05 stoichiometry polarization

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D2.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_05(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.transforms%20import%20Bbox%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20A%20twinned%20time%20axis%20is%20part%20of%20the%20same%20panel%2C%20not%20another%20subplot.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Group%20coincident%20axes%20so%20both%20scales%20and%20their%20labels%20stay%20together.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20visibility%20%3D%20%7Baxis%3A%20axis.get_visible()%20for%20axis%20in%20figure.axes%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20groups%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20visibility%5Baxis%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%20%3D%20tuple(round(value%2C%208)%20for%20value%20in%20axis.get_position().bounds)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20groups.setdefault(position%2C%20%5B%5D).append(axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels_with_boxes%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(axes%2C%20Bbox.union(%5Baxis.get_tightbbox(renderer)%20for%20axis%20in%20axes%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.transformed(figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axes%20in%20groups.values()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axes%2C%20box)%20in%20enumerate(panels_with_boxes)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20in%20axes)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axes%5B0%5D.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%3Bmax-width%3A42rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(visibility%5Baxis%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rendered%20%3D%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20heading%20%3D%20figure._suptitle.get_text()%20if%20figure._suptitle%20is%20not%20None%20else%20%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.vstack(%5Bmo.md(heading)%2C%20rendered%5D)%20if%20heading%20else%20rendered%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_05%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20solve_ivp%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20introduction%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Stoichiometry%20polarization%20in%20a%20mixed%20conductor%0A%0A%20%20%20%20**What%20happens%20inside%20a%20mixed%20conductor%20when%20both%20electrodes%20block%20ions%20but%0A%20%20%20%20still%20pass%20electrons%3F**%0A%0A%20%20%20%20Immediately%20after%20a%20current%20is%20applied%2C%20ions%20and%20electrons%20both%20respond.%0A%20%20%20%20The%20ions%20then%20meet%20blocking%20faces%3A%20they%20cannot%20leave%2C%20so%20the%20stoichiometry%0A%20%20%20%20redistributes%20until%20an%20internal%20chemical-potential%20gradient%20balances%20their%0A%20%20%20%20electrical%20drive.%0A%0A%20%20%20%20The%20model%20uses%20one%20ideal%20reaction%2C%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmathrm%7BH%7D%5Crightleftharpoons%5Cmathrm%7BH%5E%2B%7D%2Be%5E-%5C)%2C%20with%20local%20bulk%0A%20%20%20%20electroneutrality%20%5C(c_i%3Dc_e%3Dc(x%2Ct)%5C).%20The%20initially%20uniform%20concentration%20is%0A%20%20%20%20%5C(c_0%5C)%2C%20and%20both%20blocking%20faces%20keep%20its%20spatial%20average%20constant.%0A%20%20%20%20Here%20%5C(i%5C)%20denotes%20the%20ionic%20carrier%20and%20%5C(e%5C)%20the%20electronic%20carrier%3B%0A%20%20%20%20%5C(c%5C)%20is%20their%20common%20molar%20concentration.%20The%20neutral%20hydrogen%20chemical%0A%20%20%20%20potential%20is%20their%20sum.%20Since%20both%20ideal%20carrier%20concentrations%20change%2C%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmu_%7B%5Crm%20H%7D-%5Cmu_%7B%5Crm%20H%7D%5E0%3D2RT%5Cln(c%2Fc_0)%5C).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%0A%20%20%20%20geometry_figure%2C%20geometry_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%203.8)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20geometry_axis.set_xlim(-0.08%2C%201.08)%0A%20%20%20%20geometry_axis.set_ylim(-0.45%2C%200.65)%0A%20%20%20%20geometry_axis.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B-0.22%2C%20-0.22%5D%2C%20%5B0.30%2C%200.30%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23DDE7E8%22%2C%20edgecolor%3D%22%234C7C86%22%2C%20linewidth%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20geometry_axis.plot(%5B0.0%2C%200.0%5D%2C%20%5B-0.28%2C%200.36%5D%2C%20color%3D%22%236D747A%22%2C%20lw%3D7)%0A%20%20%20%20geometry_axis.plot(%5B1.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B-0.28%2C%200.36%5D%2C%20color%3D%22%236D747A%22%2C%20lw%3D7)%0A%20%20%20%20geometry_axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(0.82%2C%200.46)%2C%20xytext%3D(0.18%2C%200.46)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%201.6%2C%20%22color%22%3A%20%22%23B8734A%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(0.50%2C%200.51%2C%20%22Positive%20conventional%20current%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(-0.025%2C%200.36%2C%20%22%2B%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D19%2C%20color%3D%22%234C7C86%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(1.025%2C%200.36%2C%20%22%E2%88%92%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D19%2C%20color%3D%22%234C7C86%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(0.50%2C%200.34%2C%20r%22voltmeter%3A%20%24U%3DV_%7B%5Crm%20left%7D-V_%7B%5Crm%20right%7D%24%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D12)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(0.50%2C%200.02%2C%20r%22MIEC%3A%20mobile%20H%24%5E%2B%24%20and%20e%24%5E-%24%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(0.0%2C%20-0.37%2C%20%22Ion-blocking%5Cnmetal%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(1.0%2C%20-0.37%2C%20%22Ion-blocking%5Cnmetal%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.text(0.50%2C%20-0.29%2C%20r%22%240%5Cleq%20x%5Cleq%20L%24%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20geometry_axis.set_title(%22Ions%20remain%20in%20the%20slab%3B%20electrons%20cross%20both%20contacts%22)%0A%20%20%20%20geometry_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(geometry_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20introduction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20geometry_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Positive%20conventional%20current%20points%20toward%20%5C(%2Bx%5C).%20Since%20the%20electron%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage%20is%20%24V_e%3D-%5Cwidetilde%5Cmu_e%2FF%24%2C%20the%20marked%20voltmeter%20polarity%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboxed%7BU%3DV_%7B%5Crm%20left%7D-V_%7B%5Crm%20right%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D_e(L)-%5Cwidetilde%7B%5Cmu%7D_e(0)%7D%7BF%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20solve_ivp)%3A%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20%3D%208.314462618%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20%3D%2096485.33212%0A%20%20%20%20AVOGADRO_PER_MOL%20%3D%206.02214076e23%0A%0A%20%20%20%20def%20_positive(name%2C%20value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%3D%20float(value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(number)%20or%20number%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bname%7D%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20number%0A%0A%20%20%20%20def%20mixed_conductor_parameters(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mean_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_conductivity_s_per_cm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Ideal%20H%2B%2Fe-%20pair%20with%20both%20conductivities%20proportional%20to%20c.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%20%3D%20_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mean_concentration_cm3%22%2C%20mean_concentration_cm3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_total_s_per_cm%20%3D%20_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22total_conductivity_s_per_cm%22%2C%20total_conductivity_s_per_cm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio%20%3D%20_positive(%22electronic_to_ionic_ratio%22%2C%20electronic_to_ionic_ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length%20%3D%20_positive(%22length_m%22%2C%20length_m)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%20%3D%20concentration_cm3%20*%201.0e6%20%2F%20AVOGADRO_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_total_s_per_m%20%3D%20sigma_total_s_per_cm%20*%20100.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_fraction%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_fraction%20%3D%20ratio%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_i_s_per_m%20%3D%20ionic_fraction%20*%20sigma_total_s_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_e_s_per_m%20%3D%20electronic_fraction%20*%20sigma_total_s_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_i_m2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20sigma_i_s_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(FARADAY_C_PER_MOL**2%20*%20concentration_mol_per_m3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_e_m2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20sigma_e_s_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(FARADAY_C_PER_MOL**2%20*%20concentration_mol_per_m3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_diffusivity_m2_per_s%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity_i_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity_e_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(diffusivity_i_m2_per_s%20%2B%20diffusivity_e_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_delta_s%20%3D%20length**2%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.pi**2%20*%20chemical_diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22temperature_k%22%3A%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_cm3%22%3A%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%3A%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22length_m%22%3A%20length%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_total_s_per_m%22%3A%20sigma_total_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_i_s_per_m%22%3A%20sigma_i_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_e_s_per_m%22%3A%20sigma_e_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ionic_fraction%22%3A%20ionic_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_fraction%22%3A%20electronic_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_i_m2_per_s%22%3A%20diffusivity_i_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_e_m2_per_s%22%3A%20diffusivity_e_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%3A%20chemical_diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tau_delta_s%22%3A%20tau_delta_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20_odd_modes(mode_count)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20count%20%3D%20int(mode_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20count%20%3C%204%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22mode_count%20must%20be%20at%20least%20four%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.arange(1%2C%202%20*%20count%2C%202%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%0A%20%20%20%20def%20_profiles_from_modes(coefficients%2C%20positions%2C%20modes)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cosine_matrix%20%3D%20np.cos(np.pi%20*%20np.outer(positions%2C%20modes))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficient_array%20%3D%20np.asarray(coefficients%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20coefficient_array.ndim%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20%2B%20cosine_matrix%20%40%20coefficient_array%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20%2B%20coefficient_array%20%40%20cosine_matrix.T%0A%0A%20%20%20%20def%20simulate_stoichiometry_polarization(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_mode%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_strength_beta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20applied_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode_count%3D50%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20dc%2Fdt%3DD_delta*d2c%2Fdx2%20with%20two%20ion-blocking%20electrodes.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_ratios%20%3D%20np.asarray(reduced_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20time_ratios%5B0%5D%20!%3D%200.0%20or%20np.any(np.diff(time_ratios)%20%3C%3D%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22reduced_times%20must%20start%20at%20zero%20and%20increase%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modes%20%3D%20_odd_modes(mode_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cosine_matrix%20%3D%20np.cos(np.pi%20*%20np.outer(xi%2C%20modes))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_fraction%20%3D%20parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_fraction%20%3D%20parameters%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20parameters%5B%22temperature_k%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_value%20%3D%20float(current_strength_beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20decay%20%3D%20np.exp(-np.outer(time_ratios%2C%20modes**2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode_coefficients%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-4.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20beta_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(np.pi**2%20*%20modes**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20-%20decay)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_history%20%3D%20np.full(time_ratios.shape%2C%20beta_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20solver_success%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20solver_message%20%3D%20%22analytical%20Fourier%20solution%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_reduced_voltage%20%3D%20np.nan%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20drive_mode%20%3D%3D%20%22voltage%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_reduced_voltage%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(applied_voltage_v)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(2.0%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20beta_from_coefficients(coefficients_now)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_profile%20%3D%201.0%20%2B%20cosine_matrix%20%40%20coefficients_now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20This%20floor%20is%20used%20only%20during%20the%20implicit%20solver's%20internal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20trial%20steps.%20Returned%20physical%20profiles%20are%20never%20clipped.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20safe_profile%20%3D%20np.maximum(ratio_profile%2C%201.0e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.trapezoid(1.0%20%2F%20safe_profile%2C%20xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_jump%20%3D%20np.log(safe_profile%5B-1%5D%20%2F%20safe_profile%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_reduced_voltage%20-%20ionic_fraction%20*%20chemical_jump%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(electronic_fraction%20*%20resistance_integral)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20def%20modal_rhs(_time_ratio%2C%20coefficients_now)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_now%20%3D%20beta_from_coefficients(coefficients_now)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-(modes**2)%20*%20coefficients_now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%204.0%20*%20beta_now%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20modal_solution%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20modal_rhs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(float(time_ratios%5B0%5D)%2C%20float(time_ratios%5B-1%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.zeros_like(modes)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3Dtime_ratios%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D%22BDF%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D2.0e-8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atol%3D2.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20solver_success%20%3D%20bool(modal_solution.success)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20solver_message%20%3D%20str(modal_solution.message)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20solver_success%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20RuntimeError(solver_message)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode_coefficients%20%3D%20modal_solution.y.T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_history%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_from_coefficients(coefficients_now)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20coefficients_now%20in%20mode_coefficients%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22drive_mode%20must%20be%20'current'%20or%20'voltage'%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_ratio%20%3D%20_profiles_from_modes(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode_coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20modes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.trapezoid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20concentration_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_jump%20%3D%20np.log(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_ratio%5B%3A%2C%20-1%5D%20%2F%20concentration_ratio%5B%3A%2C%200%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_voltage%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_history%20*%20electronic_fraction%20*%20resistance_integral%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20ionic_fraction%20*%20chemical_jump%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20reduced_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_density_a_per_m2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beta_history%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters%5B%22sigma_e_s_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(FARADAY_C_PER_MOL%20*%20parameters%5B%22length_m%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22drive_mode%22%3A%20drive_mode%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22times_over_tau_delta%22%3A%20time_ratios%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22positions_over_length%22%3A%20xi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22modes%22%3A%20modes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mode_coefficients%22%3A%20mode_coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_ratio%22%3A%20concentration_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22beta%22%3A%20beta_history%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22resistance_integral%22%3A%20resistance_integral%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_jump%22%3A%20chemical_jump%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22reduced_voltage%22%3A%20reduced_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22voltage_v%22%3A%20voltage_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22current_density_a_per_m2%22%3A%20current_density_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22target_reduced_voltage%22%3A%20target_reduced_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22solver_success%22%3A%20solver_success%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22solver_message%22%3A%20solver_message%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20reconstruct_potential_profiles(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20beta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_density_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modes%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Reconstruct%20chemical%2C%20electrical%2C%20and%20electrochemical%20potentials.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients_now%20%3D%20np.asarray(coefficients%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_profile%20%3D%20_profiles_from_modes(coefficients_now%2C%20xi%2C%20modes)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sine_matrix%20%3D%20np.sin(np.pi%20*%20np.outer(xi%2C%20modes))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_gradient_per_xi%20%3D%20sine_matrix%20%40%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-np.pi%20*%20modes%20*%20coefficients_now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20The%20cosine%20representation%20converges%20to%20the%20non-zero%20boundary%20slope%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20only%20as%20a%20one-sided%20limit%3B%20impose%20the%20exact%20blocking%20condition%20there.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_gradient_per_xi%5B0%5D%20%3D%20float(beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_gradient_per_xi%5B-1%5D%20%3D%20float(beta)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20parameters%5B%22temperature_k%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length%20%3D%20parameters%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_i_j_per_mol%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature%20*%20np.log(ratio_profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_e_j_per_mol%20%3D%20mu_i_j_per_mol.copy()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_pair_j_per_mol%20%3D%20mu_i_j_per_mol%20%2B%20mu_e_j_per_mol%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_total_local%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parameters%5B%22sigma_total_s_per_m%22%5D%20*%20ratio_profile%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_m%20%3D%20xi%20*%20length%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_segment_ohm_m2%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20%2F%20sigma_total_local%5B1%3A%5D%20%2B%201.0%20%2F%20sigma_total_local%5B%3A-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.diff(positions_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cumulative_resistance_ohm_m2%20%3D%20np.concatenate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0.0%5D%2C%20np.cumsum(resistance_segment_ohm_m2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_i_j_per_mol%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mu_i_j_per_mol%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20parameters%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(mu_pair_j_per_mol%20-%20mu_pair_j_per_mol%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(current_density_a_per_m2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20cumulative_resistance_ohm_m2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrostatic_potential_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_i_j_per_mol%20-%20mu_i_j_per_mol%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_e_j_per_mol%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mu_e_j_per_mol%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20FARADAY_C_PER_MOL%20*%20electrostatic_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reconstructed_voltage_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_e_j_per_mol%5B-1%5D%20-%20tilde_mu_e_j_per_mol%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_ratio%22%3A%20ratio_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_gradient_per_xi%22%3A%20ratio_gradient_per_xi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_i_j_per_mol%22%3A%20mu_i_j_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_e_j_per_mol%22%3A%20mu_e_j_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_pair_j_per_mol%22%3A%20mu_pair_j_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrostatic_potential_v%22%3A%20electrostatic_potential_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_i_j_per_mol%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20*%20electrostatic_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_e_j_per_mol%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-FARADAY_C_PER_MOL%20*%20electrostatic_potential_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tilde_mu_i_j_per_mol%22%3A%20tilde_mu_i_j_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tilde_mu_e_j_per_mol%22%3A%20tilde_mu_e_j_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22reconstructed_voltage_v%22%3A%20reconstructed_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mixed_conductor_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reconstruct_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulate_stoichiometry_polarization%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20derivation%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20Derive%20the%20transient%20model%20from%20the%20two%20carrier%20fluxes%0A%0A%20%20%20%20For%20ideal%20dilute%20%24H%5E%2B%24%20and%20%24e%5E-%24%2C%20measured%20relative%20to%20the%20uniform%0A%20%20%20%20reference%20state%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmu_i%3D%5Cmu_e%3DRT%5Cln%5Cfrac%7Bc%7D%7Bc_0%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmu%3D%5Cmu_i%2B%5Cmu_e%3D2RT%5Cln%5Cfrac%7Bc%7D%7Bc_0%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20electrochemical%20potentials%20and%20molar%20fluxes%20are%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%2BF%5Cphi%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%5Cmu_e%3D%5Cmu_e-F%5Cphi%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_i%3D-%5Cfrac%7B%5Csigma_i%7D%7BF%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cwidetilde%5Cmu_i%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_e%3D-%5Cfrac%7B%5Csigma_e%7D%7BF%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cwidetilde%5Cmu_e%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20j%3DF(J_i-J_e).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Eliminating%20the%20internal%20electric%20field%20gives%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_i%3Dt_i%5Cfrac%7Bj%7D%7BF%7D-D%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20D%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B2D_iD_e%7D%7BD_i%2BD_e%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B2RT%7D%7BF%5E2c_0%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Csigma_i%5Csigma_e%7D%7B%5Csigma_i%2B%5Csigma_e%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Both%20electrodes%20block%20ions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_i(0%2Ct)%3DJ_i(L%2Ct)%3D0.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Conservation%20then%20produces%20the%20diffusion%20equation%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%0A%20%20%20%20%3DD%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2c%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%7C_%7B0%2CL%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7Bt_i%20j%7D%7BF%20D%5E%5Cdelta%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20a%20factor%20of%20two%20matters%20here%0A%0A%20%20%20%20The%20general%20blocking%20condition%20can%20be%20written%20using%0A%20%20%20%20%24(%5Cpartial%5Cmu%2F%5Cpartial%20c)%5E%7B-1%7D%24.%20For%20the%20explicit%20ideal%20pair%20used%20here%2C%0A%20%20%20%20%24%5Cmu%3D%5Cmu_i%2B%5Cmu_e%3D2RT%5Cln%20c%2B%5Ctext%7Bconstant%7D%24%2C%20so%20the%0A%20%20%20%20small-polarization%20boundary%20slope%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%7C_%7B0%2CL%7D%0A%20%20%20%20%5Capprox%20%5Cfrac%7BFjc_0%7D%7B2RT%5Csigma_e%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Lecture%206%2C%20slides%208%E2%80%9312%2C%20uses%20a%20single-logarithm%20dilute%20expression.%0A%20%20%20%20A%20coefficient%20without%20the%20%241%2F2%24%20corresponds%20to%20that%20different%20chemical-%0A%20%20%20%20potential%20model%2C%20rather%20than%20the%20two%20ideal%20carrier%20contributions%20selected%20here.%20This%20is%20why%20the%20boundary%20equation%20must%20be%20re-derived%20from%0A%20%20%20%20the%20chosen%20species%20rather%20than%20copied%20independently%20of%20the%20defect%20reaction.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20from%20carrier%20fluxes%20to%20diffusion%22%3A%20derivation%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20temperature_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D400%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D1200%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D800%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Temperature%2C%20T%20(K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_concentration_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D17.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D21.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D20.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Initial-concentration%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_total_conductivity_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Total-conductivity%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_conductivity_ratio_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ions%20faster%20(sigma_e%20%2F%20sigma_i%20%3D%200.01)%22%3A%20-2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Balanced%20carriers%20(ratio%20%3D%201)%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Electrons%20faster%20(ratio%20%3D%20100)%22%3A%202.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Electrons%20much%20faster%20(ratio%20%3D%201000)%22%3A%203.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Electrons%20faster%20(ratio%20%3D%20100)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Conductivity%20ratio%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20length_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2250%20micrometers%22%3A%2050.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22100%20micrometers%22%3A%20100.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22250%20micrometers%22%3A%20250.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22500%20micrometers%22%3A%20500.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%221%20millimeter%22%3A%201.0e-3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22100%20micrometers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Sample%20thickness%2C%20L%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20drive_mode_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22constant%20current%22%3A%20%22current%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22constant%20potential%22%3A%20%22voltage%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22constant%20current%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Electrical%20drive%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20current_strength_control%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22weak%20forward%20polarization%20(beta%20%3D%200.25)%22%3A%200.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22moderate%20forward%20polarization%20(beta%20%3D%200.80)%22%3A%200.80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22strong%20forward%20polarization%20(beta%20%3D%201.40)%22%3A%201.40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22moderate%20reverse%20polarization%20(beta%20%3D%20-0.80)%22%3A%20-0.80%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22moderate%20forward%20polarization%20(beta%20%3D%200.80)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Polarization%20strength%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20applied_voltage_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D120%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D60%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Applied%20voltage%2C%20U%20(mV)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_time_control%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D0.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-0.3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Reduced-time%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20applied_voltage_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_strength_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_mode_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_conductivity_ratio_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_time_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_total_conductivity_control%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_control%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20applied_voltage_control%2C%0A%20%20%20%20current_strength_control%2C%0A%20%20%20%20drive_mode_control%2C%0A%20%20%20%20length_control%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20log_conductivity_ratio_control%2C%0A%20%20%20%20log_time_control%2C%0A%20%20%20%20log_total_conductivity_control%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20temperature_control%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20if%20drive_mode_control.value%20%3D%3D%20%22current%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20active_drive_control%20%3D%20current_strength_control%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_intro%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%201.%20Apply%20a%20constant%20current%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20polarization%20preset%20fixes%20the%20current%20strength.%20The%20conductivity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio%20decides%20which%20carrier%20is%20slower%2C%20and%20the%20time%20control%20lets%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20profile%20grow%20from%20uniform%20toward%20its%20blocked%20steady%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cbeta%3D%5Cfrac%7BFjL%7D%7B2RT%5Csigma_e%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7Bc(x%2C%5Cinfty)%7D%7Bc_0%7D%3D1%2B%5Cbeta%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%7D%7BL%7D-%5Cfrac12%5Cright).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20active_drive_control%20%3D%20applied_voltage_control%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_intro%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%201.%20Apply%20a%20constant%20potential%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20selected%20terminal%20voltage%20is%20held%20fixed%20while%20the%20current%20relaxes.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20conductivity%20ratio%20decides%20which%20carrier%20is%20slower%2C%20and%20the%20time%0A%20%20%20%20%20%20%20%20control%20follows%20the%20growing%20stoichiometry%20polarization.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20core_controls%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bactive_drive_control%2C%20log_conductivity_ratio_control%2C%20log_time_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_controls%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btemperature_control%2C%20log_concentration_control%2C%20length_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blog_total_conductivity_control%2C%20drive_mode_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Switch%20the%20electrical-drive%20selector%20to%20compare%20fixed-current%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22and%20fixed-potential%20experiments.%20Only%20the%20active%20drive%20strength%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22is%20shown%20in%20the%20core%20controls.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_intro%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_controls%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20-%20material%20and%20drive%20controls%22%3A%20advanced_controls%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20applied_voltage_control%2C%0A%20%20%20%20current_strength_control%2C%0A%20%20%20%20drive_mode_control%2C%0A%20%20%20%20length_control%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_control%2C%0A%20%20%20%20log_conductivity_ratio_control%2C%0A%20%20%20%20log_time_control%2C%0A%20%20%20%20log_total_conductivity_control%2C%0A%20%20%20%20mixed_conductor_parameters%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20reconstruct_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20simulate_stoichiometry_polarization%2C%0A%20%20%20%20temperature_control%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_temperature_k%20%3D%20float(temperature_control.value)%0A%20%20%20%20selected_concentration_cm3%20%3D%2010.0%20**%20float(log_concentration_control.value)%0A%20%20%20%20selected_total_conductivity_s_per_cm%20%3D%2010.0%20**%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_total_conductivity_control.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%20%3D%2010.0%20**%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_conductivity_ratio_control.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_length_m%20%3D%20float(length_control.value)%0A%20%20%20%20selected_drive_mode%20%3D%20str(drive_mode_control.value)%0A%20%20%20%20selected_beta_setpoint%20%3D%20float(current_strength_control.value)%0A%20%20%20%20selected_applied_voltage_v%20%3D%20float(applied_voltage_control.value)%20*%201.0e-3%0A%0A%20%20%20%20selected_parameters%20%3D%20mixed_conductor_parameters(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_total_conductivity_s_per_cm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20polarization_time_ratios%20%3D%20np.concatenate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%5B0.0%5D%2C%20np.geomspace(1.0e-4%2C%205.0%2C%20180))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20polarization_positions%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20401)%0A%20%20%20%20polarization_solution%20%3D%20simulate_stoichiometry_polarization(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_beta_setpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_applied_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_time_ratios%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mode_count%3D50%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_time_targets%20%3D%20np.array(%5B0.02%2C%200.10%2C%200.50%2C%202.0%5D)%0A%20%20%20%20profile_time_indices%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20int(np.argmin(np.abs(polarization_time_ratios%20-%20target)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20target%20in%20profile_time_targets%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20requested_time_ratio%20%3D%2010.0%20**%20float(log_time_control.value)%0A%20%20%20%20selected_time_index%20%3D%20int(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.argmin(np.abs(polarization_time_ratios%20-%20requested_time_ratio))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_time_ratio%20%3D%20float(polarization_time_ratios%5Bselected_time_index%5D)%0A%20%20%20%20selected_time_s%20%3D%20selected_time_ratio%20*%20selected_parameters%5B%22tau_delta_s%22%5D%0A%20%20%20%20selected_current_density_a_per_m2%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22current_density_a_per_m2%22%5D%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_voltage_v%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22voltage_v%22%5D%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20selected_potential_profiles%20%3D%20reconstruct_potential_profiles(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22mode_coefficients%22%5D%5Bselected_time_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5Bselected_time_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_current_density_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22modes%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_time_ratios%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_time_indices%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_time_targets%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_applied_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_beta_setpoint%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_current_density_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_time_index%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_time_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_time_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_total_conductivity_s_per_cm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20selected_beta_setpoint%2C%0A%20%20%20%20selected_current_density_a_per_m2%2C%0A%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20selected_time_ratio%2C%0A%20%20%20%20selected_time_s%2C%0A%20%20%20%20selected_voltage_v%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_tau_minutes%20%3D%20selected_parameters%5B%22tau_delta_s%22%5D%20%2F%2060.0%0A%20%20%20%20if%20selected_drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_drive_details%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22The%20selected%20preset%20has%20%24%5C%5Cbeta%3D%7Bselected_beta_setpoint%3A.2f%7D%24%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22therefore%20%24j%3D%7Bselected_current_density_a_per_m2%20*%200.1%3A.3g%7D%24%20mA%2Fcm%C2%B2.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_drive_details%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20constant-potential%20extension%20is%20active%3B%20the%20classroom%20current%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22preset%20is%20retained%20but%20is%20not%20imposed.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20state_details%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20What%20the%20selected%20material%20parameters%20imply%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%3D%5Cfrac%7B%7B%5Csigma_i%7D%7D%7B%7B%5Csigma_i%2B%5Csigma_e%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_parameters%5B'ionic_fraction'%5D%3A.3f%7D%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_parameters%5B'electronic_fraction'%5D%3A.3f%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Chemical%20diffusivity%2C%20%24D%5E%5Cdelta%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bselected_parameters%5B'chemical_diffusivity_m2_per_s'%5D%20*%201.0e4%3A.2e%7D%20cm%C2%B2%2Fs**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Polarization%20time%2C%20%24%5Ctau%5E%5Cdelta%24%3A%20**%7Bselected_tau_minutes%3A.2f%7D%20min**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20At%20the%20selected%20%24t%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%7Bselected_time_ratio%3A.3g%7D%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%24t%3D%7Bselected_time_s%3A.3g%7D%24%20s)%2C%20the%20model%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24U%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_voltage_v%20*%201.0e3%3A.2f%7D%7D%7D%24%20mV%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24j%3D%5Cmathbf%7B%7B%7Bselected_current_density_a_per_m2%20*%200.1%3A.3g%7D%7D%7D%24%20mA%2Fcm%C2%B2.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20active%20drive%20is%20**%7Bselected_drive_mode.replace('_'%2C%20'%20')%7D**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_drive_details%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20slow%20carrier%20limits%20%24D%5E%5Cdelta%24%3A%20making%20one%20conductivity%20enormous%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cannot%20compensate%20for%20making%20the%20other%20one%20vanishingly%20small.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20selected%20material%20state%22%3A%20state_details%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mixed_conductor_parameters%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_05%2C%0A%20%20%20%20selected_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20selected_temperature_k%2C%0A%20%20%20%20selected_total_conductivity_s_per_cm%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20ratio_sweep%20%3D%20np.logspace(-3.0%2C%203.0%2C%20300)%0A%20%20%20%20sweep_parameters%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mixed_conductor_parameters(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_total_conductivity_s_per_cm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20ratio_value%20in%20ratio_sweep%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20ionic_fraction_sweep%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bitem%5B%22ionic_fraction%22%5D%20for%20item%20in%20sweep_parameters%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electronic_fraction_sweep%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bitem%5B%22electronic_fraction%22%5D%20for%20item%20in%20sweep_parameters%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20chemical_diffusivity_sweep_cm2%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bitem%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%20for%20item%20in%20sweep_parameters%5D%0A%20%20%20%20)%20*%201.0e4%0A%20%20%20%20tau_sweep_s%20%3D%20np.array(%5Bitem%5B%22tau_delta_s%22%5D%20for%20item%20in%20sweep_parameters%5D)%0A%0A%20%20%20%20ratio_figure%2C%20ratio_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%204.6)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.semilogx(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_fraction_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22ionic%20%24t_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.semilogx(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_fraction_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22electronic%20%24t_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20ratio%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Conductivity%20ratio%2C%20%24%5Csigma_e%2F%5Csigma_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Conductivity%20fraction%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20conductivity%20ratio%20partitions%20the%20current%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-0.03%2C%201.03)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B0%5D.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_diffusivity_sweep_cm2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24D%5E%5Cdelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_time_axis%20%3D%20ratio_axes%5B1%5D.twinx()%0A%20%20%20%20ratio_time_axis.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_sweep%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_sweep_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B65C4A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Ctau%5E%5Cdelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B1%5D.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Conductivity%20ratio%2C%20%24%5Csigma_e%2F%5Csigma_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24D%5E%5Cdelta%24%20(cm%24%5E2%24%20s%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20slower%20carrier%20sets%20the%20polarization%20time%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_time_axis.set_ylabel(r%22%24%5Ctau%5E%5Cdelta%24%20(s)%22%2C%20color%3D%22%23B65C4A%22)%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ratio_lines%20%3D%20ratio_axes%5B1%5D.get_lines()%5B%3A1%5D%20%2B%20ratio_time_axis.get_lines()%5B%3A1%5D%0A%20%20%20%20ratio_axes%5B1%5D.legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio_lines%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bline.get_label()%20for%20line%20in%20ratio_lines%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frameon%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20loc%3D%22best%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ratio_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(ratio_figure)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20-%20conductivity%20partition%20and%20time%20scale%22%3A%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_05(ratio_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Transference%20numbers%20partition%20the%20immediate%20current%2C%20while%20the%20slower%20carrier%20controls%20the%20chemical%20diffusivity%20and%20polarization%20time.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20polarization_solution%2C%0A%20%20%20%20polarization_time_ratios%2C%0A%20%20%20%20profile_time_indices%2C%0A%20%20%20%20profile_time_targets%2C%0A%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20selected_time_index%2C%0A%20%20%20%20selected_time_ratio%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20profile_figure%2C%20profile_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.2%2C%205.2)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20profile_colors%20%3D%20(%22%23B8CCD0%22%2C%20%22%2391AEB4%22%2C%20%22%236D9098%22%2C%20%22%234D737C%22)%0A%20%20%20%20profile_styles%20%3D%20(%22-%22%2C%20%22--%22%2C%20%22-.%22%2C%20%22%3A%22)%0A%20%20%20%20for%20slot%2C%20(target%2C%20index%2C%20color%2C%20style)%20in%20enumerate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zip(profile_time_targets%2C%20profile_time_indices%2C%20profile_colors%2C%20profile_styles)%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22concentration_ratio%22%5D%5Bindex%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcolor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3Dstyle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24t%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%7Btarget%3A.2f%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22concentration_ratio%22%5D%5Bselected_time_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22Selected%20%24t%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%7Bselected_time_ratio%3A.3g%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22concentration_ratio%22%5D%5B-1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23A56F55%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Late-time%20reference%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.axvline(0.0%2C%20color%3D%22%237F878C%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20alpha%3D0.55)%0A%20%20%20%20profile_axis.axvline(1.0%2C%20color%3D%22%237F878C%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20alpha%3D0.55)%0A%20%20%20%20profile_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Stoichiometry%2C%20%24c%2Fc_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20concentration%20gradient%20grows%20toward%20the%20blocked%20steady%20state%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xticks%3D%5B0.0%2C%200.5%2C%201.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xticklabels%3D%5Br%22%240%24%22%2C%20r%22%24L%2F2%24%22%2C%20r%22%24L%24%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%20-0.19%2C%20%22Ion-blocking%20electrode%22%2C%20transform%3Dprofile_axis.get_xaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%20va%3D%22top%22%2C%20color%3D%22%23526173%22%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%20-0.19%2C%20%22Ion-blocking%20electrode%22%2C%20transform%3Dprofile_axis.get_xaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%20va%3D%22top%22%2C%20color%3D%22%23526173%22%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20profile_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20ncols%3D2%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20profile_figure.subplots_adjust(bottom%3D0.25)%0A%20%20%20%20plt.close(profile_figure)%0A%0A%20%20%20%20_selected_excursion%20%3D%20float(np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22concentration_ratio%22%5D%5Bselected_time_index%5D%20-%201.0%0A%20%20%20%20)))%0A%20%20%20%20if%20_selected_excursion%20%3C%3D%200.15%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_constitutive_status%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Small%20concentration%20excursion%3A%20max%20%7Cc%2Fc0%20-%201%7C%20%3D%20%7B_selected_excursion%3A.2f%7D.%20The%20constant-coefficient%20approximation%20is%20well%20suited%20to%20this%20teaching%20state.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22success%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20_selected_excursion%20%3C%3D%200.40%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_constitutive_status%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Moderate%20concentration%20excursion%3A%20max%20%7Cc%2Fc0%20-%201%7C%20%3D%20%7B_selected_excursion%3A.2f%7D.%20Read%20the%20constant-coefficient%20model%20as%20a%20local%20approximation.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_constitutive_status%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22Strong%20concentration%20excursion%3A%20max%20%7Cc%2Fc0%20-%201%7C%20%3D%20%7B_selected_excursion%3A.2f%7D.%20The%20ideal%20constant-coefficient%20model%20is%20qualitative%20here.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20physical_time_s%20%3D%20polarization_time_ratios%20*%20selected_parameters%5B%22tau_delta_s%22%5D%0A%20%20%20%20plotted_time_s%20%3D%20np.maximum(physical_time_s%2C%20physical_time_s%5B1%5D%20*%200.2)%0A%20%20%20%20selected_plot_time_s%20%3D%20plotted_time_s%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20response_figure%2C%20response_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.2%2C%204.5)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20if%20selected_drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%20%3D%201.0e3%20*%20polarization_solution%5B%22voltage_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.semilogx(plotted_time_s%2C%20response%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_ylabel(r%22Measured%20voltage%2C%20%24U%24%20(mV)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_title(%22Voltage%20magnitude%20grows%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_sentence%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20imposed%20current%20is%20fixed.%20As%20the%20composition%20gradient%20grows%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical%20polarization%20increases%20the%20voltage%20magnitude%3B%20the%20voltage%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sign%20follows%20the%20current%20direction.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%20%3D%200.1%20*%20polarization_solution%5B%22current_density_a_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.semilogx(plotted_time_s%2C%20response%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_ylabel(r%22Current%20density%2C%20%24j%24%20(mA%20cm%24%5E%7B-2%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_title(%22Current%20relaxes%20at%20fixed%20voltage%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_sentence%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20imposed%20voltage%20is%20fixed.%20Chemical%20polarization%20takes%20over%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22part%20of%20the%20drive%2C%20so%20the%20current%20relaxes.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20response_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_plot_time_s%5D%2C%20%5Bresponse%5Bselected_time_index%5D%5D%2C%20s%3D65%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20response_axis.set_xlabel(%22Time%20(s)%22)%0A%20%20%20%20response_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20response_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(response_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%202.%20Watch%20the%20stoichiometry%20and%20electrical%20response%20evolve%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20total%20amount%20of%20ion%20is%20unchanged%3A%20depletion%20at%20one%20side%20equals%0A%20%20%20%20%20%20%20%20accumulation%20at%20the%20other.%20The%20solid%20selected%20profile%20and%20the%20marker%0A%20%20%20%20%20%20%20%20on%20the%20electrical-response%20curve%20show%20the%20same%20time.%20The%20other%20profiles%0A%20%20%20%20%20%20%20%20provide%20reference%20snapshots%20along%20the%20transient.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_constitutive_status%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Every%20transient%20profile%20has%20the%20same%20imposed%20ion-blocking%20boundary%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22condition.%20Their%20growing%20separation%20shows%20the%20approach%20to%20steady%20state.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(response_sentence)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_05%2C%0A%20%20%20%20selected_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20selected_time_ratio%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20potential_figure%2C%20(ion_axis%2C%20electron_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%204.7)%2C%20dpi%3D120%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ion_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22mu_i_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20label%3Dr%22Chemical%2C%20%24%5Cmu_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ion_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22electrical_i_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.4%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Dr%22Electrical%2C%20%24%2BF%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ion_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22tilde_mu_i_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22-.%22%2C%20label%3Dr%22Sum%2C%20%24%5Cwidetilde%5Cmu_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ion_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Molar%20energy%20(kJ%20mol%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Ion%20potential%20balance%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ion_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20ion_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%0A%20%20%20%20electron_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22mu_e_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20label%3Dr%22Chemical%2C%20%24%5Cmu_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electron_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22electrical_e_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.4%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Dr%22Electrical%2C%20%24-F%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electron_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22tilde_mu_e_j_per_mol%22%5D%20%2F%201.0e3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2340464D%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22-.%22%2C%20label%3Dr%22Sum%2C%20%24%5Cwidetilde%5Cmu_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electron_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Molar%20energy%20(kJ%20mol%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Electron%20potential%20balance%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20electron_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20electron_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20potential_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(potential_figure)%0A%0A%20%20%20%20reconstructed_voltage_mv%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22reconstructed_voltage_v%22%5D%20*%201.0e3%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20details%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Why%20the%20measured%20voltage%20contains%20chemical%20polarization%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20selected%20profile%20at%20%5C(t%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%7Bselected_time_ratio%3A.2g%7D%5C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fixes%20both%20carrier%20chemical%20potentials.%20The%20internal%20electrostatic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential%20follows%20from%20the%20same%20flux%20equations.%20Their%20sums%20reconstruct%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20measured%20voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5B%5Cwidetilde%5Cmu_e(L)-%5Cwidetilde%5Cmu_e(0)%5D%2FF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%7Breconstructed_voltage_mv%3A.2f%7D%5C)%20mV.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_05(potential_figure)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20-%20chemical%20and%20electrical%20potentials%22%3A%20details%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20polarization_solution%2C%0A%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20selected_time_index%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_scale_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22temperature_k%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_beta_now%20%3D%20float(polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5Bselected_time_index%5D)%0A%20%20%20%20_ohmic_now_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scale_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20_beta_now%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(polarization_solution%5B%22resistance_integral%22%5D%5Bselected_time_index%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chemical_now_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scale_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(polarization_solution%5B%22chemical_jump%22%5D%5Bselected_time_index%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_chemical_final_v%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scale_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20float(polarization_solution%5B%22chemical_jump%22%5D%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_initial_voltage_mv%20%3D%201.0e3%20*%20float(polarization_solution%5B%22voltage_v%22%5D%5B0%5D)%0A%20%20%20%20_initial_current_ma_cm2%20%3D%200.1%20*%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22current_density_a_per_m2%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_imposed%20%3D%20%22current%20density%20%24j%24%22%20if%20selected_drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%20else%20%22two-terminal%20voltage%20%24U%24%22%0A%20%20%20%20_measured%20%3D%20%22voltage%20%24U(t)%24%22%20if%20selected_drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%20else%20%22current%20density%20%24j(t)%24%22%0A%20%20%20%20decomposition%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Measurement%20decomposition%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20part%20of%20the%20experiment%20%7C%20quantity%20in%20this%20model%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20imposed%20%7C%20%7B_imposed%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20measured%20%7C%20%7B_measured%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20immediate%20Ohmic%20response%20%7C%20%24U(0%5E%2B)%3D%7B_initial_voltage_mv%3A.3g%7D%24%20mV%2C%20%24j(0%5E%2B)%3D%7B_initial_current_ma_cm2%3A.3g%7D%24%20mA%20cm%24%5E%7B%7B-2%7D%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20selected-time%20transport%20contribution%20%7C%20%24%7B1.0e3%20*%20_ohmic_now_v%3A.3g%7D%24%20mV%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20selected-time%20chemical-polarization%20contribution%20%7C%20%24%7B1.0e3%20*%20_chemical_now_v%3A.3g%7D%24%20mV%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20late%20chemical%20%2F%20Nernstian%20contribution%20%7C%20%24%7B1.0e3%20*%20_chemical_final_v%3A.3g%7D%24%20mV%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20displayed%20contributions%20add%20to%20the%20same%20%24U(t)%24%20calculated%20from%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20carrier%20electrochemical%20potentials.%20The%20chemical%20term%20begins%20at%20zero%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20grows%20only%20after%20stoichiometry%20redistributes.%20The%20zero-starting%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration-polarization%20curve%20in%20Lecture%206%2C%20slides%2010%E2%80%9312%2C%20should%0A%20%20%20%20%20%20%20%20therefore%20be%20distinguished%20from%20the%20full%20terminal%20voltage%20shown%20here%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20which%20includes%20the%20immediate%20response%20%24jL%2F(%5Csigma_i%2B%5Csigma_e)%24.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Connection%20to%20chemical%20capacitance.**%20For%20this%20ideal%20monovalent%20pair%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20neutral%7D%7D%3D2RT%5Cln(c%2Fc_0)%24%2C%20so%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cboxed%7B%7BC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%7BF%5E2V_%7B%7B%5Crm%20act%7D%7Dc%7D%7D%7B%7B2RT%7D%7D%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5EV%3D%5Cfrac%7B%7BC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%7D%7D%7B%7BV_%7B%7B%5Crm%20act%7D%7D%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%7BF%5E2c%7D%7D%7B%7B2RT%7D%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Chemical%20capacitance%20is%20differential%20storage%20of%20**neutral%20composition**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20It%20scales%20with%20active%20volume.%20Module%2007%20develops%20this%20result%3B%20Module%2008%0A%20%20%20%20%20%20%20%20uses%20the%20distributed%20line%20capacitance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24c_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3DC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%2FL%3DC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5EV%20S%24%20in%20F%20m%24%5E%7B%7B-1%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%24c%24%20is%20mol%20m%24%5E%7B%7B-3%7D%7D%24%20and%20%24%5Cmu_%7B%7B%5Crm%20neutral%7D%7D%24%20is%20molar%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(J%20mol%24%5E%7B%7B-1%7D%7D%24).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20measurement%20decomposition%22%3A%20decomposition%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20polarization_solution%2C%0A%20%20%20%20profile_time_indices%2C%0A%20%20%20%20reconstruct_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20selected_applied_voltage_v%2C%0A%20%20%20%20selected_beta_setpoint%2C%0A%20%20%20%20selected_drive_mode%2C%0A%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20selected_potential_profiles%2C%0A%20%20%20%20selected_temperature_k%2C%0A%20%20%20%20selected_time_index%2C%0A%20%20%20%20selected_voltage_v%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20concentration_history%20%3D%20polarization_solution%5B%22concentration_ratio%22%5D%0A%20%20%20%20mass_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.trapezoid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_history%20-%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20initial_uniform_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(concentration_history%5B0%5D%20-%201.0))%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20minimum_concentration_ratio%20%3D%20float(np.min(concentration_history))%0A%0A%20%20%20%20current_history%20%3D%20polarization_solution%5B%22current_density_a_per_m2%22%5D%0A%20%20%20%20voltage_history%20%3D%20polarization_solution%5B%22voltage_v%22%5D%0A%20%20%20%20if%20selected_drive_mode%20%3D%3D%20%22current%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(current_history%20-%20current_history%5B0%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(abs(current_history%5B0%5D)%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20expected_steady_beta%20%3D%20selected_beta_setpoint%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20drive_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(voltage_history%20-%20selected_applied_voltage_v))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(abs(selected_applied_voltage_v)%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20expected_steady_beta%20%3D%202.0%20*%20np.tanh(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_applied_voltage_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(4.0%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20selected_temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20steady_profile_expected%20%3D%201.0%20%2B%20expected_steady_beta%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%20-%200.5%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20steady_profile_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(concentration_history%5B-1%5D%20-%20steady_profile_expected))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(abs(expected_steady_beta)%2C%201.0)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20steady_beta_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5B-1%5D%20-%20expected_steady_beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(abs(expected_steady_beta)%2C%201.0)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20initial_ohmic_voltage%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_history%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20selected_parameters%5B%22sigma_total_s_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20initial_ohmic_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(voltage_history%5B0%5D%20-%20initial_ohmic_voltage)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(abs(voltage_history%5B0%5D)%2C%201.0e-300)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20initial_ohmic_polarity_pass%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(voltage_history%5B0%5D%20%3D%3D%200.0%20and%20current_history%5B0%5D%20%3D%3D%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20or%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_history%5B0%5D%20*%20current_history%5B0%5D%20%3E%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20initial_ohmic_voltage%20*%20current_history%5B0%5D%20%3E%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20blocking_flux_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20current_history%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e-300%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20blocking_flux_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20current_history%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_parameters%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22concentration_mol_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20selected_parameters%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5Bselected_time_index%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20blocking_flux_scale%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20displayed_boundary_residual%20%3D%20float(max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20current_history%5Bindex%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_parameters%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22concentration_mol_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20selected_parameters%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5Bindex%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs(selected_parameters%5B%22ionic_fraction%22%5D%20*%20current_history%5Bindex%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0e-300%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%20in%20profile_time_indices%0A%20%20%20%20))%0A%0A%20%20%20%20potential_decomposition_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22tilde_mu_i_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_potential_profiles%5B%22mu_i_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_potential_profiles%5B%22electrical_i_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22tilde_mu_e_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_potential_profiles%5B%22mu_e_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_potential_profiles%5B%22electrical_e_j_per_mol%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20reconstructed_voltage_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potential_profiles%5B%22reconstructed_voltage_v%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20selected_voltage_v%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20chemical_diffusivity_identity%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22diffusivity_i_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20selected_parameters%5B%22diffusivity_e_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%5B%22diffusivity_i_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20selected_parameters%5B%22diffusivity_e_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20diffusivity_residual%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20chemical_diffusivity_identity%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20selected_parameters%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20final_potential_profiles%20%3D%20reconstruct_potential_profiles(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22mode_coefficients%22%5D%5B-1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22beta%22%5D%5B-1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_history%5B-1%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20polarization_solution%5B%22modes%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20final_ion_tilde_range%20%3D%20float(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.ptp(final_potential_profiles%5B%22tilde_mu_i_j_per_mol%22%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20final_chemical_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.ptp(final_potential_profiles%5B%22mu_pair_j_per_mol%22%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20final_ion_flatness%20%3D%20final_ion_tilde_range%20%2F%20final_chemical_scale%0A%0A%20%20%20%20module05_validation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22solver_pass%22%3A%20bool(polarization_solution%5B%22solver_success%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22initial_uniform_residual%22%3A%20initial_uniform_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22initial_uniform_pass%22%3A%20initial_uniform_residual%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mass_residual%22%3A%20mass_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mass_pass%22%3A%20mass_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22minimum_concentration_ratio%22%3A%20minimum_concentration_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22positivity_pass%22%3A%20minimum_concentration_ratio%20%3E%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22drive_residual%22%3A%20drive_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22drive_pass%22%3A%20drive_residual%20%3C%202.0e-9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22initial_ohmic_residual%22%3A%20initial_ohmic_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22initial_ohmic_pass%22%3A%20initial_ohmic_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22initial_ohmic_polarity_pass%22%3A%20initial_ohmic_polarity_pass%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22blocking_flux_residual%22%3A%20blocking_flux_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22blocking_flux_pass%22%3A%20blocking_flux_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22displayed_boundary_residual%22%3A%20displayed_boundary_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22displayed_boundary_pass%22%3A%20displayed_boundary_residual%20%3C%202.0e-13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_residual%22%3A%20diffusivity_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_pass%22%3A%20diffusivity_residual%20%3C%202.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22potential_decomposition_residual%22%3A%20potential_decomposition_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22potential_decomposition_pass%22%3A%20potential_decomposition_residual%20%3C%201.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22reconstructed_voltage_residual%22%3A%20reconstructed_voltage_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22reconstructed_voltage_pass%22%3A%20reconstructed_voltage_residual%20%3C%202.0e-5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22steady_profile_residual%22%3A%20steady_profile_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22steady_beta_residual%22%3A%20steady_beta_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22steady_limit_pass%22%3A%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steady_profile_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20steady_beta_residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%3C%208.0e-3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22final_ion_flatness%22%3A%20final_ion_flatness%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22final_ion_flatness_pass%22%3A%20final_ion_flatness%20%3C%201.2e-2%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(module05_validation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20module05_validation)%3A%0A%20%20%20%20def%20_check_status(passed)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20passed%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%20Physical%20consistency%20checks%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20status%20%7C%20physical%20statement%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C---%3A%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'solver_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'initial_uniform_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'mass_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'positivity_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20sample%20begins%20uniform%2C%20remains%20positive%2C%20and%20conserves%20its%20total%20ion%20content%20%7C%20blocking%20electrodes%20redistribute%20stoichiometry%20without%20adding%20or%20removing%20ions%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'drive_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20selected%20current%20or%20voltage%20is%20held%20constant%20%7C%20the%20two%20experimental%20controls%20remain%20distinct%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'initial_ohmic_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'initial_ohmic_polarity_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'blocking_flux_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'displayed_boundary_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20uniform%20initial%20response%20obeys%20%24U%3DjL%2F(%5Csigma_i%2B%5Csigma_e)%24%20with%20the%20displayed%20polarity%2C%20and%20every%20profile%20has%20zero%20ionic%20flux%20at%20both%20electrodes%20%7C%20the%20sign%20convention%2C%20bulk%20response%2C%20and%20contact%20conditions%20describe%20one%20experiment%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'diffusivity_pass'%5D)%7D%20%7C%20%5C(D%5E%5Cdelta%3D2D_iD_e%2F(D_i%2BD_e)%5C)%20%7C%20ion%20and%20electron%20motion%20combine%20into%20one%20chemical%20diffusivity%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'potential_decomposition_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'reconstructed_voltage_pass'%5D)%7D%20%7C%20chemical%20and%20electrical%20contributions%20reproduce%20both%20electrochemical%20potentials%20and%20the%20terminal%20voltage%20%7C%20all%20plotted%20potentials%20belong%20to%20the%20same%20physical%20state%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20%7B_check_status(module05_validation%5B'steady_limit_pass'%5D%20and%20module05_validation%5B'final_ion_flatness_pass'%5D)%7D%20%7C%20the%20late%20profile%20reaches%20the%20expected%20steady%20state%20and%20%5C(%5Cwidetilde%5Cmu_i%5C)%20becomes%20flat%20%7C%20the%20long-time%20limit%20agrees%20with%20ion%20blocking%20%7C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20These%20checks%20protect%20the%20physical%20interpretation%20without%20adding%20new%0A%20%20%20%20%20%20%20%20equations%20to%20the%20model.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%201.%20**One%20neutral%20stoichiometry%20variable%20couples%20two%20carriers.**%20Local%20bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20electroneutrality%20gives%20%24c_i%3Dc_e%3Dc%24%2C%20while%20the%20slower%20carrier%20limits%0A%20%20%20%20%20%20%20%24D%5E%5Cdelta%3D2D_iD_e%2F(D_i%2BD_e)%24%20in%20this%20ideal%20pair%20model.%0A%20%20%20%202.%20**Blocking%20changes%20profiles%2C%20not%20total%20ion%20content.**%20Ion-blocking%20faces%0A%20%20%20%20%20%20%20force%20a%20gradient%20to%20grow%20while%20conserving%20the%20spatial%20average.%20Under%0A%20%20%20%20%20%20%20constant%20current%20the%20voltage%20rises%3B%20under%20constant%20potential%20the%20current%0A%20%20%20%20%20%20%20relaxes.%0A%20%20%20%203.%20**The%20measured%20voltage%20has%20several%20contributions.**%20Chemical%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20electrical%20terms%20add%20to%20each%20carrier's%20electrochemical%20potential.%20At%0A%20%20%20%20%20%20%20steady%20state%20%24%5Cwidetilde%5Cmu_i%24%20is%20flat%20and%20the%20remaining%20terminal%20current%0A%20%20%20%20%20%20%20is%20electronic.%0A%0A%20%20%20%20**Model%20boundary.**%20This%20first%20stoichiometry-polarization%20module%20is%20planar%0A%20%20%20%20and%20one-dimensional.%20It%20uses%20an%20ideal%20%24H%2FH%5E%2B%2Fe%5E-%24%20pair%2C%20local%20bulk%0A%20%20%20%20electroneutrality%2C%20conductivities%20proportional%20to%20%24c%24%2C%20and%20two%20perfectly%0A%20%20%20%20ion-blocking%20but%20electronically%20reversible%20electrodes.%20It%20does%20not%20resolve%0A%20%20%20%20interfacial%20space%20charge%2C%20electrode%20kinetics%2C%20non-ideal%20concentration%0A%20%20%20%20effects%2C%20concentration-dependent%20mobilities%2C%20electron-blocking%20electrodes%2C%0A%20%20%20%20or%20Hebb%E2%80%93Wagner%20boundary%20conditions.%20Those%20require%20new%20boundary%20or%0A%20%20%20%20constitutive%20equations%20and%20should%20be%20added%20as%20later%20cases%20rather%20than%20hidden%0A%20%20%20%20inside%20this%20model.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2006%20%E2%80%94%20From%20Coulometric%20Titration%20to%20PITT%20and%20GITT%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F06-pitt-gitt%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%206%2C%20slides%206%E2%80%9315%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture6_stoichiometry_polarization.pdf)%3A%20blocking%20boundaries%20and%20stoichiometry%20polarization.%20The%20ideal-pair%20and%20full-voltage%20distinctions%20are%20explained%20in%20Model%20details.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A