk_BT%5Cln(c_i%2Fc%5E0)%2Bz_i%20e%5Cphi.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(c%5E0%5C)%20is%20a%20fixed%20reference%20concentration%20and%20%5C(z_i%5C)%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20signed%20defect%20charge.%20Multiplying%20the%20per-particle%20equation%20by%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Avogadro's%20constant%20gives%20the%20molar%20lecture%20form%20with%20%5C(RT%5C)%20and%20%5C(F%5C).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20equilibrium%20this%20sum%20is%20spatially%20constant.%20Concentration%20therefore%0A%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20in%20exactly%20the%20way%20needed%20to%20oppose%20the%20electrical-energy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20change.%20We%20compare%20two%20one-dimensional%20limits%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Gouy%E2%80%93Chapman%3A**%20positive%20and%20negative%20defects%20are%20both%20mobile.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20**Mott%E2%80%93Schottky%3A**%20majority%20dopants%20are%20frozen%20and%20mobile%20defects%20are%20depleted.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20core%20reader%20ends%20with%20the%20profile%20and%20screening%20length.%20GCS%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20and%20the%20Frumkin%20reaction-plane%20correction%20remain%20available%0A%20%20%20%20%20%20%20%20as%20advanced%20continuations.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20%E2%80%94%20geometry%2C%20notation%2C%20units%2C%20and%20reader%20map%22%3A%20model_details%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20KB_J_PER_K%20%3D%201.380649e-23%0A%20%20%20%20E_CHARGE_C%20%3D%201.602176634e-19%0A%20%20%20%20EPSILON_0_F_PER_M%20%3D%208.8541878128e-12%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20%3D%2096485.33212%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20%3D%208.314462618%0A%0A%20%20%20%20def%20_positive(name%2C%20value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%3D%20float(value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(number)%20or%20number%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bname%7D%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20number%0A%0A%20%20%20%20def%20debye_length_m(temperature_k%2C%20concentration_cm3%2C%20epsilon_r%2C%20charge_magnitude)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Debye%20length%20for%20two%20mobile%20species%20with%20charges%20%2Bze%20and%20-ze.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_m3%20%3D%20_positive(%22concentration_cm3%22%2C%20concentration_cm3)%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%20%3D%20_positive(%22epsilon_r%22%2C%20epsilon_r)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20%3D%20EPSILON_0_F_PER_M%20*%20relative_permittivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sqrt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20*%20KB_J_PER_K%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(2.0%20*%20z_value**2%20*%20E_CHARGE_C**2%20*%20concentration_m3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Charge%20per%20core%20area%20required%20by%20the%20planar%20Gouy-Chapman%20layer.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%20%3D%20_positive(%22epsilon_r%22%2C%20epsilon_r)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_d%20%3D%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20%3D%20EPSILON_0_F_PER_M%20*%20relative_permittivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermal_voltage%20%3D%20KB_J_PER_K%20*%20temperature%20%2F%20(z_value%20*%20E_CHARGE_C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20permittivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20thermal_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20lambda_d%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.sinh(float(surface_potential_v)%20%2F%20(2.0%20*%20thermal_voltage))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22dQ_core%2Fdphi_0%20for%20the%20planar%20Gouy-Chapman%20solution.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%20%3D%20_positive(%22epsilon_r%22%2C%20epsilon_r)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_d%20%3D%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20%3D%20EPSILON_0_F_PER_M%20*%20relative_permittivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermal_voltage%20%3D%20KB_J_PER_K%20*%20temperature%20%2F%20(z_value%20*%20E_CHARGE_C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20permittivity%20%2F%20lambda_d%20*%20np.cosh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.asarray(surface_potential_v%2C%20dtype%3Dfloat)%20%2F%20(2.0%20*%20thermal_voltage)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20gouy_chapman_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Exact%20planar%20Poisson-Boltzmann%20profile%20for%20a%20symmetric%20defect%20pair.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20np.asarray(distance_m%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20_positive(%22concentration_cm3%22%2C%20concentration_cm3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lambda_d%20%3D%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermal_voltage%20%3D%20KB_J_PER_K%20*%20temperature%20%2F%20(z_value%20*%20E_CHARGE_C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Algebraically%20identical%20to%204%20V_T%20atanh(gamma%20exp(-x%2Flambda_D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20without%20rounding%20gamma%20to%20one%20at%20large%20imposed%20surface%20potentials.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface%20%3D%20float(surface_potential_v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_decay%20%3D%20np.exp(-abs(surface)%20%2F%20(2.0%20*%20thermal_voltage))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20one_minus_decay%20%3D%20-np.expm1(-distance%20%2F%20lambda_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20one_plus_decay%20%3D%201.0%20%2B%20np.exp(-distance%20%2F%20lambda_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20numerator%20%3D%20one_plus_decay%20%2B%20surface_decay%20*%20one_minus_decay%0A%20%20%20%20%20%20%20%20denominator%20%3D%20one_minus_decay%20%2B%20surface_decay%20*%20one_plus_decay%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_v%20%3D%20np.sign(surface)%20*%202.0%20*%20thermal_voltage%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(numerator)%20-%20np.log(denominator)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_potential%20%3D%20potential_v%20%2F%20thermal_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positive_ratio%20%3D%20np.exp(np.clip(-reduced_potential%2C%20-700.0%2C%20700.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20negative_ratio%20%3D%20np.exp(np.clip(%2Breduced_potential%2C%20-700.0%2C%20700.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linear_potential_v%20%3D%20float(surface_potential_v)%20*%20np.exp(-distance%20%2F%20lambda_d)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_positive_ev%20%3D%20-z_value%20*%20potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_positive_ev%20%3D%20%2Bz_value%20*%20potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lambda_d_m%22%3A%20lambda_d%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22potential_v%22%3A%20potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22linear_potential_v%22%3A%20linear_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22positive_ratio%22%3A%20positive_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22negative_ratio%22%3A%20negative_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_positive_ev%22%3A%20chemical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_positive_ev%22%3A%20electrical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrochemical_positive_ev%22%3A%20chemical_positive_ev%20%2B%20electrical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Depletion%20width%20lambda%20for%20a%20positive%20core%20and%20frozen%20negative%20dopants.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential%20%3D%20_positive(%22surface_potential_v%22%2C%20surface_potential_v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_m3%20%3D%20_positive(%22concentration_cm3%22%2C%20concentration_cm3)%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%20%3D%20_positive(%22epsilon_r%22%2C%20epsilon_r)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20%3D%20EPSILON_0_F_PER_M%20*%20relative_permittivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sqrt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20permittivity%20*%20potential%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(z_value%20*%20E_CHARGE_C%20*%20concentration_m3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20mott_schottky_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Depletion%20profile%20with%20a%20Boltzmann%20mobile%20positive%20defect.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distance%20%3D%20np.asarray(distance_m%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%20%3D%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inside%20%3D%20distance%20%3C%3D%20width%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_v%20%3D%20np.where(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20inside%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(surface_potential_v)%20*%20(distance%20%2F%20width%20-%201.0)%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_potential%20%3D%20z_value%20*%20E_CHARGE_C%20*%20potential_v%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20KB_J_PER_K%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positive_ratio%20%3D%20np.exp(np.clip(-reduced_potential%2C%20-700.0%2C%20700.0))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20negative_ratio%20%3D%20np.ones_like(distance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_positive_ev%20%3D%20-z_value%20*%20potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_positive_ev%20%3D%20%2Bz_value%20*%20potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22width_m%22%3A%20width%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22potential_v%22%3A%20potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22positive_ratio%22%3A%20positive_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22negative_ratio%22%3A%20negative_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_positive_ev%22%3A%20chemical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_positive_ev%22%3A%20electrical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrochemical_positive_ev%22%3A%20chemical_positive_ev%20%2B%20electrical_positive_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20ms_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_m3%20%3D%20_positive(%22concentration_cm3%22%2C%20concentration_cm3)%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%20%3D%20_positive(%22charge_magnitude%22%2C%20charge_magnitude)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%20%3D%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20z_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20z_value%20*%20E_CHARGE_C%20*%20concentration_m3%20*%20width%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20gcs_diffuse_potential_v(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20C_s(phi_0-phi_1)%3DQ_GC(phi_1)%20by%20monotone%20bisection.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi0%20%3D%20float(core_potential_v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22stern_capacitance_f_per_m2%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20phi0%20%3D%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.0%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20mismatch(phi1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20capacitance%20*%20(phi0%20-%20phi1)%20-%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lower%20%3D%20min(0.0%2C%20phi0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20upper%20%3D%20max(0.0%2C%20phi0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f_lower%20%3D%20mismatch(lower)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_iteration%20in%20range(90)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20midpoint%20%3D%200.5%20*%20(lower%20%2B%20upper)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_midpoint%20%3D%20mismatch(midpoint)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20f_lower%20*%20f_midpoint%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20upper%20%3D%20midpoint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lower%20%3D%20midpoint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f_lower%20%3D%20f_midpoint%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%200.5%20*%20(lower%20%2B%20upper)%0A%0A%20%20%20%20def%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi1%20%3D%20gcs_diffuse_potential_v(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20core_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge%20%3D%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffuse_capacitance%20%3D%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_capacitance%20%3D%201.0%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20stern_capacitance_f_per_m2%20%2B%201.0%20%2F%20diffuse_capacitance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22phi1_v%22%3A%20phi1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22stern_drop_v%22%3A%20float(core_potential_v)%20-%20phi1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22charge_c_per_m2%22%3A%20charge%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffuse_capacitance_f_per_m2%22%3A%20diffuse_capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22total_capacitance_f_per_m2%22%3A%20total_capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20frumkin_log10_anodic_current(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_potentials_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Normalized%20anodic%20current%20using%20the%20reaction-plane%20concentration%20and%20phi_1.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potentials%20%3D%20np.asarray(core_potentials_v%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%20%3D%20float(transfer_coefficient)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_reactant%20%3D%20float(reactant_charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phi1_values%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_potential_v(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20phi0%20in%20potentials%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20molar_scale%20%3D%20FARADAY_C_PER_MOL%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20float(temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_potential_factor%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-(1.0%20-%20alpha)%20*%20molar_scale%20*%20phi1_values%20%2F%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_concentration_factor%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-z_reactant%20*%20molar_scale%20*%20phi1_values%20%2F%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_naive_current%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(1.0%20-%20alpha)%20*%20molar_scale%20*%20potentials%20%2F%20np.log(10.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_total_frumkin_factor%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_potential_factor%20%2B%20log10_concentration_factor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log10_corrected_current%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log10_naive_current%20%2B%20log10_total_frumkin_factor%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22phi1_v%22%3A%20phi1_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22stern_drop_v%22%3A%20potentials%20-%20phi1_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_local_ratio%22%3A%20log10_concentration_factor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_potential_factor%22%3A%20log10_potential_factor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_concentration_factor%22%3A%20log10_concentration_factor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_total_frumkin_factor%22%3A%20log10_total_frumkin_factor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_naive_current%22%3A%20log10_naive_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22log10_corrected_current%22%3A%20log10_corrected_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20EPSILON_0_F_PER_M%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20E_CHARGE_C%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20KB_J_PER_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_log10_anodic_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_differential_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_surface_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_state%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gouy_chapman_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mott_schottky_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mott_schottky_width_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20profile_model_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Gouy-Chapman%22%2C%20%22Mott-Schottky%22%2C%20%22Compare%20both%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Gouy-Chapman%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Space-charge%20model%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20temperature_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D300%2C%20stop%3D1200%2C%20step%3D25%2C%20value%3D800%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%20(K)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_concentration_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D16.0%2C%20stop%3D21.0%2C%20step%3D0.25%2C%20value%3D18.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Bulk%20concentration%20exponent%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20epsilon_r_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%20stop%3D300%2C%20step%3D5%2C%20value%3D100%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Relative%20permittivity%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20charge_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D1%2C%20stop%3D3%2C%20step%3D1%2C%20value%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Defect%20charge%20magnitude%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_surface_potential_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.00%2C%20stop%3D1.00%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Gouy-Chapman%20core%20potential%20(V)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.01%2C%20stop%3D0.50%2C%20step%3D0.01%2C%20value%3D0.16%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Mott-Schottky%20depletion%20potential%20(V)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20show_linear_control%20%3D%20mo.ui.checkbox(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Show%20the%20Debye%E2%80%93H%C3%BCckel%20low-potential%20guide%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_model_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_linear_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_control%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20charge_control%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r_control%2C%0A%20%20%20%20gc_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20profile_model_control%2C%0A%20%20%20%20show_linear_control%2C%0A%20%20%20%20temperature_control%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20derivation%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20equilibrium%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bc_i(x)%7D%7Bc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cexp%5C!%5Cleft%5B-%5Cfrac%7Bz_i%20e%5Cphi(x)%7D%7Bk_BT%7D%5Cright%5D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20and%20the%20redistributed%20charge%20bends%20the%20potential%20through%20Poisson's%20equation%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Crho(x)%3D%5Csum_i%20z_i%20e%20c_i(x)%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cphi%7D%7Bdx%5E2%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Crho(x)%7D%7B%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Potential%20changes%20concentration%2C%20while%20the%20resulting%20charge%20density%20changes%0A%20%20%20%20potential.%20The%20exact%20Gouy-Chapman%20solution%20and%20the%20Mott-Schottky%20depletion%0A%20%20%20%20approximation%20close%20this%20loop%20in%20different%20ways.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20active_potential_control%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_surface_potential_control%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20profile_model_control.value%20%3D%3D%20%22Gouy-Chapman%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20ms_surface_potential_control%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20core_profile_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bprofile_model_control%2C%20active_potential_control%2C%20log_concentration_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_advanced_profile_items%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_control%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20if%20profile_model_control.value%20in%20(%22Gouy-Chapman%22%2C%20%22Compare%20both%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_advanced_profile_items.append(show_linear_control)%0A%20%20%20%20advanced_profile_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_advanced_profile_items%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_profile_title%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20%E2%80%94%20temperature%2C%20permittivity%2C%20charge%2C%20and%20linear%20guide%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20profile_model_control.value%20in%20(%22Gouy-Chapman%22%2C%20%22Compare%20both%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22Explore%20further%20%E2%80%94%20temperature%2C%20permittivity%2C%20and%20charge%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%201.%20Start%20with%20mobile%20charge%2C%20then%20compare%20screening%20pictures%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Begin%20with%20Gouy%E2%80%93Chapman%20and%20vary%20the%20core%20potential%20over%20a%20wide%20range.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20solid%20curve%20is%20exact%3B%20the%20dashed%20Debye%E2%80%93H%C3%BCckel%20exponential%20is%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20low-potential%20approximation.%20Then%20switch%20to%20Mott%E2%80%93Schottky%20or%20compare%0A%20%20%20%20%20%20%20%20both%20models%20and%20ask%20which%20species%20can%20move.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_profile_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20concentration%20control%20sets%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%3D10%5Ex%5C%2C%5Cmathrm%7Bcm%5E%7B-3%7D%7D%24.%20Gouy%E2%80%93Chapman%20uses%20the%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20branch%20%240%5Cleq%5Cphi_0%5Cleq1.00%5C%20%5Cmathrm%7BV%7D%24.%20This%20intentionally%20wide%0A%20%20%20%20%20%20%20%20teaching%20range%20makes%20the%20low-potential%20approximation%20directly%0A%20%20%20%20%20%20%20%20comparable%20with%20the%20exact%20nonlinear%20solution.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Mott%E2%80%93Schottky%20depletion%20approximation%20uses%20only%20the%20positive%20branch%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%240.01%5Cleq%5Cphi_0%5Cleq0.50%5C%20%5Cmathrm%7BV%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20advanced_profile_title%3A%20advanced_profile_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Model%20details%20%E2%80%94%20Boltzmann%20distribution%20and%20Poisson%20equation%22%3A%20derivation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20E_CHARGE_C%2C%0A%20%20%20%20KB_J_PER_K%2C%0A%20%20%20%20charge_control%2C%0A%20%20%20%20debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r_control%2C%0A%20%20%20%20gc_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20gouy_chapman_profile%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20mott_schottky_profile%2C%0A%20%20%20%20mott_schottky_width_m%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_control%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20profile_model_control%2C%0A%20%20%20%20temperature_control%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20temperature_k%20%3D%20float(temperature_control.value)%0A%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%20%3D%2010.0%20**%20float(log_concentration_control.value)%0A%20%20%20%20epsilon_r%20%3D%20float(epsilon_r_control.value)%0A%20%20%20%20charge_magnitude%20%3D%20float(charge_control.value)%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_v%20%3D%20float(ms_surface_potential_control.value)%0A%20%20%20%20surface_potential_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(gc_surface_potential_control.value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20profile_model_control.value%20%3D%3D%20%22Gouy-Chapman%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20ms_surface_potential_v%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20selected_debye_length_m%20%3D%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_ms_width_m%20%3D%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_ms_core_charge_c_per_m2%20%3D%20ms_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20surface_reduced_potential%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20surface_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(KB_J_PER_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_surface_mobile_ratio%20%3D%20np.exp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20ms_surface_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(KB_J_PER_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20ms_surface_mobile_ratio%20%3C%3D%200.05%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_depletion_status%20%3D%20%22Strong-depletion%20limit%22%0A%20%20%20%20elif%20ms_surface_mobile_ratio%20%3C%3D%200.30%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_depletion_status%20%3D%20%22Intermediate%20depletion%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_depletion_status%20%3D%20%22Outside%20the%20strong-depletion%20limit%22%0A%0A%20%20%20%20gc_distance_m%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%206.0%20*%20selected_debye_length_m%2C%20700)%0A%20%20%20%20ms_distance_m%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.5%20*%20selected_ms_width_m%2C%20700)%0A%20%20%20%20gc_profile%20%3D%20gouy_chapman_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_profile%20%3D%20mott_schottky_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_depletion_status%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_mobile_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_ms_core_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_ms_width_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_reduced_potential%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20gc_distance_m%2C%0A%20%20%20%20gc_profile%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ms_distance_m%2C%0A%20%20%20%20ms_profile%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20profile_model_control%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20selected_debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20selected_ms_width_m%2C%0A%20%20%20%20show_linear_control%2C%0A%20%20%20%20surface_reduced_potential%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20model%20%3D%20profile_model_control.value%0A%20%20%20%20show_gc%20%3D%20model%20in%20(%22Gouy-Chapman%22%2C%20%22Compare%20both%22)%0A%20%20%20%20show_ms%20%3D%20model%20in%20(%22Mott-Schottky%22%2C%20%22Compare%20both%22)%0A%20%20%20%20gc_x_nm%20%3D%20gc_distance_m%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20ms_x_nm%20%3D%20ms_distance_m%20*%201.0e9%0A%0A%20%20%20%20profile_figure%2C%20(potential_axis%2C%20concentration_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%204.8)%2C%20dpi%3D120%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20show_gc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_x_nm%2C%20gc_profile%5B%22potential_v%22%5D%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Exact%20Gouy-Chapman%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20bool(show_linear_control.value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20potential_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_x_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%5B%22linear_potential_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Debye%E2%80%93H%C3%BCckel%20low-potential%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_axis.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_debye_length_m%20*%201.0e9%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.1%2C%20ls%3D%22%3A%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_x_nm%2C%20gc_profile%5B%22positive_ratio%22%5D%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22GC%20positive%20co-ion%2C%20%24c_%2B%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_x_nm%2C%20gc_profile%5B%22negative_ratio%22%5D%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.8%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22GC%20negative%20counter-ion%2C%20%24c_-%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20show_ms%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms_x_nm%2C%20ms_profile%5B%22potential_v%22%5D%2C%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22-.%22%20if%20show_gc%20else%20%22-%22%2C%20label%3D%22Mott-Schottky%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_axis.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_ms_width_m%20*%201.0e9%2C%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%20lw%3D1.1%2C%20ls%3D%22%3A%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms_x_nm%2C%20ms_profile%5B%22positive_ratio%22%5D%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22-.%22%20if%20show_gc%20else%20%22-%22%2C%20label%3Dr%22MS%20mobile%20positive%20defect%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_axis.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms_x_nm%2C%20ms_profile%5B%22negative_ratio%22%5D%2C%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%20lw%3D1.7%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22MS%20frozen%20negative%20dopant%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20potential_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Electrostatic%20potential%2C%20%24%5Cphi%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22When%20does%20the%20low-potential%20limit%20fail%3F%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20model%20%3D%3D%20%22Gouy-Chapman%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20%22How%20far%20does%20the%20core%20potential%20extend%3F%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20concentration_axis.axhline(1.0%2C%20color%3D%22%23858B90%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20concentration_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Concentration%20%2F%20bulk%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Which%20charged%20species%20rearrange%3F%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20axis%20in%20(potential_axis%2C%20concentration_axis)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(profile_figure)%0A%0A%20%20%20%20explanation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Gouy-Chapman%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Both%20signs%20are%20mobile%3A%20positive%20co-ions%20leave%20the%20core%20region%20while%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22negative%20counter-ions%20accumulate.%20The%20solid%20potential%20is%20exact%3B%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22dashed%20exponential%20is%20the%20low-potential%20limit.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Mott-Schottky%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20negative%20dopants%20stay%20fixed.%20Depleting%20the%20mobile%20positive%20defects%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22exposes%20nearly%20uniform%20negative%20charge%2C%20producing%20a%20parabolic%20potential.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Compare%20both%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20same%20positive%20core%20is%20screened%20by%20two%20different%20charge%20inventories.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22GC%20continuously%20redistributes%20both%20signs%3B%20MS%20exposes%20frozen%20dopants%20over%20a%20depletion%20width.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D%5Bmodel%5D%0A%20%20%20%20if%20model%20%3D%3D%20%22Gouy-Chapman%22%20and%20surface_reduced_potential%20%3D%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22At%20zero%20core%20potential%2C%20there%20is%20no%20redistribution%3A%20both%20mobile%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22species%20remain%20at%20their%20bulk%20concentrations%2C%20and%20the%20potential%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22is%20zero%20throughout.%20The%20exact%20and%20linear%20profiles%20coincide.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20show_gc%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fr%22%20Here%20%24%7Cze%5Cphi_0%2F(k_BT)%7C%3D%7Babs(surface_reduced_potential)%3A.2f%7D%24.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Values%20much%20smaller%20than%20one%20give%20nearly%20identical%20curves%3B%20values%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22of%20order%20one%20or%20larger%20reveal%20the%20nonlinear%20Gouy-Chapman%20response.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_note%20%3D%20%22%22%0A%20%20%20%20if%20show_gc%20and%20abs(surface_reduced_potential)%20%3E%205.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20validity_note%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Model%20caution.**%20Here%20%24%7Cze%5Cphi_0%2F(k_BT)%7C%3E5%24.%20Ideal%20dilute%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Poisson%E2%80%93Boltzmann%20theory%20can%20then%20predict%20unrealistically%20large%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20enrichment%20because%20it%20neglects%20finite%20site%20density%2C%20non-ideal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20activities%2C%20defect%20association%2C%20and%20field-dependent%20permittivity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Exponential%20clipping%20prevents%20numerical%20overflow%20only%3B%20it%20is%20not%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite-site%20correction%20and%20does%20not%20extend%20the%20model's%20validity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20validity_note%20%3D%20mo.md(%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_04(profile_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20explanation%20%2B%20approximation_note%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20f%22%20Selected%20lengths%3A%20%24%5C%5Clambda_D%3D%7Bselected_debye_length_m%20*%201.0e9%3A.2f%7D%24%20nm%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20f%22and%20%24%5C%5Clambda%3D%7Bselected_ms_width_m%20*%201.0e9%3A.2f%7D%24%20nm.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20validity_note%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20gc_distance_m%2C%0A%20%20%20%20gc_profile%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20selected_debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20show_linear_control%2C%0A%20%20%20%20surface_reduced_potential%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20gc_figure%2C%20gc_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(14.4%2C%204.7)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20gc_distance_nm%20%3D%20gc_distance_m%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%5B%22potential_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Exact%20Gouy-Chapman%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20bool(show_linear_control.value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%5B%22linear_potential_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22small-potential%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_debye_length_m%20*%201.0e9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23666666%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clambda_D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Electrostatic%20potential%2C%20%24%5Cphi%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Potential%20is%20screened%20into%20the%20bulk%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%5B%22positive_ratio%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24c_%2B%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_profile%5B%22negative_ratio%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24c_-%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.axhline(1.0%2C%20color%3D%22%23858B90%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Concentration%20%2F%20bulk%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Co-ions%20deplete%3B%20counter-ions%20accumulate%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20gc_profile%5B%22chemical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22chemical%3A%20%24%5CDelta%5Cmu_%2B%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20gc_profile%5B%22electrical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22electrical%3A%20%24%2Bze%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20gc_profile%5B%22electrochemical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22sum%3A%20%24%5CDelta%5Cwidetilde%5Cmu_%2B%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Energy%20change%20(meV%20per%20defect)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Electrochemical%20potential%20stays%20flat%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20gc_axes%5B2%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20gc_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(gc_figure)%0A%0A%20%20%20%20gc_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Gouy%E2%80%93Chapman%3A%20all%20charged%20defects%20can%20move%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20the%20symmetric%20%5C(%2Bze%2F-ze%5C)%20pair%2C%20the%20exact%20planar%20solution%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7B%5Ctanh%5Bze%5Cphi(x)%2F(4k_BT)%5D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7B%5Ctanh%5Bze%5Cphi_0%2F(4k_BT)%5D%7D%7D%3De%5E%7B%7B-x%2F%5Clambda_D%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clambda_D%3D%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%20k_BT%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7B2z%5E2e%5E2c_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%7D%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Bulk%20electroneutrality%20requires%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(c_%2B(%5Cinfty)%3Dc_-(%5Cinfty)%3Dc_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%5C).%20Here%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Clambda_D%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_debye_length_m%20*%201.0e9%3A.2f%7D%5C%20nm%7D%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20larger%20%5C(c_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%5C)%20gives%20more%20screening%20charge%20and%20a%20shorter%0A%20%20%20%20%20%20%20%20layer%3B%20a%20larger%20%5C(%5Cepsilon_r%5C)%20makes%20the%20layer%20wider.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20important%20small-potential%20test%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%7Cze%5Cphi_0%2F(k_BT)%7C%5Cll1%5C).%20Its%20selected%20value%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Babs(surface_reduced_potential)%3A.2f%7D**%2C%20so%20the%20dashed%20exponential%20is%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20limiting%20guide%2C%20not%20the%20curve%20used%20in%20the%20calculation.%20The%20solid%20curve%0A%20%20%20%20%20%20%20%20always%20uses%20the%20exact%20Gouy%E2%80%93Chapman%20solution.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Continuum%20check.**%20The%20selected%20%5C(%5Clambda_D%5C)%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bselected_debye_length_m%20*%201.0e9%3A.2f%7D%20nm.%20When%20a%20screening%20length%20becomes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20comparable%20to%20a%20lattice%20spacing%20(roughly%20below%201%20nm)%2C%20a%20continuum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20should%20be%20treated%20as%20qualitative%20and%20atomistic%20structure%20matters.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20exact%20Gouy-Chapman%20profiles%20and%20electrochemical%20potential%22%3A%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_explanation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_04(gc_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Mobile%20co-ions%20and%20counter-ions%20redistribute%0A%20%20%20%20%20%20%20%20until%20their%20chemical%20and%20electrical%20energy%20changes%20cancel%20everywhere.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20Debye%E2%80%93H%C3%BCckel%20exponential%20is%20only%20the%20low-potential%20guide%3B%20the%20plotted%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nonlinear%20profile%20is%20the%20exact%20planar%20Gouy%E2%80%93Chapman%20result.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20ms_depletion_status%2C%0A%20%20%20%20ms_distance_m%2C%0A%20%20%20%20ms_profile%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_mobile_ratio%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20selected_ms_core_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20selected_ms_width_m%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20ms_figure%2C%20ms_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(14.4%2C%204.7)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20ms_distance_nm%20%3D%20ms_distance_m%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20ms_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_profile%5B%22potential_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B0%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_ms_width_m%20*%201.0e9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23666666%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22depletion%20width%20%24%5Clambda%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Electrostatic%20potential%2C%20%24%5Cphi%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Frozen%20charge%20gives%20a%20parabola%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B0%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20ms_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_profile%5B%22positive_ratio%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22mobile%20%24c_%2B%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_profile%5B%22negative_ratio%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22frozen%20%24c_-%2Fc_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Concentration%20%2F%20bulk%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Mobile%20positive%20defects%20are%20depleted%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20ms_profile%5B%22chemical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22chemical%3A%20%24%5CDelta%5Cmu_%2B%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20ms_profile%5B%22electrical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22electrical%3A%20%24%2Bze%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_distance_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e3%20*%20ms_profile%5B%22electrochemical_positive_ev%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22sum%3A%20%24%5CDelta%5Cwidetilde%5Cmu_%2B%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Energy%20change%20(meV%20per%20defect)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20same%20equilibrium%20cancellation%20remains%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ms_axes%5B2%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20ms_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(ms_figure)%0A%0A%20%20%20%20ms_explanation%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%202.%20Mott%E2%80%93Schottky%3A%20the%20majority%20dopants%20are%20frozen%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20negative%20defects%20remain%20at%20%5C(c_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%5C).%20When%20the%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mobile%20defects%20are%20strongly%20depleted%2C%20the%20space%20charge%20is%20approximately%0A%20%20%20%20%20%20%20%20constant%3A%20%5C(%5Crho%5Capprox-zec_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%5C).%20Poisson's%20equation%20then%20gives%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cphi(x)%3D%5Cphi_0%5Cleft(%5Cfrac%7B%7Bx%7D%7D%7B%7B%5Clambda%7D%7D-1%5Cright)%5E2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cquad%200%5Cle%20x%5Cle%5Clambda%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clambda%3D%5Csqrt%7B%7B%5Cfrac%7B%7B2%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%5Cphi_0%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%7Bze%20c_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%7D%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Global%20charge%20compensation%20gives%20the%20companion%20relation%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Q_%7B%7B%5Crm%20core%7D%7D%3D-Q_%7B%7B%5Crm%20sc%7D%7D%5Capprox%20ze%20c_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%5Clambda.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(%5Clambda%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_ms_width_m%20*%201.0e9%3A.2f%7D%5C%20nm%7D%7D%5C)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(Q_%7B%7B%5Crm%20core%7D%7D%5C)%20is%20**%7Bselected_ms_core_charge_c_per_m2%3A.3e%7D%20C%2Fm%C2%B2**.%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plotted%20mobile%20concentration%20remains%20the%20positive%20Boltzmann%20value%20rather%0A%20%20%20%20%20%20%20%20than%20being%20set%20to%20a%20literal%20zero.%20At%20the%20core%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(c_%2B(0)%2Fc_%7B%7Bi%2C%5Cinfty%7D%7D%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bms_surface_mobile_ratio%3A.3f%7D%7D%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Teaching%20status%3A%20%7Bms_depletion_status%7D.**%20The%20Mott%E2%80%93Schottky%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation%20is%20reliable%20when%20this%20ratio%20is%20much%20smaller%20than%20one%2C%20so%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20frozen%20negative%20dopants%20dominate%20the%20charge%20inside%20the%20depletion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20layer.%20The%200.05%20and%200.30%20cutoffs%20used%20for%20these%20three%20classroom%20labels%0A%20%20%20%20%20%20%20%20are%20guides%2C%20not%20universal%20sharp%20boundaries.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20Mott-Schottky%20depletion%20and%20electrochemical%20potential%22%3A%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_explanation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_04(ms_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Frozen%20charge%20produces%20a%20parabolic%20potential%2C%20but%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20mobile%20positive-defect%20electrochemical%20potential%20still%20remains%20flat%0A%20%20%20%20%20%20%20%20at%20equilibrium.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20mott_schottky_width_m%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20concentration_sweep_cm3%20%3D%20np.logspace(16.0%2C%2021.0%2C%20350)%0A%20%20%20%20debye_sweep_nm%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20concentration%20in%20concentration_sweep_cm3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20ms_sweep_nm%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20concentration%20in%20concentration_sweep_cm3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20epsilon_sweep%20%3D%20np.logspace(np.log10(5.0)%2C%20np.log10(300.0)%2C%20300)%0A%20%20%20%20debye_epsilon_nm%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20debye_length_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20relative_permittivity%20in%20epsilon_sweep%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%20*%201.0e9%0A%20%20%20%20ms_epsilon_nm%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mott_schottky_width_m(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20relative_permittivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20relative_permittivity%20in%20epsilon_sweep%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%20*%201.0e9%0A%0A%20%20%20%20width_figure%2C%20width_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%204.6)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_sweep_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debye_sweep_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Gouy-Chapman%20%24%5Clambda_D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_sweep_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_sweep_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Mott-Schottky%20%24%5Clambda%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20bulk%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Bulk%20concentration%2C%20%24c_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%24%20(cm%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Space-charge%20length%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22More%20defects%20screen%20over%20a%20shorter%20distance%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20width_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20debye_epsilon_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Gouy-Chapman%20%24%5Clambda_D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_epsilon_nm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Mott-Schottky%20%24%5Clambda%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20permittivity%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Relative%20permittivity%2C%20%24%5Cepsilon_r%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Space-charge%20length%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Larger%20permittivity%20broadens%20the%20layer%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20width_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20width_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(width_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20how%20concentration%20and%20permittivity%20set%20screening%20length%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Compare%20the%20two%20screening%20lengths%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Both%20lengths%20scale%20as%20%5C(c_%7Bi%2C%5Cinfty%7D%5E%7B-1%2F2%7D%5C)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cepsilon_r%5E%7B1%2F2%7D%5C)%2C%20but%20the%20interface%20enters%20differently%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20case%20%7C%20screening%20charge%20%7C%20dependence%20on%20the%20core%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Gouy%E2%80%93Chapman%20%7C%20two%20continuously%20redistributed%20mobile%20species%20%7C%20%5C(%5Clambda_D%5C)%20is%20independent%20of%20%5C(Q_%7B%5Crm%20core%7D%5C)%20and%20%5C(%5Cphi_0%5C)%3B%20changing%20%5C(%5Cphi_0%5C)%20changes%20the%20profile%20amplitude%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Mott%E2%80%93Schottky%20%7C%20exposed%20frozen%20dopants%20in%20a%20depletion%20region%20%7C%20%5C(%5Clambda%5Cpropto%5Csqrt%7B%5Cphi_0%7D%5C)%20and%20%5C(%5Clambda%3DQ_%7B%5Crm%20core%7D%2F(ze%20c_%7Bi%2C%5Cinfty%7D)%5C)%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20higher%20bulk%20concentration%20shortens%20either%20layer%20because%20more%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge%20is%20available%20per%20unit%20distance%20to%20screen%20the%20core.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Prediction.**%20Concentration%20and%20permittivity%20set%20the%20spatial%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20screening%20scale%3B%20only%20the%20Mott%E2%80%93Schottky%20depletion%20width%20also%20grows%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20explicitly%20with%20the%20imposed%20core%20potential.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_04(width_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Raising%20the%20bulk%20concentration%20shortens%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20screening%20lengths%2C%20while%20raising%20permittivity%20broadens%20them.%20Only%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20Mott%E2%80%93Schottky%20width%20also%20grows%20with%20the%20imposed%20core%20potential.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20stern_capacitance_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stern%20capacitance%20(microfarads%20per%20square%20centimeter)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20capacitance_view_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Space-charge%20capacitance%20only%22%2C%20%22Full%20GCS%20series%20capacitance%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Space-charge%20capacitance%20only%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Capacitance%20view%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20interface_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bstern_capacitance_control%2C%20capacitance_view_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20transfer_coefficient_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Butler-Volmer%20transfer%20coefficient%2C%20alpha%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20reactant_charge_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-2%20(doubly%20negative%20R)%22%3A%20-2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22-1%20(singly%20negative%20R)%22%3A%20-1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%220%20(neutral%20R)%22%3A%200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2B1%20(singly%20positive%20R)%22%3A%201%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%2B2%20(doubly%20positive%20R)%22%3A%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22%2B1%20(singly%20positive%20R)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Signed%20reactant%20charge%20number%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20kinetic_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btransfer_coefficient_control%2C%20reactant_charge_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance_view_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interface_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinetic_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reactant_charge_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer_coefficient_control%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20gcs_intro%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20From%20charge%20to%20capacitance%3A%20Gouy%E2%80%93Chapman%E2%80%93Stern%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Gauss's%20law%20converts%20the%20Gouy%E2%80%93Chapman%20potential%20gradient%20into%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20core%20charge%20per%20area%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Q_%7B%5Crm%20core%7D%3D%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B2k_BT%7D%7Bze%5Clambda_D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csinh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bze%5Cphi_1%7D%7B2k_BT%7D%5Cright)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20sc%7D%3D%5Cfrac%7BdQ_%7B%5Crm%20core%7D%7D%7Bd%5Cphi_1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%7D%7B%5Clambda_D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ccosh%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7Bze%5Cphi_1%7D%7B2k_BT%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20In%20this%20ideal%20symmetric%20model%2C%20%5C(%5Cphi_0%3D0%5C)%20is%20the%20**point%20of%20zero%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge%20(pZC)**.%20Gouy%E2%80%93Chapman%20alone%20predicts%20a%20rapidly%20increasing%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20at%20large%20%5C(%7C%5Cphi%7C%5C)%20because%20point%20defects%20can%20approach%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20core%20without%20a%20size%20limit.%20The%20**Stern%20layer**%20represents%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite%20closest%20approach.%20Its%20linear%20potential%20drop%20and%20the%20diffuse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Gouy%E2%80%93Chapman%20layer%20carry%20the%20same%20charge%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Q_%7B%5Crm%20core%7D%3DC_s(%5Cphi_0-%5Cphi_1)%3DQ_%7B%5Crm%20GC%7D(%5Cphi_1)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7B%5Crm%20tot%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BC_s%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7B%5Crm%20sc%7D(%5Cphi_1)%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20At%20the%20pZC%2C%20%5C(%5Cphi_0%3D%5Cphi_1%3D0%5C)%2C%20so%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cepsilon_0%5Cepsilon_r%7D%7B%5Clambda_D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20tot%2CpZC%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7BC_s%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BC_%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Thus%20the%20pZC%20capacitance%20is%20close%20to%20%5C(C_s%5C)%20only%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%5Cgg%20C_s%5C).%20In%20the%20ideal%20Gouy-Chapman%20model%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%5Crm%20sc%7D%5C)%20grows%20with%20%5C(%7C%5Cphi_1%7C%5C)%2C%20so%20the%20total%20capacitance%20approaches%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_s%5C)%20at%20large%20field.%20The%20profile%20drawing%20places%20%5C(x_1%5C)%20at%200.5%20nm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20only%20to%20make%20the%20two%20regions%20visible.%20The%20physical%20compact-layer%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20input%20is%20%5C(C_s%5C)%3B%20an%20independent%20thickness%20would%20require%20a%20separate%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Stern%20permittivity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%20(gcs_intro%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20gc_differential_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20gcs_state%2C%0A%20%20%20%20gouy_chapman_profile%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20stern_capacitance_control%2C%0A%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%20%3D%20float(stern_capacitance_control.value)%20*%200.01%0A%20%20%20%20stern_thickness_m%20%3D%200.5e-9%0A%20%20%20%20selected_gcs_state%20%3D%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%20%3D%20np.linspace(-0.50%2C%200.50%2C%20401)%0A%20%20%20%20gcs_states%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20phi0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20phi0%20in%20gcs_potential_sweep_v%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20gcs_phi1_sweep_v%20%3D%20np.array(%5Bstate%5B%22phi1_v%22%5D%20for%20state%20in%20gcs_states%5D)%0A%20%20%20%20gcs_charge_sweep_c_per_m2%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bstate%5B%22charge_c_per_m2%22%5D%20for%20state%20in%20gcs_states%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_capacitance_sweep%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bstate%5B%22diffuse_capacitance_f_per_m2%22%5D%20for%20state%20in%20gcs_states%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_total_capacitance_sweep%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bstate%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%20for%20state%20in%20gcs_states%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_distance_m%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%206.0%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gouy_chapman_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B0.0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B%22lambda_d_m%22%5D%0A%20%20%20%20)%2C%20500)%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_profile%20%3D%20gouy_chapman_profile(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20stern_distance_m%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%20stern_thickness_m%2C%2080)%0A%20%20%20%20stern_potential_v%20%3D%20np.linspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_distance_m.size%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20bare_gc_capacitance_selected%20%3D%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20bare_gc_capacitance_sweep%20%3D%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%20%3D%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pzc_total_capacitance_f_per_m2%20%3D%201.0%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20stern_capacitance_f_per_m2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%201.0%20%2F%20pzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bare_gc_capacitance_selected%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bare_gc_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_phi1_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_total_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pzc_total_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_distance_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_thickness_m%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bare_gc_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20capacitance_view_control%2C%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_distance_m%2C%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_profile%2C%0A%20%20%20%20gcs_intro%2C%0A%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20gcs_total_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20interface_controls%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20pzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20pzc_total_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20selected_gcs_state%2C%0A%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20stern_distance_m%2C%0A%20%20%20%20stern_potential_v%2C%0A%20%20%20%20stern_thickness_m%2C%0A%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20gcs_figure%2C%20gcs_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%204.8)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_distance_m%20*%201.0e9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Stern%20layer%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(stern_thickness_m%20%2B%20gcs_diffuse_distance_m)%20*%201.0e9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_profile%5B%22potential_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Space-charge%20layer%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_thickness_m%20*%201.0e9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23666666%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22reaction%20plane%20%24x_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%20stern_thickness_m%20*%201.0e9%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bsurface_potential_v%2C%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D70%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%22%23B65C4A%22%2C%20%22%234C7C86%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Distance%20from%20core%2C%20%24x%24%20(nm)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Electrostatic%20potential%2C%20%24%5Cphi%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22The%20total%20drop%20splits%20into%20%24%5Cphi_0-%5Cphi_1%24%20and%20%24%5Cphi_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20if%20capacitance_view_control.value%20%3D%3D%20%22Space-charge%20capacitance%20only%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bare_gc_capacitance_sweep%20%2F%200.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24C_%7B%5Crm%20sc%7D(%5Cphi_1)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%5D%2C%20%5Bpzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D75%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22pZC%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Space-charge%20potential%2C%20%24%5Cphi_1%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24C_%7B%5Crm%20sc%7D%24%20(%24%5Cmu%24F%20cm%24%5E%7B-2%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22At%20pZC%2C%20%24C_%7B%5Crm%20sc%7D%3D%5Cepsilon%2F%5Clambda_D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20view_takeaway%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22This%20view%20isolates%20the%20Gouy%E2%80%93Chapman%20space-charge%20response.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22It%20does%20not%20yet%20include%20the%20compact%20Stern%20layer.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_diffuse_capacitance_sweep%20%2F%200.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24C_%7B%5Crm%20sc%7D%5B%5Cphi_1(%5Cphi_0)%5D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24C_s%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_total_capacitance_sweep%20%2F%200.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24C_%7B%5Crm%20tot%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%5D%2C%20%5Bpzc_total_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D80%2C%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22total%20at%20pZC%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Applied%20core%20potential%2C%20%24%5Cphi_0%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Differential%20capacitance%20(%24%5Cmu%24F%20cm%24%5E%7B-2%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Compact%20and%20space-charge%20layers%20add%20in%20series%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20view_takeaway%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20horizontal%20axis%20is%20the%20applied%20core%20potential%20%24%5C%5Cphi_0%24%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20space-charge%20curve%20is%20evaluated%20at%20the%20self-consistent%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22reaction-plane%20potential%20%24%5C%5Cphi_1(%5C%5Cphi_0)%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20gcs_axes%5B1%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20gcs_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(gcs_figure)%0A%0A%20%20%20%20gcs_summary%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20the%20selected%20%24%5Cphi_0%3D%7Bsurface_potential_v%3A.3f%7D%24%20V%2C%20the%20common%20charge%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20**%7Bselected_gcs_state%5B'charge_c_per_m2'%5D%3A.3e%7D%20C%2Fm%C2%B2**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20with%20%24%5Cphi_1%3D%7Bselected_gcs_state%5B'phi1_v'%5D%3A.4f%7D%24%20V%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cphi_0-%5Cphi_1%3D%7Bselected_gcs_state%5B'stern_drop_v'%5D%3A.4f%7D%24%20V.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20selected%20space-charge%20and%20total%20capacitances%20are%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_%7B%7B%5Crm%20sc%7D%7D%3D%7Bselected_gcs_state%5B'diffuse_capacitance_f_per_m2'%5D%20%2F%200.01%3A.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20%24C_%7B%7B%5Crm%20tot%7D%7D%3D%7Bselected_gcs_state%5B'total_capacitance_f_per_m2'%5D%20%2F%200.01%3A.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu%24F%20cm%24%5E%7B%7B-2%7D%7D%24.%20At%20the%20pZC%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_%7B%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%7D%3D%7Bpzc_diffuse_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%3A.2f%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_s%3D%7Bstern_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%3A.2f%7D%24%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_%7B%7B%5Crm%20tot%2CpZC%7D%7D%3D%7Bpzc_total_capacitance_f_per_m2%20%2F%200.01%3A.2f%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu%24F%20cm%24%5E%7B%7B-2%7D%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20series%20total%20is%20near%20%24C_%7B%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%7D%24%20only%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24C_s%5Cgg%20C_%7B%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%7D%24%3B%20it%20is%20near%20%24C_s%24%20only%20in%20the%20opposite%20limit.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bview_takeaway%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Advanced%20%E2%80%94%20Gouy%E2%80%93Chapman%E2%80%93Stern%20capacitance%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bgcs_intro%2C%20interface_controls%2C%20responsive_panels_04(gcs_figure)%2C%20gcs_summary%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20frumkin_log10_anodic_current%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20reactant_charge_control%2C%0A%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20transfer_coefficient_control%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20transfer_coefficient%20%3D%20float(transfer_coefficient_control.value)%0A%20%20%20%20reactant_charge_number%20%3D%20float(reactant_charge_control.value)%0A%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%20%3D%20np.linspace(-0.50%2C%200.50%2C%20401)%0A%20%20%20%20frumkin_sweep%20%3D%20frumkin_log10_anodic_current(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_frumkin%20%3D%20frumkin_log10_anodic_current(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bsurface_potential_v%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_frumkin%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20frumkin_sweep%2C%0A%20%20%20%20kinetic_controls%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_04%2C%0A%20%20%20%20selected_frumkin%2C%0A%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20frumkin_figure%2C%20frumkin_axes%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(13.8%2C%209.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dpi%3D120%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22phi1_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22diffuse%20drop%20%24%5Cphi_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22stern_drop_v%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Stern%20drop%20%24%5Cphi_0-%5Cphi_1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23858B90%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22total%20%24%5Cphi_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Driving%20potential%2C%20%24%5Cphi_0%3DE-E%5E%7B0%5Cprime%7D%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Potential%20contribution%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22GCS%20divides%20the%20applied%20potential%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%200%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_local_ratio%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%201%5D.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23858B90%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%201%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Driving%20potential%2C%20%24%5Cphi_0%3DE-E%5E%7B0%5Cprime%7D%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(%5BR%5D_%7Bx_1%7D%2F%5BR%5D_%7B%5Cinfty%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20reaction-plane%20concentration%20changes%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B0%2C%201%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_naive_current%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23858B90%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22bulk%20concentration%20%2B%20total%20potential%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%200%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_corrected_current%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Frumkin-corrected%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%200%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Driving%20potential%2C%20%24%5Cphi_0%3DE-E%5E%7B0%5Cprime%7D%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D%24%20normalized%20anodic%20current%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Current%20at%20the%20reaction%20plane%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%200%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%200%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_potential_factor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22potential%20part%2C%20%241-%5Calpha%3D%7B1.0%20-%20transfer_coefficient%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_concentration_factor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22concentration%20part%2C%20%24z_R%3D%7Breactant_charge_number%3A%2B.0f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_potential_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frumkin_sweep%5B%22log10_total_frumkin_factor%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22sum%3A%20Frumkin%20factor%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%23858B90%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Driving%20potential%2C%20%24%5Cphi_0%3DE-E%5E%7B0%5Cprime%7D%24%20(V)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Contribution%20to%20%24%5Clog_%7B10%7D(I%2FI_%7B%5Crm%20naive%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22What%20%24%5Calpha%24%20changes%E2%80%94and%20what%20it%20does%20not%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20frumkin_axes%5B1%2C%201%5D.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20frumkin_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(frumkin_figure)%0A%0A%20%20%20%20selected_local_ratio%20%3D%2010.0%20**%20float(selected_frumkin%5B%22log10_local_ratio%22%5D%5B0%5D)%0A%20%20%20%20selected_current_ratio%20%3D%2010.0%20**%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_frumkin%5B%22log10_total_frumkin_factor%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_text%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%204.%20The%20Frumkin%20effect%3A%20the%20reaction%20sees%20%5C(x%3Dx_1%5C)%2C%20not%20the%20bulk%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Butler%E2%80%93Volmer%20prerequisite%20and%20sign%20convention.**%20The%20plotted%20branch%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20anodic%3A%20increasing%20%24E-E%5E%7B%7B0%5Cprime%7D%7D%24%20drives%20oxidation%20in%20the%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current%20direction.%20The%20reactant%20charge%20%24z_R%24%20is%20signed.%20At%20positive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cphi_1%24%2C%20a%20positive%20reactant%20is%20depleted%20and%20a%20negative%20reactant%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20accumulated%20at%20the%20reaction%20plane.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20**Butler-Volmer%20transfer%20coefficient**%20%5C(%5Calpha%5C)%20is%20a%20dimensionless%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinetic%20parameter%20between%200%20and%201.%20It%20describes%20how%20an%20interfacial%0A%20%20%20%20%20%20%20%20overpotential%20changes%20the%20activation%20barriers%20of%20the%20two%20reaction%0A%20%20%20%20%20%20%20%20directions.%20For%20the%20anodic%20branch%20used%20here%2C%20the%20potential%20sensitivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20is%20proportional%20to%20%5C(1-%5Calpha%5C)%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20I_a%3DFSk%5E0%5Cexp%5C!%5Cleft%5B%5Cfrac%7B%7B(1-%5Calpha)F%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(E-E%5E%7B%7B0%5Cprime%7D%7D-%5Cphi_1)%7D%7D%7B%7BRT%7D%7D%5Cright%5D%5BR%5D_%7B%7Bx%3Dx_1%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7B%5BR%5D_%7B%7Bx%3Dx_1%7D%7D%7D%7D%7B%7B%5BR%5D_%7B%7Bx%3D%5Cinfty%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cexp%5C!%5Cleft(-%5Cfrac%7B%7Bz_R%20F%5Cphi_1%7D%7D%7B%7BRT%7D%7D%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(S%5C)%20is%20the%20electrode%20area%2C%20written%20as%20%5C(A%5C)%20in%20Lecture%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slide%2024.%20We%20reserve%20%5C(A%5C)%20for%20the%20acceptor%20concentration%20in%20Module%2002.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20key%20separation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%5C(C_s%5C)%2C%20the%20bulk%20concentration%2C%20and%20%5C(%5Cepsilon_r%5C)%20determine%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**equilibrium%20electrostatics**%20and%20GCS%20capacitance%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%5C(%5Calpha%5C)%20enters%20only%20the%20**charge-transfer%20kinetics**.%20It%20should%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20change%20the%20potential%20profile%20or%20capacitance.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20final%20contribution%20plot%20isolates%20the%20%5C(%5Calpha%5C)-dependent%20potential%0A%20%20%20%20%20%20%20%20contribution%20from%20the%20concentration%20contribution.%20Changing%20%5C(%5Calpha%5C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20the%20kinetic%20potential%20factor%20and%20total%20Frumkin%20factor%2C%20while%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GCS%20potential%20and%20capacitance%20remain%20unchanged.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20corresponding%20exchange%20current%20also%20uses%20reaction-plane%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentrations%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20I_0%3DFSk%5E0%5BO%5D_%7B%7Bx_1%7D%7D%5E%7B%7B1-%5Calpha%7D%7D%5BR%5D_%7B%7Bx_1%7D%7D%5E%5Calpha.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20To%20keep%20this%20teaching%20plot%20one-dimensional%2C%20the%20formal%20potential%20is%20set%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equal%20to%20the%20pZC%20reference%2C%20so%20%5C(E-E%5E%7B%7B0%5Cprime%7D%7D%3D%5Cphi_0%5C).%20This%20is%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transparent%20reference%20choice%2C%20not%20a%20universal%20identity.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(z_R%5C)%20is%20a%20**signed**%20charge%20number.%20If%20a%20reaction%20is%20written%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(R%5E%7B%7B-z%7D%7D%5C)%2C%20with%20%5C(z%3E0%5C)%2C%20then%20%5C(z_R%3D-z%5C).%20A%20positive%20%5C(%5Cphi_1%5C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20enriches%20a%20negative%20reactant%20and%20depletes%20a%20positive%20one.%20The%20default%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(z_R%3D%2B1%5C)%20represents%20the%20proton-like%20depletion%20picture%20in%20the%20Pt%2FBZY%0A%20%20%20%20%20%20%20%20example.%20Relative%20to%20a%20curve%20using%20bulk%20concentration%20and%20the%20full%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Clog%5C!%5Cleft(%5Cfrac%7B%7BI_%7B%7Ba%2C%5Crm%20Frumkin%7D%7D%7D%7D%7B%7BI_%7B%7Ba%2C%5Crm%20naive%7D%7D%7D%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D-%5B(1-%5Calpha)%2Bz_R%5D%5Cfrac%7B%7BF%5Cphi_1%7D%7D%7B%7BRT%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20%5C(%5Cphi_0%3D%7Bsurface_potential_v%3A.3f%7D%5C)%20V%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Calpha%3D%7Btransfer_coefficient%3A.2f%7D%5C)%2C%20and%20%5C(z_R%3D%7Breactant_charge_number%3A%2B.0f%7D%5C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20local%20concentration%20ratio%20is%20**%7Bselected_local_ratio%3A.3g%7D**%20and%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20corrected%20anodic%20current%20is%20**%7Bselected_current_ratio%3A.3g%7D%20times**%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20naive%20curve.%20Either%20enhancement%20or%20suppression%20is%20possible%20because%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20and%20potential%20contributions%20can%20compete.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20reaction%20rate%20samples%20both%20local%20reactant%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20and%20local%20potential%20at%20%24x_1%24%3B%20%24%5Calpha%24%20changes%20kinetics%0A%20%20%20%20%20%20%20%20but%20does%20not%20change%20the%20equilibrium%20GCS%20capacitance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Advanced%20%E2%80%94%20Butler%E2%80%93Volmer%20prerequisite%20and%20Frumkin%20correction%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%5Bfrumkin_text%2C%20kinetic_controls%2C%20responsive_panels_04(frumkin_figure)%5D)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20EPSILON_0_F_PER_M%2C%0A%20%20%20%20E_CHARGE_C%2C%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20KB_J_PER_K%2C%0A%20%20%20%20bare_gc_capacitance_selected%2C%0A%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20frumkin_sweep%2C%0A%20%20%20%20gc_differential_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20gc_distance_m%2C%0A%20%20%20%20gc_profile%2C%0A%20%20%20%20gc_surface_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20gcs_diffuse_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20gcs_phi1_sweep_v%2C%0A%20%20%20%20gcs_state%2C%0A%20%20%20%20gcs_total_capacitance_sweep%2C%0A%20%20%20%20ms_distance_m%2C%0A%20%20%20%20ms_profile%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_charge_c_per_m2%2C%0A%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20reactant_charge_number%2C%0A%20%20%20%20selected_debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20selected_frumkin%2C%0A%20%20%20%20selected_gcs_state%2C%0A%20%20%20%20selected_ms_width_m%2C%0A%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20transfer_coefficient%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20thermal_energy_j%20%3D%20KB_J_PER_K%20*%20temperature_k%0A%20%20%20%20gc_boltzmann_residual%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(gc_profile%5B%22positive_ratio%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20gc_profile%5B%22potential_v%22%5D%20%2F%20thermal_energy_j%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_electrochemical_residual_ev%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(gc_profile%5B%22electrochemical_positive_ev%22%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gamma_selected%20%3D%20np.tanh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20surface_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(4.0%20*%20thermal_energy_j)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_tanh_identity%20%3D%20np.tanh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20gc_profile%5B%22potential_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(4.0%20*%20thermal_energy_j)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_tanh_reference%20%3D%20gamma_selected%20*%20np.exp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-gc_distance_m%20%2F%20selected_debye_length_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_solution_residual%20%3D%20np.max(np.abs(gc_tanh_identity%20-%20gc_tanh_reference))%0A%0A%20%20%20%20reduced_distance%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%206.0%2C%20500)%0A%0A%20%20%20%20def%20exact_reduced_gc_potential(surface_reduced)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%204.0%20*%20np.arctanh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.tanh(surface_reduced%20%2F%204.0)%20*%20np.exp(-reduced_distance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20low_reduced_potential%20%3D%201.0e-3%0A%20%20%20%20high_reduced_potential%20%3D%206.0%0A%20%20%20%20low_linear_profile%20%3D%20low_reduced_potential%20*%20np.exp(-reduced_distance)%0A%20%20%20%20high_linear_profile%20%3D%20high_reduced_potential%20*%20np.exp(-reduced_distance)%0A%20%20%20%20gc_low_potential_relative_error%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exact_reduced_gc_potential(low_reduced_potential)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20low_linear_profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20low_reduced_potential%0A%20%20%20%20gc_high_potential_relative_separation%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exact_reduced_gc_potential(high_reduced_potential)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20high_linear_profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20high_reduced_potential%0A%0A%20%20%20%20permittivity%20%3D%20EPSILON_0_F_PER_M%20*%20epsilon_r%0A%20%20%20%20gc_surface_field_v_per_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20KB_J_PER_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature_k%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20selected_debye_length_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.sinh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%20*%20E_CHARGE_C%20*%20surface_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(2.0%20*%20thermal_energy_j)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_gauss_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20permittivity%20*%20gc_surface_field_v_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20max(abs(permittivity%20*%20gc_surface_field_v_per_m)%2C%201.0e-300)%0A%0A%20%20%20%20ms_surface_residual%20%3D%20abs(ms_profile%5B%22potential_v%22%5D%5B0%5D%20-%20ms_surface_potential_v)%0A%20%20%20%20ms_far_residual%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(ms_profile%5B%22potential_v%22%5D%5Bms_distance_m%20%3E%3D%20selected_ms_width_m%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_electrochemical_residual_ev%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(ms_profile%5B%22electrochemical_positive_ev%22%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20expected_ms_curvature%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20E_CHARGE_C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20bulk_concentration_cm3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20permittivity%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20analytic_ms_curvature%20%3D%202.0%20*%20ms_surface_potential_v%20%2F%20selected_ms_width_m**2%0A%20%20%20%20ms_poisson_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20analytic_ms_curvature%20-%20expected_ms_curvature%0A%20%20%20%20)%20%2F%20expected_ms_curvature%0A%20%20%20%20ms_charge_from_width%20%3D%20ms_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_surface_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_charge_from_gauss%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20permittivity%20*%20ms_surface_potential_v%20%2F%20selected_ms_width_m%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ms_charge_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms_charge_from_width%20-%20ms_charge_from_gauss%0A%20%20%20%20)%20%2F%20ms_charge_from_width%0A%0A%20%20%20%20capacitance_step_v%20%3D%201.0e-6%0A%20%20%20%20gc_charge_plus%20%3D%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%20%2B%20capacitance_step_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gc_charge_minus%20%3D%20gc_surface_charge_c_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%20-%20capacitance_step_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20numerical_gc_capacitance%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gc_charge_plus%20-%20gc_charge_minus%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(2.0%20*%20capacitance_step_v)%0A%20%20%20%20gc_capacitance_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20numerical_gc_capacitance%20-%20bare_gc_capacitance_selected%0A%20%20%20%20)%20%2F%20bare_gc_capacitance_selected%0A%0A%20%20%20%20gcs_charge_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%20*%20selected_gcs_state%5B%22stern_drop_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_gcs_state%5B%22charge_c_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20)%20%2F%20max(abs(selected_gcs_state%5B%22charge_c_per_m2%22%5D)%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20gcs_voltage_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_gcs_state%5B%22stern_drop_v%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_series_capacitance_pass%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%3D%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22diffuse_capacitance_f_per_m2%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20%2B%201.0e-14)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_charge_plus%20%3D%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%20%2B%20capacitance_step_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%5B%22charge_c_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20gcs_charge_minus%20%3D%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface_potential_v%20-%20capacitance_step_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%5B%22charge_c_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20numerical_gcs_capacitance%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gcs_charge_plus%20-%20gcs_charge_minus%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(2.0%20*%20capacitance_step_v)%0A%20%20%20%20gcs_capacitance_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20numerical_gcs_capacitance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_gcs_state%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20)%20%2F%20selected_gcs_state%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20pzc_diffuse_capacitance%20%3D%20permittivity%20%2F%20selected_debye_length_m%0A%20%20%20%20calculated_pzc_space_charge_capacitance%20%3D%20gc_differential_capacitance_f_per_m2(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gcs_pzc_space_charge_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20calculated_pzc_space_charge_capacitance%20-%20pzc_diffuse_capacitance%0A%20%20%20%20)%20%2F%20pzc_diffuse_capacitance%0A%20%20%20%20expected_pzc_total_capacitance%20%3D%201.0%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20stern_capacitance_f_per_m2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%201.0%20%2F%20pzc_diffuse_capacitance%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20calculated_pzc_total_capacitance%20%3D%20gcs_state(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bulk_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20epsilon_r%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_magnitude%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stern_capacitance_f_per_m2%2C%0A%20%20%20%20)%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20gcs_pzc_capacitance_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20calculated_pzc_total_capacitance%20-%20expected_pzc_total_capacitance%0A%20%20%20%20)%20%2F%20expected_pzc_total_capacitance%0A%20%20%20%20frumkin_phi1_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(selected_frumkin%5B%22phi1_v%22%5D%5B0%5D)%20-%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20actual_frumkin_log10_factor%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_frumkin%5B%22log10_corrected_current%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_frumkin%5B%22log10_naive_current%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20expected_frumkin_log10_factor%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-((1.0%20-%20transfer_coefficient)%20%2B%20reactant_charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_gcs_state%5B%22phi1_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature_k%20*%20np.log(10.0))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20frumkin_factor_residual%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20actual_frumkin_log10_factor%20-%20expected_frumkin_log10_factor%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20positive_finite_values%20%3D%20np.concatenate(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_debye_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_ms_width_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bare_gc_capacitance_selected%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22diffuse_capacitance_f_per_m2%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_gcs_state%5B%22total_capacitance_f_per_m2%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.asarray(gcs_diffuse_capacitance_sweep)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.asarray(gcs_total_capacitance_sweep)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.asarray(gc_profile%5B%22positive_ratio%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.asarray(gc_profile%5B%22negative_ratio%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20expanded_finite_pass%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(np.isfinite(gcs_phi1_sweep_v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20all(np.all(np.isfinite(values))%20for%20values%20in%20frumkin_sweep.values())%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20module04_validation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_boltzmann_residual%22%3A%20gc_boltzmann_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_boltzmann_pass%22%3A%20gc_boltzmann_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_electrochemical_residual_ev%22%3A%20gc_electrochemical_residual_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_electrochemical_pass%22%3A%20gc_electrochemical_residual_ev%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_solution_residual%22%3A%20gc_solution_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_solution_pass%22%3A%20gc_solution_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_low_potential_relative_error%22%3A%20gc_low_potential_relative_error%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_low_potential_pass%22%3A%20gc_low_potential_relative_error%20%3C%201.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_high_potential_relative_separation%22%3A%20gc_high_potential_relative_separation%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_high_potential_separation_pass%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gc_high_potential_relative_separation%20%3E%200.10%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_gauss_residual%22%3A%20gc_gauss_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_gauss_pass%22%3A%20gc_gauss_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_capacitance_residual%22%3A%20gc_capacitance_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gc_capacitance_pass%22%3A%20gc_capacitance_residual%20%3C%202.0e-9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_surface_residual%22%3A%20ms_surface_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_far_residual%22%3A%20ms_far_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_boundary_pass%22%3A%20max(ms_surface_residual%2C%20ms_far_residual)%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_electrochemical_residual_ev%22%3A%20ms_electrochemical_residual_ev%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_electrochemical_pass%22%3A%20ms_electrochemical_residual_ev%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_poisson_residual%22%3A%20ms_poisson_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_poisson_pass%22%3A%20ms_poisson_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_charge_residual%22%3A%20ms_charge_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22ms_charge_pass%22%3A%20ms_charge_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_charge_residual%22%3A%20gcs_charge_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_charge_pass%22%3A%20gcs_charge_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_voltage_residual%22%3A%20gcs_voltage_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_voltage_pass%22%3A%20gcs_voltage_residual%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_series_capacitance_pass%22%3A%20gcs_series_capacitance_pass%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_capacitance_residual%22%3A%20gcs_capacitance_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_capacitance_pass%22%3A%20gcs_capacitance_residual%20%3C%202.0e-9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_pzc_space_charge_residual%22%3A%20gcs_pzc_space_charge_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_pzc_space_charge_pass%22%3A%20gcs_pzc_space_charge_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_pzc_capacitance_residual%22%3A%20gcs_pzc_capacitance_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22gcs_pzc_capacitance_pass%22%3A%20gcs_pzc_capacitance_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22frumkin_phi1_residual%22%3A%20frumkin_phi1_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22frumkin_phi1_pass%22%3A%20frumkin_phi1_residual%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22frumkin_factor_residual%22%3A%20frumkin_factor_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22frumkin_factor_pass%22%3A%20frumkin_factor_residual%20%3C%201.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22positive_finite_pass%22%3A%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20expanded_finite_pass%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(np.isfinite(positive_finite_values))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(positive_finite_values%20%3E%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(module04_validation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20module04_validation)%3A%0A%20%20%20%20def%20_status(passed)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20passed%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Physical%20consistency%20checks%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20status%20%7C%20physical%20statement%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%3A%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'gc_boltzmann_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gc_electrochemical_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gc_solution_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20Gouy%E2%80%93Chapman%20concentration%20and%20potential%20profiles%20obey%20Boltzmann%20equilibrium%20%7C%20chemical%20and%20electrical%20energies%20balance%20throughout%20the%20diffuse%20layer%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'gc_low_potential_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gc_high_potential_separation_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20Debye%E2%80%93H%C3%BCckel%20exponential%20converges%20to%20the%20exact%20profile%20at%20low%20potential%20and%20separates%20from%20it%20at%20high%20potential%20%7C%20the%20overlay%20teaches%20an%20approximation%20and%20its%20domain%2C%20not%20a%20second%20model%20input%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'gc_gauss_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gc_capacitance_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20diffuse-layer%20charge%20agrees%20with%20Gauss's%20law%20and%20its%20slope%20gives%20%5C(C_%7B%7B%5Crm%20sc%7D%7D%5C)%20%7C%20charge%2C%20field%2C%20and%20capacitance%20are%20three%20views%20of%20the%20same%20interface%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'ms_boundary_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'ms_poisson_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'ms_charge_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'ms_electrochemical_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20Mott%E2%80%93Schottky%20profile%20obeys%20its%20boundary%20potentials%2C%20frozen%20charge%2C%20and%20flat%20electrochemical%20potential%20%7C%20the%20depletion%20approximation%20remains%20self-consistent%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'gcs_charge_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gcs_voltage_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gcs_series_capacitance_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gcs_capacitance_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gcs_pzc_space_charge_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'gcs_pzc_capacitance_pass'%5D)%7D%20%7C%20Stern%20and%20diffuse%20layers%20carry%20the%20same%20charge%20and%20add%20as%20series%20capacitances%20%7C%20the%20GCS%20voltage%20split%20and%20pZC%20limit%20agree%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'frumkin_phi1_pass'%5D%20and%20module04_validation%5B'frumkin_factor_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20Frumkin%20response%20uses%20the%20same%20reaction-plane%20concentration%20and%20potential%20%7C%20equilibrium%20space%20charge%20and%20interfacial%20kinetics%20are%20connected%20consistently%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_status(module04_validation%5B'positive_finite_pass'%5D)%7D%20%7C%20all%20lengths%20and%20capacitances%20are%20positive%20and%20finite%20%7C%20every%20plotted%20interfacial%20scale%20is%20physical%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20checks%20follow%20the%20physical%20chain%20from%20redistribution%20to%20charge%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%2C%20and%20the%20reaction-plane%20Frumkin%20effect.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Take-home%20map%0A%0A%20%20%20%201.%20**Equilibrium%20and%20Poisson%20must%20agree.**%20A%20flat%20%24%5Cwidetilde%5Cmu_i%24%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20Boltzmann%20redistribution%2C%20while%20Poisson's%20equation%20makes%20concentration%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20charge%2C%20and%20potential%20self-consistent.%20Gouy%E2%80%93Chapman%20moves%20both%20signs%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20Mott%E2%80%93Schottky%20freezes%20the%20majority%20dopants.%0A%20%20%20%202.%20**Capacitance%20measures%20the%20charge%20response.**%20Gauss's%20law%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%24Q_%7B%5Crm%20core%7D(%5Cphi)%24%20and%20differentiation%20gives%20%24C_%7B%5Crm%20sc%7D%24.%20Stern%20and%20diffuse%0A%20%20%20%20%20%20%20layers%20carry%20the%20same%20charge%20and%20add%20in%20series%3B%20near%20the%20pZC%20the%20total%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20close%20to%20%24C_s%24%20only%20when%20%24C_%7B%5Crm%20sc%2CpZC%7D%5Cgg%20C_s%24.%0A%20%20%20%203.%20**A%20reaction%20experiences%20the%20reaction%20plane.**%20The%20Frumkin%20effect%20combines%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20local%20concentration%20and%20local%20potential%20at%20%24x%3Dx_1%24.%20The%20transfer%0A%20%20%20%20%20%20%20coefficient%20%24%5Calpha%24%20belongs%20to%20this%20kinetic%20step%2C%20not%20to%20equilibrium%20GCS%0A%20%20%20%20%20%20%20capacitance.%0A%0A%20%20%20%20**Model%20boundary.**%20The%20geometry%20is%20planar%20and%20one-dimensional.%20The%0A%20%20%20%20Gouy%E2%80%93Chapman%20section%20uses%20an%20ideal%20symmetric%20%5C(%2Bze%2F-ze%5C)%20mobile%20pair.%20The%0A%20%20%20%20Mott%E2%80%93Schottky%20section%20uses%20the%20depletion%20approximation%20with%20frozen%20negative%0A%20%20%20%20dopants.%20The%20Stern%20layer%20is%20represented%20by%20a%20constant%20capacitance.%20The%0A%20%20%20%20Frumkin%20plot%20aligns%20formal%20potential%20and%20pZC%20only%20to%20provide%20one%20transparent%0A%20%20%20%20voltage%20coordinate.%20Continuum%20theory%20becomes%20qualitative%20when%20a%20screening%0A%20%20%20%20length%20approaches%20atomic%20dimensions.%20Specific%20adsorption%2C%20finite-site%0A%20%20%20%20crowding%20beyond%20Stern's%20closest-approach%20picture%2C%20and%20Marcus%20charge-transfer%0A%20%20%20%20theory%20are%20deliberately%20left%20for%20later%20modules.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2005%20%E2%80%94%20Stoichiometry%20Polarization%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F05-stoichiometry-polarization%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%207%2C%20slides%2012%E2%80%9326%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture7_space_charge_layers.pdf)%20and%20%5BLecture%2010%2C%20slides%2019%E2%80%9327%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture10_solid-state_electrochemistry_ii_kinetics_butler_volmer-1.pdf)%3A%20screening%2C%20capacitance%2C%20and%20the%20reaction%20plane.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A