06 pitt gitt

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D2.0%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_06(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boxes%20%3D%20%5Baxis.get_tightbbox(renderer).transformed(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08)%20for%20axis%20in%20figure.axes%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axis%2C%20box)%20in%20enumerate(zip(figure.axes%2C%20boxes))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20is%20axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axis.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%3Bmax-width%3A42rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rendered%20%3D%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%20%20%20%20%20%20%20%20heading%20%3D%20figure._suptitle.get_text()%20if%20figure._suptitle%20is%20not%20None%20else%20%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.vstack(%5Bmo.md(heading)%2C%20rendered%5D)%20if%20heading%20else%20rendered%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_06%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20cumulative_trapezoid%2C%20solve_ivp%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lines.solid_capstyle%22%3A%20%22round%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.dpi%22%3A%20115%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20cumulative_trapezoid%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20solve_ivp%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20From%20coulometric%20titration%20to%20PITT%20and%20GITT%0A%0A%20%20%20%20**How%20can%20a%20short%20electrical%20pulse%20reveal%20both%20equilibrium%20composition%20and%0A%20%20%20%20chemical-diffusion%20speed%3F**%0A%0A%20%20%20%20A%20titration%20step%20has%20two%20jobs.%20Integrated%20charge%20tells%20how%20much%20neutral%0A%20%20%20%20material%20entered%20or%20left%20the%20MIEC.%20After%20a%20long%20open-circuit%20rest%2C%20the%0A%20%20%20%20electrode%20potential%20%5C(E%5C)%20gives%20one%20equilibrium%20point.%20The%20transient%0A%20%20%20%20between%20those%20states%20reveals%20how%20quickly%20composition%20redistributes.%0A%0A%20%20%20%20-%20**PITT**%20applies%20a%20potential%20step%20and%20measures%20the%20current%20decay.%0A%20%20%20%20-%20**GITT**%20applies%20a%20current%20step%20and%20measures%20the%20potential%20response.%0A%20%20%20%20-%20**OCV%20rest**%20sets%20terminal%20current%20to%20zero%20while%20an%20inherited%20internal%0A%20%20%20%20%20%20concentration%20gradient%20may%20continue%20to%20relax.%0A%0A%20%20%20%20The%20core%20reader%20follows%20one%20experiment%20at%20a%20time.%20All%20profiles%20come%20from%0A%20%20%20%20the%20finite%20one-dimensional%20diffusion%20model%3B%20the%20familiar%20short-%20and%0A%20%20%20%20long-time%20formulas%20appear%20only%20in%20advanced%20analysis.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20species_label_06%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Lithium%20host%3A%20Li%20%E2%87%8C%20Li%E2%81%BA%20%2B%20e%E2%81%BB%22%3A%20%22Li%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Hydrogen%20host%3A%20H%20%E2%87%8C%20H%E2%81%BA%20%2B%20e%E2%81%BB%22%3A%20%22H%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Lithium%20host%3A%20Li%20%E2%87%8C%20Li%E2%81%BA%20%2B%20e%E2%81%BB%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Neutral%20species%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20species_label_06%0A%20%20%20%20return%20(species_label_06%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20species_label_06)%3A%0A%20%20%20%20_delta%20%3D%20np.linspace(0.03%2C%200.97%2C%20400)%0A%20%20%20%20_reduced_potential%20%3D%20-np.log(_delta%20%2F%20(1.0%20-%20_delta))%0A%20%20%20%20_selected%20%3D%20np.array(%5B0.18%2C%200.36%2C%200.58%2C%200.78%5D)%0A%20%20%20%20_selected_potential%20%3D%20-np.log(_selected%20%2F%20(1.0%20-%20_selected))%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(7.5%2C%204.6)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axis.plot(_delta%2C%20_reduced_potential%2C%20color%3D%22%234F7881%22%2C%20lw%3D1.9)%0A%20%20%20%20_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_selected%2C%20_selected_potential%2C%20marker%3D%22D%22%2C%20s%3D65%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D4%2C%20label%3D%22successive%20long-rest%20states%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_left%2C%20_right%20in%20zip(_selected%5B%3A-1%5D%2C%20_selected%5B1%3A%5D)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(_right%2C%20-np.log(_right%20%2F%20(1.0%20-%20_right)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_left%2C%20-np.log(_left%20%2F%20(1.0%20-%20_left)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%237C6A91%22%2C%20%22lw%22%3A%201.8%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Drf%22neutral%20%7Bspecies_label_06.value%7D%20stoichiometry%2C%20%24%5Cdelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Illustrative%20%24F(E-E%5E0)%2F(RT)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Illustrative%20equilibrium%20titration%20curve%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20_axis.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%201.%20First%20build%20an%20equilibrium%20titration%20curve%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20pulse%20moves%20neutral%20**%7Bspecies_label_06.value%7D**.%20For%20a%20monovalent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20insertion%20reaction%2C%20define%20positive%20terminal%20current%20as%20**extraction**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20as%20in%20the%20pulse%20experiment%20below%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Q_%7B%7B%5Crm%20ext%7D%7D%3D%5Cint%20I%5C%2Cdt%3DF%20n_%7B%7B%5Crm%20host%7D%7D(%5Cdelta_1-%5Cdelta_2)%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c%3D%5Cfrac%7B%7B%5Cdelta%7D%7D%7B%7BV_m%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Integrated%20charge%20gives%20the%20composition%20step.%20After%20a%20long%20OCV%20rest%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20uniform%20specimen%20gives%20one%20point%20on%20%24E(%5Cdelta)%24.%20Repeating%20small%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse%E2%80%93rest%20steps%20maps%20equilibrium%3B%20each%20transient%20contains%20transport%0A%20%20%20%20%20%20%20%20information.%20Positive%20extraction%20charge%20lowers%20%5C(%5Cdelta%5C).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20opening%20curve%20is%20an%20**ideal%20lattice-gas%20illustration**%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(F(E-E%5E0)%2F(RT)%3D-%5Cln%5B%5Cdelta%2F(1-%5Cdelta)%5D%5C)%2C%20with%20%5C(%5Cdelta%5C)%20an%0A%20%20%20%20%20%20%20%20occupied-site%20fraction.%20It%20introduces%20equilibrium%20titration%2C%20as%20in%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20OCV%20lecture%3B%20it%20is%20not%20the%20constitutive%20law%20of%20the%20pulse%20solver.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20transient%20model%20below%20instead%20uses%20a%20dilute%20neutral%20ion%E2%80%93electron%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pair%2C%20%5C(%5Cmu_M-%5Cmu_M%5E0%3D2RT%5Cln(c%2Fc_0)%5C).%20Module%2007%20explains%20how%20each%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical-potential%20slope%20gives%20its%20own%20chemical%20capacitance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22Coulometry%20answers%20*where%20equilibrium%20is*%3B%20PITT%2FGITT%20asks%20*how%20the%20solid%20approaches%20it*.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20The%20selective-contact%20experiment%0A%0A%20%20%20%20Write%20the%20selectable%20neutral%20species%20as%0A%20%20%20%20%24%24M%20%5Crightleftharpoons%20M%5E%2B%20%2B%20e%5E-%2C%20%5Cqquad%20c_i%3Dc_e%3Dc(x%2Ct).%24%24%0A%0A%20%20%20%20Use%20**%24x%3D0%24%20at%20the%20ion%20electrolyte**%20and%0A%20%20%20%20**electronic%20current%20collector%20is%20at%20%24x%3DL%24**.%0A%0A%20%20%20%20-%20At%20%24x%3D0%24%2C%20the%20electrolyte%20passes%20%24M%5E%2B%24%20and%20blocks%20electrons%3A%20%24J_e(0%2Ct)%3D0%24.%0A%20%20%20%20-%20At%20%24x%3DL%24%2C%20the%20collector%20passes%20electrons%20and%20blocks%20%24M%5E%2B%24%3A%20%24J_i(L%2Ct)%3D0%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20carriers%20cross%20opposite%20faces%2C%20while%20bulk%20electroneutrality%20couples%20them%0A%20%20%20%20into%20a%20neutral%20composition%20change.%20We%20define%20%24j%3DF(J_i-J_e)%24.%20With%20the%20sign%0A%20%20%20%20convention%20used%20here%2C%20positive%20drive%20extracts%20%24M%24%2C%20so%20the%20mean%20concentration%0A%20%20%20%20falls.%20Every%20displayed%20profile%20uses%20the%20left-to-right%20coordinate%20shown%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Keep%20the%20experimental%20control%20separate%20from%20the%20model%20boundary%0A%0A%20%20%20%20%7C%20level%20%7C%20what%20is%20controlled%20or%20calculated%3F%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20experiment%20%7C%20the%20instrument%20holds%20a%20terminal%20potential%20(PITT)%20or%20terminal%20current%20(GITT)%2C%20then%20records%20the%20conjugate%20response%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20full%20notebook%20model%20%7C%20selective%20contacts%2C%20carrier%20fluxes%2C%20and%20the%20terminal%20equation%20determine%20the%20evolving%20surface%20concentrations%20and%20internal%20profiles%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20classical%20diffusion%20limit%20%7C%20PITT%20is%20represented%20by%20a%20prescribed%20surface%20chemical%20potential%2Fcomposition%3B%20GITT%20is%20represented%20by%20a%20prescribed%20surface%20flux%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20last%20row%20is%20recovered%20only%20when%20interfacial%20exchange%20is%20fast%20and%20unwanted%0A%20%20%20%20contact%2C%20Ohmic%2C%20and%20side-reaction%20losses%20are%20negligible.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20solve_ivp)%3A%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20%3D%208.314462618%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20%3D%2096485.33212%0A%20%20%20%20AVOGADRO_PER_MOL%20%3D%206.02214076e23%0A%0A%20%20%20%20def%20_positive(name%2C%20value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%3D%20float(value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(number)%20or%20number%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bname%7D%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20number%0A%0A%20%20%20%20def%20pitt_gitt_parameters(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference_concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20a%20self-consistent%20ideal%20H%2B%2Fe-%20MIEC%20parameter%20set.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_cm3%20%3D%20_positive(%22reference_concentration_cm3%22%2C%20reference_concentration_cm3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length%20%3D%20_positive(%22length_m%22%2C%20length_m)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_cm2_per_s%20%3D%20_positive(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_diffusivity_cm2_per_s%22%2C%20chemical_diffusivity_cm2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio%20%3D%20_positive(%22electronic_to_ionic_ratio%22%2C%20electronic_to_ionic_ratio)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%20%3D%20concentration_cm3%20*%201.0e6%20%2F%20AVOGADRO_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_m2_per_s%20%3D%20diffusivity_cm2_per_s%20*%201.0e-4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic_fraction%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_fraction%20%3D%20ratio%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_delta_s%20%3D%20length**2%20%2F%20(np.pi**2%20*%20diffusivity_m2_per_s)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20The%20ideal-pair%20identity%20used%20in%20Module%2005%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20D_delta%20%3D%202%20RT%20sigma_i%20sigma_e%20%2F%20%5BF%5E2%20c%20(sigma_i%20%2B%20sigma_e)%5D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_total_s_per_m%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20concentration_mol_per_m3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(2.0%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature%20*%20ionic_fraction%20*%20electronic_fraction)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22temperature_k%22%3A%20temperature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_cm3%22%3A%20concentration_cm3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22concentration_mol_per_m3%22%3A%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22length_m%22%3A%20length%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_diffusivity_cm2_per_s%22%3A%20diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%3A%20diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_ratio%22%3A%20ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ionic_fraction%22%3A%20ionic_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electronic_fraction%22%3A%20electronic_fraction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_total_s_per_m%22%3A%20conductivity_total_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_i_s_per_m%22%3A%20ionic_fraction%20*%20conductivity_total_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22conductivity_e_s_per_m%22%3A%20electronic_fraction%20*%20conductivity_total_s_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tau_delta_s%22%3A%20tau_delta_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20transport_operator_06(positions%2C%20params)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Conservative%20diffusion%20operator%20with%20selective-contact%20face%20fluxes.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20xi.ndim%20!%3D%201%20or%20xi.size%20%3C%209%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22positions%20must%20contain%20at%20least%20nine%20points%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spacing%20%3D%20np.diff(xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.allclose(spacing%2C%20spacing%5B0%5D%2C%20rtol%3D1.0e-11%2C%20atol%3D1.0e-13)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22positions%20must%20be%20uniformly%20spaced%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dx%20%3D%20float(spacing%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(xi%5B0%5D)%20%3E%201.0e-13%20or%20abs(xi%5B-1%5D%20-%201.0)%20%3E%201.0e-13%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22positions%20must%20span%20xi%20%3D%200%20to%201%22)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_count%20%3D%20xi.size%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%20%3D%20np.zeros((point_count%2C%20point_count)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20scale%20%3D%201.0%20%2F%20(np.pi**2%20*%20dx**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20np.arange(1%2C%20point_count%20-%201)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5Binterior%2C%20interior%20-%201%5D%20%3D%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5Binterior%2C%20interior%5D%20%3D%20-2.0%20*%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5Binterior%2C%20interior%20%2B%201%5D%20%3D%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5B0%2C%200%5D%20%3D%20-2.0%20*%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5B0%2C%201%5D%20%3D%202.0%20*%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5B-1%2C%20-2%5D%20%3D%202.0%20*%20scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%5B-1%2C%20-1%5D%20%3D%20-2.0%20*%20scale%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20contact_forcing%20%3D%20np.zeros(point_count%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20contact_forcing%5B0%5D%20%3D%20-2.0%20*%20params%5B%22ionic_fraction%22%5D%20%2F%20(np.pi**2%20*%20dx)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20contact_forcing%5B-1%5D%20%3D%20-2.0%20*%20params%5B%22electronic_fraction%22%5D%20%2F%20(np.pi**2%20*%20dx)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20quadrature_weights%20%3D%20np.full(point_count%2C%20dx%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20quadrature_weights%5B%5B0%2C%20-1%5D%5D%20*%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20operator%2C%20contact_forcing%2C%20quadrature_weights%0A%0A%20%20%20%20def%20_voltage_step_current(profile%2C%20target_voltage%2C%20positions%2C%20params)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20safe_profile%20%3D%20np.maximum(np.asarray(profile%2C%20dtype%3Dfloat)%2C%201.0e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.trapezoid(1.0%20%2F%20safe_profile%2C%20positions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%20%3D%20params%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%20%3D%20params%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target_voltage%20%2B%20t_i%20*%20np.log(safe_profile%5B0%5D)%20%2B%20t_e%20*%20np.log(safe_profile%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(t_i%20*%20t_e%20*%20resistance_integral)%0A%0A%20%20%20%20def%20_voltage_from_profile(profile%2C%20q_value%2C%20positions%2C%20params)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20%3D%20np.asarray(profile%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.min(profile)%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.nan%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%20%3D%20params%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%20%3D%20params%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.trapezoid(1.0%20%2F%20profile%2C%20positions)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-t_i%20*%20np.log(profile%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20t_e%20*%20np.log(profile%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20q_value%20*%20t_i%20*%20t_e%20*%20resistance_integral%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20_linear_profile_evolution(initial_profile%2C%20reduced_times%2C%20operator%2C%20forcing)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Advance%20a%20constant-forcing%20diffusion%20problem%20by%20matrix%20modes.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20times%20%3D%20np.asarray(reduced_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point_count%20%3D%20initial_profile.size%0A%20%20%20%20%20%20%20%20metric%20%3D%20np.ones(point_count%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20metric%5B%5B0%2C%20-1%5D%5D%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20sqrt_metric%20%3D%20np.sqrt(metric)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20symmetric_operator%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sqrt_metric%5B%3A%2C%20None%5D%20*%20operator%20%2F%20sqrt_metric%5BNone%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20eigenvalues%2C%20eigenvectors%20%3D%20np.linalg.eigh(symmetric_operator)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_coefficients%20%3D%20eigenvectors.T%20%40%20(sqrt_metric%20*%20initial_profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20forcing_coefficients%20%3D%20eigenvectors.T%20%40%20(sqrt_metric%20*%20forcing)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20exponentials%20%3D%20np.exp(np.outer(times%2C%20eigenvalues))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%20%3D%20np.empty_like(exponentials)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stationary%20%3D%20np.abs(eigenvalues)%20%3C%201.0e-12%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%5B%3A%2C%20stationary%5D%20%3D%20times%5B%3A%2C%20None%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response%5B%3A%2C%20~stationary%5D%20%3D%20np.expm1(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.outer(times%2C%20eigenvalues%5B~stationary%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20eigenvalues%5BNone%2C%20~stationary%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exponentials%20*%20initial_coefficients%5BNone%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20response%20*%20forcing_coefficients%5BNone%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(coefficients%20%40%20eigenvectors.T)%20%2F%20sqrt_metric%5BNone%2C%20%3A%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20simulate_pitt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_pulse_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_rest_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20params%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Finite-slab%20PITT%20pulse%20followed%20by%20an%20open-circuit%20relaxation.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_times%20%3D%20np.asarray(reduced_pulse_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_times%20%3D%20np.asarray(reduced_rest_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%2C%20contact_forcing%2C%20quadrature_weights%20%3D%20transport_operator_06(xi%2C%20params)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_profile%20%3D%20np.ones(xi.size%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%20%3D%20params%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%20%3D%20params%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20current_and_gradient(profile)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20safe_profile%20%3D%20np.maximum(profile%2C%201.0e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.sum(quadrature_weights%20%2F%20safe_profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerator%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20t_i%20*%20np.log(safe_profile%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20t_e%20*%20np.log(safe_profile%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20q_value%20%3D%20numerator%20%2F%20(t_i%20*%20t_e%20*%20resistance_integral)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerator_gradient%20%3D%20np.zeros_like(profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerator_gradient%5B0%5D%20%3D%20t_i%20%2F%20safe_profile%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerator_gradient%5B-1%5D%20%3D%20t_e%20%2F%20safe_profile%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20integral_gradient%20%3D%20-quadrature_weights%20%2F%20safe_profile**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20q_gradient%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20numerator_gradient%20%2F%20(t_i%20*%20t_e%20*%20resistance_integral)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20q_value%20*%20integral_gradient%20%2F%20resistance_integral%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20q_value%2C%20q_gradient%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20voltage_step_rhs(_reduced_time%2C%20profile_now)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20q_now%2C%20_%20%3D%20current_and_gradient(profile_now)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20operator%20%40%20profile_now%20%2B%20contact_forcing%20*%20q_now%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20voltage_step_jacobian(_reduced_time%2C%20profile_now)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_%2C%20q_gradient%20%3D%20current_and_gradient(profile_now)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20operator%20%2B%20np.outer(contact_forcing%2C%20q_gradient)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_solution%20%3D%20solve_ivp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_step_rhs%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(float(pulse_times%5B0%5D)%2C%20float(pulse_times%5B-1%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20initial_profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20t_eval%3Dpulse_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20method%3D%22BDF%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20jac%3Dvoltage_step_jacobian%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rtol%3D2.0e-8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20atol%3D2.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20pulse_solution.success%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20RuntimeError(str(pulse_solution.message))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_profiles%20%3D%20pulse_solution.y.T%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_current%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_voltage_step_current(profile%2C%20reduced_voltage%2C%20xi%2C%20params)%20for%20profile%20in%20pulse_profiles%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_voltage%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_voltage_from_profile(profile%2C%20q%2C%20xi%2C%20params)%20for%20profile%2C%20q%20in%20zip(pulse_profiles%2C%20pulse_current)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_profiles%20%3D%20_linear_profile_evolution(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_profiles%5B-1%5D%2C%20rest_times%2C%20operator%2C%20np.zeros_like(contact_forcing)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_current%20%3D%20np.zeros(rest_times.size)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_voltage%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_voltage_from_profile(profile%2C%200.0%2C%20xi%2C%20params)%20for%20profile%20in%20rest_profiles%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_profiles%22%3A%20pulse_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_profiles%22%3A%20rest_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_q%22%3A%20pulse_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_q%22%3A%20rest_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_u%22%3A%20pulse_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_u%22%3A%20rest_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20simulate_gitt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_pulse_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reduced_rest_times%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_step%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20params%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Finite-slab%20GITT%20pulse%20followed%20by%20an%20open-circuit%20relaxation.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_times%20%3D%20np.asarray(reduced_pulse_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_times%20%3D%20np.asarray(reduced_rest_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20operator%2C%20contact_forcing%2C%20_%20%3D%20transport_operator_06(xi%2C%20params)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_profile%20%3D%20np.ones(xi.size%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_profiles%20%3D%20_linear_profile_evolution(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20initial_profile%2C%20pulse_times%2C%20operator%2C%20contact_forcing%20*%20q_step%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_q%20%3D%20np.full(pulse_times.size%2C%20float(q_step))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_u%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_voltage_from_profile(profile%2C%20q_step%2C%20xi%2C%20params)%20for%20profile%20in%20pulse_profiles%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_profiles%20%3D%20_linear_profile_evolution(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_profiles%5B-1%5D%2C%20rest_times%2C%20operator%2C%20np.zeros_like(contact_forcing)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_q%20%3D%20np.zeros(rest_times.size)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_u%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_voltage_from_profile(profile%2C%200.0%2C%20xi%2C%20params)%20for%20profile%20in%20rest_profiles%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_profiles%22%3A%20pulse_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_profiles%22%3A%20rest_profiles%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_q%22%3A%20pulse_q%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_q%22%3A%20rest_q%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22pulse_u%22%3A%20pulse_u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22rest_u%22%3A%20rest_u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20potential_decomposition(profile%2C%20q_value%2C%20positions%2C%20params)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Chemical%2C%20electrical%2C%20and%20electrochemical%20profiles%20in%20RT%20units.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(positions%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile%20%3D%20np.asarray(profile%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%20%3D%20params%5B%22ionic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%20%3D%20params%5B%22electronic_fraction%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_i%20%3D%20np.log(profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_e%20%3D%20np.log(profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%20%3D%20np.zeros_like(xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_integral%5B1%3A%5D%20%3D%20np.cumsum(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.5%20*%20(1.0%20%2F%20profile%5B1%3A%5D%20%2B%201.0%20%2F%20profile%5B%3A-1%5D)%20*%20np.diff(xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Integrated%20electrochemical-potential%20relation%20for%20the%20selective%20contacts.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_i%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mu_i%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%202.0%20*%20t_e%20*%20(np.log(profile)%20-%20np.log(profile%5B0%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%202.0%20*%20q_value%20*%20t_i%20*%20t_e%20*%20resistance_integral%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tilde_mu_e%20%3D%202.0%20*%20np.log(profile)%20-%20tilde_mu_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_i%20%3D%20tilde_mu_i%20-%20mu_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical_e%20%3D%20-electrical_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reconstructed_u%20%3D%20-0.5%20*%20(tilde_mu_i%5B-1%5D%20%2B%20tilde_mu_e%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22profile%22%3A%20profile%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_i%22%3A%20mu_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_e%22%3A%20mu_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_i%22%3A%20electrical_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22electrical_e%22%3A%20electrical_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tilde_mu_i%22%3A%20tilde_mu_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tilde_mu_e%22%3A%20tilde_mu_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22reconstructed_u%22%3A%20reconstructed_u%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20classical_pitt_series(reduced_times%2C%20concentration_step%2C%20terms%3D500)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Neumann%2FDirichlet%20finite-slab%20PITT%20current%20in%20the%20classical%20limit.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_values%20%3D%20np.asarray(reduced_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20half_modes%20%3D%20np.arange(int(terms)%2C%20dtype%3Dfloat)%20%2B%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202.0%20*%20concentration_step%20*%20np.sum(np.exp(-np.outer(s_values%2C%20half_modes**2))%2C%20axis%3D1)%0A%0A%20%20%20%20def%20classical_gitt_series(reduced_times%2C%20q_step%2C%20terms%3D500)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Small-signal%20surface%20voltage%20during%20a%20finite-slab%20current%20pulse.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s_values%20%3D%20np.asarray(reduced_times%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modes%20%3D%20np.arange(1%2C%20int(terms)%20%2B%201%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta%20%3D%20s_values%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transient_sum%20%3D%20np.sum(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(-np.outer(s_values%2C%20modes**2))%20%2F%20modes%5BNone%2C%20%3A%5D%20**%202%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3D1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20q_step%20*%20(theta%20%2B%201.0%20%2F%203.0%20-%202.0%20*%20transient_sum%20%2F%20np.pi**2)%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20classical_gitt_series%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20classical_pitt_series%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_gitt_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_decomposition%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulate_gitt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20simulate_pitt%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transport_operator_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20from%20scipy.optimize%20import%20brentq%0A%0A%20%20%20%20def%20finite_pitt_modes_06(biot_number%2C%20mode_count%3D100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biot%20%3D%20float(biot_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20biot%20%3C%3D%200.0%20and%20not%20np.isinf(biot)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Bi%20must%20be%20positive%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20modes%20%3D%20np.arange(int(mode_count)%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.isinf(biot)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20roots%20%3D%20(modes%20%2B%200.5)%20*%20np.pi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20roots%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20brentq(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lambda%20root%3A%20root%20*%20np.tan(root)%20-%20biot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%20*%20np.pi%20%2B%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode%20*%20np.pi%20%2B%200.5%20*%20np.pi%20-%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20for%20mode%20in%20modes%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%20%3D%204.0%20*%20np.sin(roots)%20%2F%20(2.0%20*%20roots%20%2B%20np.sin(2.0%20*%20roots))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20roots%2C%20coefficients%0A%0A%20%20%20%20def%20finite_pitt_kinetics_06(theta%2C%20position%2C%20biot_number%2C%20mode_count%3D100)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_values%20%3D%20np.atleast_1d(np.asarray(theta%2C%20dtype%3Dfloat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions%20%3D%20np.atleast_1d(np.asarray(position%2C%20dtype%3Dfloat))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(theta_values%20%3C%3D%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22theta%20must%20be%20positive%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any((positions%20%3C%200.0)%20%7C%20(positions%20%3E%201.0))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22position%20must%20lie%20between%20zero%20and%20one%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20roots%2C%20coefficients%20%3D%20finite_pitt_modes_06(biot_number%2C%20mode_count)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20decays%20%3D%20np.exp(-np.outer(theta_values%2C%20roots**2))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shapes%20%3D%20np.cos(roots%5B%3A%2C%20None%5D%20*%20(1.0%20-%20positions%5BNone%2C%20%3A%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22theta%22%3A%20theta_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22position%22%3A%20positions%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Bi%22%3A%20float(biot_number)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22roots%22%3A%20roots%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22profile%22%3A%20(decays%20*%20coefficients%5BNone%2C%20%3A%5D)%20%40%20shapes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22current%22%3A%20decays%20%40%20(coefficients%20*%20roots%20*%20np.sin(roots))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mean_profile%22%3A%20decays%20%40%20(coefficients%20*%20np.sin(roots)%20%2F%20roots)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20finite_pitt_fit_bias_06(biot_values%2C%20fitting_windows%2C%20mode_count%3D70)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biot_grid%20%3D%20np.asarray(biot_values%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20results%20%3D%20%7Bname%3A%20np.empty_like(biot_grid)%20for%20name%20in%20fitting_windows%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20theta_grid%20%3D%20np.geomspace(8.0e-3%2C%201.6%2C%20420)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20biot%20in%20enumerate(biot_grid)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20response%20%3D%20finite_pitt_kinetics_06(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20theta_grid%2C%20np.array(%5B0.0%2C%201.0%5D)%2C%20biot%2C%20mode_count%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20log_current%20%3D%20np.log(response%5B%22current%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20name%2C%20(lower%2C%20upper)%20in%20fitting_windows.items()%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%20%3D%20(theta_grid%20%3E%3D%20lower)%20%26%20(theta_grid%20%3C%3D%20upper)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20slope%20%3D%20np.polyfit(theta_grid%5Bselected%5D%2C%20log_current%5Bselected%5D%2C%201)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20results%5Bname%5D%5Bindex%5D%20%3D%20-4.0%20*%20slope%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20results%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_pitt_fit_bias_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_pitt_kinetics_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_pitt_modes_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20plt%2C%20species_label_06)%3A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%203.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax.set_xlim(-0.24%2C%201.18)%0A%20%20%20%20_ax.set_ylim(-0.42%2C%200.48)%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(-0.22%2C%200.0%2C%20color%3D%22%23DCE5ED%22%2C%20alpha%3D1.0)%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(0.0%2C%201.0%2C%20color%3D%22%23DDEBDD%22%2C%20alpha%3D0.95)%0A%20%20%20%20_ax.axvspan(1.0%2C%201.16%2C%20color%3D%22%23B8DDE3%22%2C%20alpha%3D0.95)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-0.11%2C%200.12%2C%20%22Ion%5Cnelectrolyte%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23263746%22%2C%20weight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.5%2C%200.15%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22MIEC%3A%20%20%24%7Bspecies_label_06.value%7D%20%5Crightleftharpoons%20%7Bspecies_label_06.value%7D%5E%2B%20%2B%20e%5E-%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D15%2C%20weight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.08%2C%200.12%2C%20%22Current%5Cncollector%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23263746%22%2C%20weight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24%7Bspecies_label_06.value%7D%5E%2B%24%20passes%22%2C%20xy%3D(-0.02%2C%20-0.12)%2C%20xytext%3D(0.22%2C%20-0.12)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%202%7D%2C%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24e%5E-%24%20passes%22%2C%20xy%3D(1.02%2C%20-0.12)%2C%20xytext%3D(0.78%2C%20-0.12)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%202%7D%2C%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.02%2C%20-0.31%2C%20%22%24J_e(0%2Ct)%3D0%24%22%2C%20ha%3D%22left%22%2C%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%20weight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.98%2C%20-0.31%2C%20%22%24J_i(L%2Ct)%3D0%24%22%2C%20ha%3D%22right%22%2C%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%20weight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.0%2C%200.37%2C%20%22%24x%3D0%24%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(1.0%2C%200.37%2C%20%22%24x%3DL%24%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_fig%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20ion%20electrolyte%20at%20%24x%3D0%24%20passes%20ions%20and%20blocks%20electrons%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20current%20collector%20at%20%24x%3DL%24%20passes%20electrons%20and%20blocks%20ions.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20derivation%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20From%20carrier%20fluxes%20to%20one%20diffusion%20equation%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24c_0%3Dc(x%2C0)%24%20be%20the%20initially%20uniform%20pair%20concentration%2C%20consistent%0A%20%20%20%20with%20Module%2005.%20With%20ideal%20dilute%20chemical%20potentials%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%5E0%2BRT%5Cln(c%2Fc_0)%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cmu_e%3D%5Cmu_e%5E0%2BRT%5Cln(c%2Fc_0)%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20the%20neutral-pair%20chemical%20potential%20is%0A%20%20%20%20%24%5Cmu_M%3D%5Cmu_i%2B%5Cmu_e%3D%5Cmu_M%5E0%2B2RT%5Cln(c%2Fc_0)%24.%20Eliminating%20the%0A%20%20%20%20internal%20electric%20field%20gives%20exactly%20the%20same%20chemical%20diffusivity%20as%20in%0A%20%20%20%20Module%2005%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20D%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B2D_iD_e%7D%7BD_i%2BD_e%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20t_D%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BD%5E%5Cdelta%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B%5Cpi%5E2D%5E%5Cdelta%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20We%20use%20both%20clocks%3A%20%24%5Ctheta%3DD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%24%20and%0A%20%20%20%20%24s%3Dt%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%5Cpi%5E2%5Ctheta%24.%20The%20first%20exposes%20scaling%3B%20the%20second%20makes%0A%20%20%20%20the%20slowest%20finite-slab%20mode%20decay%20as%20%24e%5E%7B-s%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20coupled%20fluxes%20become%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_i%3Dt_i%5Cfrac%7Bj%7D%7BF%7D-D%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20J_e%3D-t_e%5Cfrac%7Bj%7D%7BF%7D-D%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24t_i%3D%5Csigma_i%2F(%5Csigma_i%2B%5Csigma_e)%24%20and%20%24t_e%3D1-t_i%24.%0A%20%20%20%20Conservation%20gives%20the%20full%20finite-slab%20equation%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3DD%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2c%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20compact%20notation%2C%20introduce%20%24y%3Dc%2Fc_0%24%2C%20%24%5Cxi%3Dx%2FL%24%2C%0A%20%20%20%20%24s%3Dt%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%24%2C%20and%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Chat%20j%3D%5Cfrac%7BjL%7D%7BF%20D%5E%5Cdelta%20c_0%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20selective%20contacts%20impose%0A%0A%20%20%20%20%24%24y_%5Cxi(0)%3Dt_i%5Chat%20j%2C%5Cqquad%20y_%5Cxi(1)%3D-t_e%5Chat%20j%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20and%20the%20mean%20composition%20obeys%20%24d%5Cbar%20y%2Fds%3D-%5Chat%20j%2F%5Cpi%5E2%24.%20Thus%20a%0A%20%20%20%20measured%20current%20is%20also%20a%20direct%20composition%20balance.%0A%0A%20%20%20%20The%20voltage%20measured%20between%20the%20selective%20terminals%20is%20the%20neutral-pair%0A%20%20%20%20electrochemical%20drive.%20Relative%20to%20the%20initial%20state%2C%20define%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Chat%20E%3D%5Cfrac%7BF%5CDelta%20E%7D%7B2RT%7D%0A%20%20%20%20%26%3D-t_i%5Cln%20y(0)-t_e%5Cln%20y(1)%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%5Cquad%2B%5Chat%20j%20t_i%20t_e%5Cint_0%5E1%5Cfrac%7Bd%5Cxi%7D%7By%7D.%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20two%20terms%20are%20concentration%20polarization%20at%20the%20two%20selective%0A%20%20%20%20faces%3B%20the%20integral%20is%20the%20internal%20Ohmic%20contribution.%20PITT%20holds%20%24%5Chat%20E%24%0A%20%20%20%20fixed%20and%20solves%20this%20relation%20for%20%24%5Chat%20j(t)%24.%20GITT%20holds%20%24%5Chat%20j%24%20fixed%20and%0A%20%20%20%20evaluates%20%24%5Chat%20E(t)%24.%20At%20OCV%2C%20%24%5Chat%20j%3D0%24%20while%20the%20inherited%20concentration%20profile%20relaxes.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20selective-contact%20diffusion%20equation%22%3A%20derivation%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20experiment_mode_06%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22PITT%22%2C%20%22GITT%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22PITT%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Experiment%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_stage_06%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Pulse%20evolution%22%2C%20%22OCV%20relaxation%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Pulse%20evolution%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Profile%20stage%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20temperature_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20600%2C%201200%2C%20value%3D800%2C%20step%3D25%2C%20label%3D%22Temperature%20(K)%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_concentration_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2017.0%2C%2022.0%2C%20value%3D20.0%2C%20step%3D0.25%2C%20label%3D%22Initial-concentration%20exponent%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20length_06%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2225%20micrometers%22%3A%2025.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2250%20micrometers%22%3A%2050.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22100%20micrometers%22%3A%20100.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22250%20micrometers%22%3A%20250.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22100%20micrometers%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22MIEC%20thickness%2C%20L%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_diffusivity_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-12.0%2C%20-6.0%2C%20value%3D-8.0%2C%20step%3D0.25%2C%20label%3D%22Chemical-diffusivity%20exponent%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_ratio_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-1.0%2C%204.0%2C%20value%3D2.0%2C%20step%3D0.25%2C%20label%3D%22Conductivity-ratio%20exponent%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pitt_voltage_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%205.0%2C%2035.0%2C%20value%3D15.0%2C%20step%3D1.0%2C%20label%3D%22PITT%20potential%20step%20(mV%2C%20extraction)%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gitt_current_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%200.60%2C%20value%3D0.30%2C%20step%3D0.025%2C%20label%3D%22GITT%20current-step%20strength%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pulse_duration_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.20%2C%203.0%2C%20value%3D1.20%2C%20step%3D0.10%2C%20label%3D%22Pulse%20duration%20in%20reduced%20time%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rest_duration_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.25%2C%205.0%2C%20value%3D2.50%2C%20step%3D0.25%2C%20label%3D%22OCV-rest%20duration%20in%20reduced%20time%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20potential_time_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200%2C%20100%2C%20value%3D65%2C%20step%3D5%2C%20label%3D%22Stage%20progress%20(%25)%22%2C%20show_value%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20experiment_mode_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_current_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_diffusivity_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_ratio_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_stage_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_duration_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_duration_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20experiment_mode_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_current_06%2C%0A%20%20%20%20length_06%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20log_diffusivity_06%2C%0A%20%20%20%20log_ratio_06%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20pitt_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20profile_stage_06%2C%0A%20%20%20%20pulse_duration_06%2C%0A%20%20%20%20rest_duration_06%2C%0A%20%20%20%20temperature_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20pulse_size_control%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_voltage_06%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%20else%20gitt_current_06%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20core_controls_06%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bexperiment_mode_06%2C%20profile_stage_06%2C%20pulse_size_control%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_controls_06%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btemperature_06%2C%20log_concentration_06%2C%20length_06%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Blog_ratio_06%2C%20pulse_duration_06%2C%20rest_duration_06%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20log_diffusivity_06%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20Choose%20one%20pulse%20experiment%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Select%20PITT%20or%20GITT%2C%20then%20change%20the%20pulse%20size%2C%20duration%2C%20or%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity.%20A%20larger%20%5C(D%5E%5Cdelta%5C)%20shortens%20the%20physical%20response%20time%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20it%20does%20not%20change%20the%20dimensionless%20boundary%20condition.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_controls_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20-%20material%20and%20profile%20controls%22%3A%20advanced_controls_06%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20gitt_current_06%2C%0A%20%20%20%20length_06%2C%0A%20%20%20%20log_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20log_diffusivity_06%2C%0A%20%20%20%20log_ratio_06%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pitt_gitt_parameters%2C%0A%20%20%20%20pitt_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20pulse_duration_06%2C%0A%20%20%20%20rest_duration_06%2C%0A%20%20%20%20simulate_gitt%2C%0A%20%20%20%20simulate_pitt%2C%0A%20%20%20%20temperature_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20parameters_06%20%3D%20pitt_gitt_parameters(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%3Dtemperature_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reference_concentration_cm3%3D10.0**log_concentration_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%3Dlength_06.value%20*%201.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_diffusivity_cm2_per_s%3D10.0**log_diffusivity_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electronic_to_ionic_ratio%3D10.0**log_ratio_06.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20positions_06%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%2081)%0A%20%20%20%20pulse_times_06%20%3D%20np.concatenate((%5B0.0%5D%2C%20np.geomspace(1.0e-5%2C%20pulse_duration_06.value%2C%20239)))%0A%20%20%20%20rest_times_06%20%3D%20np.concatenate((%5B0.0%5D%2C%20np.geomspace(1.0e-5%2C%20rest_duration_06.value%2C%20179)))%0A%20%20%20%20pitt_reduced_voltage_06%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20pitt_voltage_06.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%201.0e-3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(2.0%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20parameters_06%5B%22temperature_k%22%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pitt_result_06%20%3D%20simulate_pitt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_reduced_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gitt_result_06%20%3D%20simulate_gitt(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_current_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20voltage_scale_v_06%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20parameters_06%5B%22temperature_k%22%5D%20%2F%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20current_scale_a_per_m2_06%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22concentration_mol_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20parameters_06%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current_scale_a_per_m2_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_reduced_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_scale_v_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(current_scale_a_per_m2_06%2C%20mo%2C%20parameters_06)%3A%0A%20%20%20%20_tau%20%3D%20parameters_06%5B%22tau_delta_s%22%5D%0A%20%20%20%20_time_text%20%3D%20f%22%7B_tau%3A.2e%7D%20s%22%0A%20%20%20%20if%201.0%20%3C%3D%20_tau%20%3C%203600.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_time_text%20%3D%20f%22%7B_tau%3A.1f%7D%20s%22%0A%20%20%20%20elif%20_tau%20%3E%3D%203600.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_time_text%20%3D%20f%22%7B_tau%20%2F%203600.0%3A.2f%7D%20h%22%0A%20%20%20%20state_details%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20What%20the%20controls%20imply%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24t_i%3D%7Bparameters_06%5B%22ionic_fraction%22%5D%3A.4f%7D%24%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24t_e%3D%7Bparameters_06%5B%22electronic_fraction%22%5D%3A.4f%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20Chemical%20diffusivity%2C%20%24D%5E%5C%5Cdelta%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bparameters_06%5B%22chemical_diffusivity_cm2_per_s%22%5D%3A.2e%7D%20cm%C2%B2%2Fs**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Polarization%20time%2C%20%24%5C%5Ctau%5E%5C%5Cdelta%3DL%5E2%2F(%5C%5Cpi%5E2D%5E%5C%5Cdelta)%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B_time_text%7D**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20The%20ideal-pair%20identity%20implies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20total%20conductivity%20%24%5C%5Csigma_i%2B%5C%5Csigma_e%24%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bparameters_06%5B%22conductivity_total_s_per_m%22%5D%20%2F%20100.0%3A.2e%7D%20S%2Fcm**%20for%20this%20%24c_0%24%2C%20%24T%24%2C%20%24D%5E%5C%5Cdelta%24%2C%20and%20conductivity%20ratio.%20In%20this%20ideal-pair%20model%2C%20the%20selected%20diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%2C%20initial%20concentration%2C%20and%20conductivity%20ratio%20determine%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20absolute%20conductivities%3B%20they%20are%20not%20independent%20inputs.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20One%20unit%20of%20normalized%20pulse%20strength%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Chat%20j%3Dj_0L%2F(FD%5E%5C%5Cdelta%20c_0)%24%20corresponds%20to%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7B0.1%20*%20current_scale_a_per_m2_06%3A.3e%7D%20mA%2Fcm%C2%B2**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Changing%20%24L%24%20or%20%24D%5E%5C%5Cdelta%24%20stretches%20the%20physical%20time%20axis%20through%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5C%5Ctau%5E%5C%5Cdelta%24.%20Changing%20%24%5C%5Csigma_e%2F%5C%5Csigma_i%24%20changes%20how%20the%20applied%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage%20is%20divided%20between%20concentration%20polarization%20and%20internal%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Ohmic%20loss.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20-%20selected%20time%20and%20transport%20scales%22%3A%20state_details%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(experiment_mode_06%2C%20mo%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20timeline_figure%2C%20timeline_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%203.0)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20timeline_axis.set_xlim(0.0%2C%203.0)%0A%20%20%20%20timeline_axis.set_ylim(-0.15%2C%201.0)%0A%20%20%20%20timeline_axis.fill_between(%5B0.0%2C%201.35%5D%2C%200.15%2C%200.65%2C%20color%3D%22%23D9E6E7%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.fill_between(%5B1.35%2C%203.0%5D%2C%200.15%2C%200.65%2C%20color%3D%22%23EEE4D5%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.axvline(1.35%2C%20color%3D%22%236D747A%22%2C%20lw%3D1.3%2C%20ls%3D%22--%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.675%2C%200.40%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Potential%20step%22%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%20else%20%22Current%20step%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20timeline_axis.text(1.35%2C%200.82%2C%20%22Current%20interruption%22%2C%20ha%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.text(2.175%2C%200.40%2C%20%22OCV%20rest%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D14)%0A%20%20%20%20timeline_axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%20xy%3D(2.95%2C%200.05)%2C%20xytext%3D(0.05%2C%200.05)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%201.4%2C%20%22color%22%3A%20%22%234C7C86%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20timeline_axis.text(1.50%2C%20-0.04%2C%20%22Time%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22top%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20timeline_axis.set_title(%22Pulse%2C%20interruption%2C%20and%20internal%20relaxation%22)%0A%20%20%20%20timeline_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(timeline_figure)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%204.%20Follow%20the%20pulse%20into%20OCV%20rest%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Interruption%20sets%20terminal%20current%20to%20zero%20immediately.%20It%20does%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20erase%20the%20end-of-pulse%20concentration%20profile.%20During%20OCV%2C%20equal%20ion%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electron%20fluxes%20can%20continue%20to%20flatten%20that%20profile%20without%20carrying%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrical%20current.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20timeline_figure%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20current_scale_a_per_m2_06%2C%0A%20%20%20%20experiment_mode_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20profile_stage_06%2C%0A%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A%20%20%20%20voltage_scale_v_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_selected_result%20%3D%20pitt_result_06%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%20else%20gitt_result_06%0A%20%20%20%20tau_s%20%3D%20parameters_06%5B%22tau_delta_s%22%5D%0A%20%20%20%20pulse_seconds%20%3D%20pulse_times_06%20*%20tau_s%0A%20%20%20%20rest_seconds%20%3D%20(pulse_times_06%5B-1%5D%20%2B%20rest_times_06)%20*%20tau_s%0A%0A%20%20%20%20profile_figure%2C%20profile_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.2%2C%204.6)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20if%20profile_stage_06.value%20%3D%3D%20%22Pulse%20evolution%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20target_times%20%3D%20pulse_times_06%5B-1%5D%20*%20np.array(%5B0.02%2C%200.10%2C%200.45%2C%201.00%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_indices%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20int(np.argmin(np.abs(pulse_times_06%20-%20target)))%20for%20target%20in%20target_times%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20colors%20%3D%20(%22%23B9CDD1%22%2C%20%22%238EADB3%22%2C%20%22%23698E96%22%2C%20%22%234C737C%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20styles%20%3D%20(%22-%22%2C%20%22--%22%2C%20%22-.%22%2C%20%22%3A%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20color%2C%20style%20in%20zip(profile_indices%2C%20colors%2C%20styles)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_result%5B%22pulse_profiles%22%5D%5Bindex%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcolor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3Dstyle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24t%2F%5Ctau%5E%5Cdelta%3D%7Bpulse_times_06%5Bindex%5D%3A.2g%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_title%20%3D%20f%22%7Bexperiment_mode_06.value%7D%3A%20profile%20development%20during%20the%20pulse%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20profile_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22PITT%20holds%20the%20terminal%20voltage.%20The%20current%20and%20the%20two%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22selective-contact%20fluxes%20adjust%20as%20the%20profile%20develops.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20profile_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22GITT%20holds%20the%20terminal%20current.%20The%20selective%20contacts%20impose%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22different%20ion%20and%20electron%20face%20fluxes%3B%20they%20do%20not%20require%20a%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22shared%20surface%20concentration%20or%20a%20common%20slope.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_targets%20%3D%20np.array(%5B0.0%2C%200.18%2C%201.0%5D)%20*%20rest_times_06%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_indices%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20int(np.argmin(np.abs(rest_times_06%20-%20target)))%20for%20target%20in%20rest_targets%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20colors%20%3D%20(%22%234C737C%22%2C%20%22%237C6A91%22%2C%20%22%23A56F55%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20styles%20%3D%20(%22--%22%2C%20%22-.%22%2C%20%22%3A%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20labels%20%3D%20(%22End%20of%20pulse%22%2C%20%22Intermediate%20rest%22%2C%20%22Long%20rest%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20color%2C%20style%2C%20label%20in%20zip(profile_indices%2C%20colors%2C%20styles%2C%20labels)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_result%5B%22rest_profiles%22%5D%5Bindex%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3Dcolor%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3Dstyle%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dlabel%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_title%20%3D%20f%22%7Bexperiment_mode_06.value%7D%3A%20OCV%20relaxation%20remembers%20the%20pulse%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22At%20OCV%20the%20terminal%20current%20is%20zero%20and%20both%20external%20face%20fluxes%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22vanish.%20The%20inherited%20profile%20flattens%20while%20its%20spatial%20mean%20remains%20constant.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.axvline(0.0%2C%20color%3D%22%237F878C%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20profile_axis.axvline(1.0%2C%20color%3D%22%237F878C%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20alpha%3D0.5)%0A%20%20%20%20profile_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Composition%2C%20%24c%2Fc_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dprofile_title%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xticks%3D%5B0.0%2C%200.5%2C%201.0%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xticklabels%3D%5Br%22%240%24%22%2C%20r%22%24L%2F2%24%22%2C%20r%22%24L%24%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%20-0.18%2C%20%22Ion%20electrolyte%22%2C%20transform%3Dprofile_axis.get_xaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%20va%3D%22top%22%2C%20color%3D%22%23526173%22%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%20-0.18%2C%20%22Current%20collector%22%2C%20transform%3Dprofile_axis.get_xaxis_transform()%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%2C%20va%3D%22top%22%2C%20color%3D%22%23526173%22%2C%20clip_on%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20profile_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20profile_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20ncols%3D2%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20profile_figure.subplots_adjust(bottom%3D0.24)%0A%20%20%20%20plt.close(profile_figure)%0A%0A%20%20%20%20response_figure%2C%20response_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.2%2C%204.5)%2C%20dpi%3D120)%0A%20%20%20%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_response%20%3D%200.1%20*%20current_scale_a_per_m2_06%20*%20_selected_result%5B%22pulse_q%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.plot(pulse_seconds%2C%20pulse_response%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.plot(rest_seconds%2C%20np.zeros_like(rest_seconds)%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.4)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_ylabel(r%22Current%20density%2C%20%24j%24%20(mA%20cm%24%5E%7B-2%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_title(%22PITT%20current%20decays%2C%20then%20is%20interrupted%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20voltage%20is%20held%20during%20the%20pulse%2C%20so%20the%20measured%20current%20decays.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22At%20interruption%20the%20terminal%20current%20becomes%20exactly%20zero.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_response%20%3D%201.0e3%20*%20voltage_scale_v_06%20*%20_selected_result%5B%22pulse_u%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rest_response%20%3D%201.0e3%20*%20voltage_scale_v_06%20*%20_selected_result%5B%22rest_u%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pulse_seconds%2C%20pulse_response%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Current%20pulse%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rest_seconds%2C%20rest_response%2C%20color%3D%22%23A56F55%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22OCV%20relaxation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_ylabel(r%22Electrode-potential%20change%2C%20%24%5CDelta%20E%24%20(mV)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.set_title(%22GITT%20potential%20evolves%20and%20relaxes%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_axis.legend(frameon%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20current%20is%20fixed%20during%20the%20pulse.%20After%20interruption%2C%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22potential%20relaxes%20toward%20the%20equilibrium%20value%20of%20the%20new%20mean%20composition.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20response_axis.axvline(pulse_seconds%5B-1%5D%2C%20color%3D%22%236D747A%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20response_axis.set_xlabel(%22Time%20(s)%22)%0A%20%20%20%20response_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20response_figure.tight_layout()%0A%20%20%20%20plt.close(response_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(f%22%23%23%23%20%7Bexperiment_mode_06.value%7D%3A%20concentration%20first%2C%20response%20second%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20profile_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(profile_explanation)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20response_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(response_explanation)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Read%20the%20interruption%20carefully%0A%0A%20%20%20%20The%20voltage%20generally%20jumps%20when%20current%20is%20switched%20off%20because%20the%20Ohmic%0A%20%20%20%20contribution%20disappears%20immediately.%20The%20remaining%20voltage%20then%20changes%0A%20%20%20%20gradually%20as%20the%20concentration%20gradient%20relaxes.%20At%20OCV%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24j%3DF(J_i-J_e)%3D0%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20but%20this%20does%20**not**%20require%20%24J_i%3DJ_e%3D0%24%20everywhere.%20Instead%2C%0A%20%20%20%20%24J_i%3DJ_e%3D-D%5E%5Cdelta%5Cpartial%20c%2F%5Cpartial%20x%24%20can%20be%20nonzero%3A%20neutral%20pairs%0A%20%20%20%20redistribute%20internally%20without%20carrying%20net%20electrical%20current.%20Only%20after%0A%20%20%20%20a%20sufficiently%20long%20rest%20are%20the%20composition%20and%20both%20chemical%20potentials%0A%20%20%20%20spatially%20uniform.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20experiment_mode_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20potential_decomposition%2C%0A%20%20%20%20potential_time_06%2C%0A%20%20%20%20profile_stage_06%2C%0A%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20progress%20%3D%20potential_time_06.value%20%2F%20100.0%0A%20%20%20%20_selected_result%20%3D%20pitt_result_06%20if%20experiment_mode_06.value%20%3D%3D%20%22PITT%22%20else%20gitt_result_06%0A%20%20%20%20if%20profile_stage_06.value%20%3D%3D%20%22OCV%20relaxation%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_times%20%3D%20rest_times_06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_profiles%20%3D%20_selected_result%5B%22rest_profiles%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_q%20%3D%20_selected_result%5B%22rest_q%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_stage_06%20%3D%20%22OCV%20relaxation%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_times%20%3D%20pulse_times_06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_profiles%20%3D%20_selected_result%5B%22pulse_profiles%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_q%20%3D%20_selected_result%5B%22pulse_q%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_stage_06%20%3D%20%22driven%20pulse%22%0A%20%20%20%20potential_index_06%20%3D%20int(np.argmin(np.abs(selected_times%20-%20progress%20*%20selected_times%5B-1%5D)))%0A%20%20%20%20selected_profile_06%20%3D%20selected_profiles%5Bpotential_index_06%5D%0A%20%20%20%20selected_q_06%20%3D%20float(selected_q%5Bpotential_index_06%5D)%0A%20%20%20%20selected_reduced_time_06%20%3D%20float(selected_times%5Bpotential_index_06%5D)%0A%20%20%20%20selected_potentials_06%20%3D%20potential_decomposition(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_profile_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_q_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20potential_case_06%20%3D%20f%22%7Bexperiment_mode_06.value%7D%3A%20%7Bprofile_stage_06.value%7D%22%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential_case_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_potentials_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_q_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_reduced_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_stage_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20potential_case_06%2C%0A%20%20%20%20potential_time_06%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_06%2C%0A%20%20%20%20selected_potentials_06%2C%0A%20%20%20%20selected_q_06%2C%0A%20%20%20%20selected_reduced_time_06%2C%0A%20%20%20%20selected_stage_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_energy_scale%20%3D%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20parameters_06%5B%22temperature_k%22%5D%20%2F%201000.0%0A%20%20%20%20_x_um%20%3D%20positions_06%20*%20parameters_06%5B%22length_m%22%5D%20*%201.0e6%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(15.0%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(_x_um%2C%20selected_potentials_06%5B%22profile%22%5D%2C%20color%3D%22%234F7881%22%2C%20lw%3D1.9)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_title(%22Composition%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylabel(%22c%20%2F%20c0%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22mu_i%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235F8F8D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Cmu_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22electrical_i%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%2BF%5C%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22tilde_mu_i%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Cwidetilde%5C%5Cmu_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_title(%22Ion%3A%20chemical%20%2B%20electrical%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_ylabel(%22Change%20(kJ%20mol%24%5E%7B-1%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22mu_e%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235F8F8D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Cmu_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22electrical_e%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24-F%5C%5Cphi%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_energy_scale%20*%20selected_potentials_06%5B%22tilde_mu_e%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22%24%5C%5Cwidetilde%5C%5Cmu_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set_title(%22Electron%3A%20chemical%20%2B%20electrical%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set_ylabel(%22Change%20(kJ%20mol%24%5E%7B-1%7D%24)%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.legend(fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xlabel(r%22Position%2C%20%24x%24%20(micrometers)%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20_fig.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7Bpotential_case_06%7D%20%7C%20%7Bselected_stage_06%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22t%2Ftau%20%3D%20%7Bselected_reduced_time_06%3A.3f%7D%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22normalized%20current%20%3D%20%7Bselected_q_06%3A.3f%7D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20weight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20-%20composition%20and%20electrochemical-potential%20profiles%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20potential_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_06(_fig)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20%24%2BF%5Cphi%24%20and%20%24-F%5Cphi%24%20lines%20show%20the%20same%20electrostatic%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22potential%20in%20molar-energy%20form.%20During%20OCV%2C%20sloped%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22electrochemical%20potentials%20can%20still%20drive%20equal%20ion%20and%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22electron%20fluxes%20even%20though%20electrical%20current%20is%20zero.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20approximation_reader%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%205.%20Where%20the%20textbook%20approximations%20come%20from%0A%0A%20%20%20%20To%20isolate%20the%20standard%20formulas%2C%20now%20take%20the%20**classical%20one-sided%0A%20%20%20%20limit**%3A%20electronic%20transport%20in%20the%20MIEC%20is%20much%20faster%20than%20ionic%0A%20%20%20%20transport%20(%24t_e%5Crightarrow1%24)%2C%20the%20perturbation%20is%20small%2C%20the%20slab%20is%0A%20%20%20%20planar%2C%20and%20interfacial%20and%20series%20resistances%20are%20negligible.%20Let%20%24S%24%20be%0A%20%20%20%20the%20active%20area%20and%20%24I%3DSj%24%20the%20measured%20current%2C%20as%20in%20the%20tutorial%20articles.%0A%20%20%20%20Define%20%24%5CDelta%20c%3Dc_0-c_s%24%3A%20a%20lower%20imposed%20surface%20concentration%20then%20gives%0A%20%20%20%20positive%20extraction%20current.%20The%20article's%20stored-charge%20convention%20has%0A%20%20%20%20the%20opposite%20sign.%20We%20use%20%24D%5E%5Cdelta%24%20for%20chemical%20diffusivity%2C%20as%20in%20Module%2005.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20PITT%3A%20current%20after%20a%20surface-concentration%20step%0A%0A%20%20%20%20The%20finite-slab%20solution%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BI(t)L%7D%7B2FSD%5E%5Cdelta%5CDelta%20c%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%0A%20%20%20%20e%5E%7B-(m%2B1%2F2)%5E2%5Cpi%5E2%5Ctheta%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24%5Ctheta%3DD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20Its%20short-%20and%20long-time%20limits%20are%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7BI(t)%5Csimeq%20FS%5CDelta%20c%0A%20%20%20%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BD%5E%5Cdelta%7D%7B%5Cpi%20t%7D%7D%7D_%7BD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%5Cll1%5C%3B%5Ctext%7B(Cottrell)%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7BI(t)%5Csimeq%5Cfrac%7B2FSD%5E%5Cdelta%5CDelta%20c%7D%7BL%7D%0A%20%20%20%20e%5E%7B-%5Cpi%5E2D%5E%5Cdelta%20t%2F(4L%5E2)%7D%7D_%7BD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%5Cgg1%5C%3B%5Ctext%7B(first%20mode)%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Insertion%20has%20%24%5CDelta%20c%3C0%24%20and%20negative%20current%20in%20this%20convention%3B%20the%0A%20%20%20%20comparison%20plot%20shows%20the%20current%20magnitude.%20The%20factor%20%241%2F4%24%20in%20the%20long-time%20exponent%20follows%0A%20%20%20%20from%20a%20blocking%20boundary%20at%20one%20face%20and%20fixed%20composition%20at%20the%20other.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20GITT%3A%20voltage%20during%20a%20current%20pulse%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24I_0%3DSj_0%24%20be%20the%20applied%20current.%20In%20this%20ideal%20planar%20model%2C%20the%0A%20%20%20%20finite-slab%20diffusion-voltage%20response%20can%20be%20written%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BF%5CDelta%20E(t)%7D%7B2RT%5Chat%20j_0%7D%0A%20%20%20%20%26%3D%5Ctheta%2B%5Cfrac13%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%5Cquad-%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cpi%5E2%7D%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-n%5E2%5Cpi%5E2%5Ctheta%7D%7D%7Bn%5E2%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Chat%20j_0%3Dj_0L%2F(FD%5E%5Cdelta%20c_0)%24%20and%20%24%5Ctheta%3DD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%24.%0A%0A%20%20%20%20At%20short%20time%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CDelta%20E(t)%5Csimeq%5Cfrac%7B4RTj_0%7D%7BF%5E2c_0%7D%0A%20%20%20%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bt%7D%7B%5Cpi%20D%5E%5Cdelta%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20whereas%20the%20long-time%20expression%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CDelta%20E(t)%5Csimeq%5Cfrac%7B2RT%7D%7BF%7D%5Cfrac%7Bj_0L%7D%7BFD%5E%5Cdelta%20c_0%7D%0A%20%20%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7BD%5E%5Cdelta%20t%7D%7BL%5E2%7D%2B%5Cfrac13%5Cright).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20These%20are%20limiting%20descriptions%20of%20the%20same%20finite-slab%20diffusion%20problem%3B%0A%20%20%20%20the%20full%20transient%20curves%20are%20not%20assembled%20from%20them.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Advanced%20analysis%20-%20classical%20PITT%20and%20GITT%20limits%22%3A%20approximation_reader%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20classical_gitt_series%2C%0A%20%20%20%20classical_pitt_series%2C%0A%20%20%20%20gitt_current_06%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20pitt_reduced_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20approximation_times_06%20%3D%20np.logspace(-3.0%2C%202.0%2C%20360)%0A%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%20%3D%20approximation_times_06%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20classical_concentration_step_06%20%3D%201.0%20-%20np.exp(-pitt_reduced_voltage_06)%0A%20%20%20%20pitt_series_06%20%3D%20classical_pitt_series(approximation_times_06%2C%20classical_concentration_step_06)%0A%20%20%20%20pitt_short_06%20%3D%20classical_concentration_step_06%20%2F%20np.sqrt(np.pi%20*%20approximation_fourier_time_06)%0A%20%20%20%20pitt_long_06%20%3D%202.0%20*%20classical_concentration_step_06%20*%20np.exp(-approximation_times_06%20%2F%204.0)%0A%20%20%20%20gitt_series_06%20%3D%20classical_gitt_series(approximation_times_06%2C%20gitt_current_06.value)%0A%20%20%20%20gitt_short_06%20%3D%202.0%20*%20gitt_current_06.value%20*%20np.sqrt(approximation_fourier_time_06%20%2F%20np.pi)%0A%20%20%20%20gitt_long_06%20%3D%20gitt_current_06.value%20*%20(approximation_fourier_time_06%20%2B%201.0%20%2F%203.0)%0A%0A%20%20%20%20_fig%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.8%2C%204.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_series_06%20%2F%20classical_concentration_step_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234F7881%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22finite-slab%20solution%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_short_06%20%2F%20classical_concentration_step_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22short-time%20expression%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_long_06%20%2F%20classical_concentration_step_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22long-time%20expression%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_title(%22PITT%20current%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set_ylabel(r%22%24%7CI%7CL%2F(FSD%5E%5Cdelta%7C%5CDelta%20c%7C)%24%22)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_series_06%20%2F%20gitt_current_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234F7881%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22finite-slab%20solution%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_short_06%20%2F%20gitt_current_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22short-time%20expression%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_fourier_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_long_06%20%2F%20gitt_current_06.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%3A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23A65E5E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22long-time%20expression%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_title(%22GITT%20voltage%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set_ylabel(r%22%24F%5E2D%5E%5Cdelta%20c_0%5CDelta%20E%2F(2RTj_0L)%24%22)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set_xlabel(r%22Fourier%20time%2C%20%24D%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.legend()%0A%20%20%20%20_fig.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Short%20and%20long%20formulas%20are%20asymptotes%2C%20not%20universal%20fits%22%2C%20fontsize%3D15%2C%20weight%3D%22bold%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Advanced%20analysis%20-%20asymptotic%20response%20curves%22%3A%20responsive_panels_06(_fig)%7D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_times_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20classical_concentration_step_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_series_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_short_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_series_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_short_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20fitting_reader%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Reading%20the%20usual%20experimental%20plots%0A%0A%20%20%20%20The%20short-%20and%20long-time%20formulas%20touch%20the%20same%20exact%0A%20%20%20%20finite-slab%20response%20only%20in%20their%20own%20asymptotic%20windows%3B%20they%20are%20not%0A%20%20%20%20interchangeable%20global%20fits.%0A%0A%20%20%20%20The%20asymptotes%20suggest%20simple%20diagnostics%2C%20provided%20the%20assumptions%20above%0A%20%20%20%20have%20been%20tested.%20For%20PITT%2C%20the%20short-time%20plot%20of%20%24I%24%20versus%20%24t%5E%7B-1%2F2%7D%24%20is%0A%20%20%20%20linear%20and%0A%0A%20%20%20%20%24%24D%5E%5Cdelta%3D%5Cpi%5Cleft%5B%5Cfrac%7BI%5Csqrt%7Bt%7D%7D%0A%20%20%20%20%7BFS%5CDelta%20c%7D%5Cright%5D%5E2.%24%24%0A%0A%20%20%20%20At%20long%20PITT%20times%2C%20a%20plot%20of%20%24%5Cln%7CI%7C%24%20versus%20%24t%24%20has%20slope%0A%20%20%20%20%24-%5Cpi%5E2D%5E%5Cdelta%2F(4L%5E2)%24.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20short%20GITT%20pulse%20of%20duration%20%24%5Ctau%24%2C%20let%20%24%5CDelta%20E_t%24%20be%20the%20gradual%0A%20%20%20%20diffusion%20voltage%20during%20the%20pulse%20after%20removing%20the%20instantaneous%20Ohmic%0A%20%20%20%20jump%2C%20and%20let%20%24%5CDelta%20E_s%24%20be%20the%20equilibrium%20OCV%20change%20caused%20by%20that%0A%20%20%20%20pulse.%20The%20planar%20small-signal%20result%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20D%5E%5Cdelta%5Csimeq%5Cfrac%7B4L%5E2%7D%7B%5Cpi%5Ctau%7D%0A%20%20%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7B%5CDelta%20E_s%7D%7B%5CDelta%20E_t%7D%5Cright)%5E2%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20%5Cfrac%7BD%5E%5Cdelta%5Ctau%7D%7BL%5E2%7D%5Cll1.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20familiar%20GITT%20formula%20is%20a%20**short-pulse%20result**%2C%20not%20a%20definition%20of%0A%20%20%20%20diffusivity.%20The%20surface%20area%2C%20diffusion%20length%2C%20OCV%20slope%2C%20and%20removal%20of%0A%20%20%20%20non-diffusive%20voltage%20drops%20must%20all%20be%20consistent%20with%20the%20specimen.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20OCV%20after%20a%20pulse%20remembers%20how%20the%20pulse%20was%20made%0A%0A%20%20%20%20Immediately%20after%20interruption%2C%20the%20concentration%20profile%20is%20the%20final%0A%20%20%20%20profile%20of%20the%20voltage%20or%20current%20pulse.%20The%20OCV%20stage%20must%20therefore%20use%0A%20%20%20%20that%20profile%20as%20its%20initial%20condition.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20**short%20GITT%20pulse**%20in%20a%20semi-infinite%20planar%20solid%2C%20the%20surface%0A%20%20%20%20relaxation%20has%20the%20time%20dependence%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CDelta%20c_s(t_r)%5Cpropto%0A%20%20%20%20%5Csqrt%7Bt_r%2Bt_p%7D-%5Csqrt%7Bt_r%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24t_p%24%20is%20the%20pulse%20duration%20and%20%24t_r%24%20starts%20at%20current%20interruption.%0A%20%20%20%20This%20is%20not%20simply%20a%20universal%20%241%2F%5Csqrt%7Bt_r%7D%24%20law.%20For%20a%20finite%20slab%20at%20long%0A%20%20%20%20rest%20times%2C%20the%20slowest%20remaining%20spatial%20variation%20gives%0A%0A%20%20%20%20%24%24c(x%2Ct_r)-c_%7B%5Crm%20eq%7D%5Cpropto%5Cexp(-t_r%2F%5Ctau%5E%5Cdelta)%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24c_%7B%5Crm%20eq%7D%3D%5Clangle%20c%5Crangle%24%20is%20the%20uniform%20concentration%20reached%0A%20%20%20%20after%20that%20pulse%3B%20it%20is%20generally%20not%20the%20initial%20value%20%24c_0%24.%0A%20%20%20%20The%20full%20calculation%20carries%20the%20complete%20end-of-pulse%20profile%20into%20the%0A%20%20%20%20OCV%20stage%2C%20so%20it%20does%20not%20need%20either%20approximation%20to%20generate%20the%0A%20%20%20%20relaxation%20curves.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Advanced%20analysis%20-%20fitting%20windows%20and%20OCV%20limits%22%3A%20fitting_reader%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20kinetics_profile_time_06%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-3.0%2C%200.0%2C%20value%3D-1.3%2C%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Profile-time%20exponent%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(kinetics_profile_time_06%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20cumulative_trapezoid%2C%0A%20%20%20%20finite_pitt_fit_bias_06%2C%0A%20%20%20%20finite_pitt_kinetics_06%2C%0A%20%20%20%20finite_pitt_modes_06%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20finite_biot_cases_06%20%3D%20(np.inf%2C%20100.0%2C%201.0%2C%200.01)%0A%20%20%20%20finite_theta_06%20%3D%20np.geomspace(1.0e-4%2C%202.0%2C%20340)%0A%20%20%20%20finite_position_06%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20260)%0A%20%20%20%20finite_responses_06%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biot%3A%20finite_pitt_kinetics_06(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_theta_06%2C%20finite_position_06%2C%20biot%2C%20mode_count%3D120%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20for%20biot%20in%20finite_biot_cases_06%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20finite_mass_balance_error_06%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_responses_06%5Bbiot%5D%5B%22mean_profile%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20finite_responses_06%5Bbiot%5D%5B%22mean_profile%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20cumulative_trapezoid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_responses_06%5Bbiot%5D%5B%22current%22%5D%2C%20finite_theta_06%2C%20initial%3D0.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20biot%20in%20finite_biot_cases_06%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20fit_biot_grid_06%20%3D%20np.geomspace(1.0e-3%2C%201.0e3%2C%2076)%0A%20%20%20%20fitting_windows_06%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22transition%20window%2C%200.03%E2%80%930.12%22%3A%20(0.03%2C%200.12)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22late%20window%2C%200.30%E2%80%931.00%22%3A%20(0.30%2C%201.00)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20fit_bias_06%20%3D%20finite_pitt_fit_bias_06(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fit_biot_grid_06%2C%20fitting_windows_06%2C%20mode_count%3D70%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_roots_fast%2C%20_%20%3D%20finite_pitt_modes_06(1.0e6%2C%201)%0A%20%20%20%20_roots_slow%2C%20_%20%3D%20finite_pitt_modes_06(1.0e-6%2C%201)%0A%20%20%20%20finite_fast_limit_error_06%20%3D%20abs(_roots_fast%5B0%5D%20%2F%20(0.5%20*%20np.pi)%20-%201.0)%0A%20%20%20%20finite_slow_limit_error_06%20%3D%20abs(_roots_slow%5B0%5D%20**%202%20%2F%201.0e-6%20-%201.0)%0A%20%20%20%20finite_bias_direction_pass_06%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fit_bias_06%5B%22late%20window%2C%200.30%E2%80%931.00%22%5D%5B0%5D%20%3C%200.02%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20fit_bias_06%5B%22late%20window%2C%200.30%E2%80%931.00%22%5D%5B-1%5D%20%3E%200.94%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_bias_direction_pass_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_biot_cases_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_fast_limit_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_mass_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_position_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_responses_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_slow_limit_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_theta_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fit_bias_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fit_biot_grid_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fitting_windows_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20finite_biot_cases_06%2C%0A%20%20%20%20finite_pitt_kinetics_06%2C%0A%20%20%20%20finite_position_06%2C%0A%20%20%20%20kinetics_profile_time_06%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_finite_theta_06%20%3D%2010.0%20**%20kinetics_profile_time_06.value%0A%20%20%20%20selected_finite_profiles_06%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20biot%3A%20finite_pitt_kinetics_06(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bselected_finite_theta_06%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_position_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20biot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mode_count%3D140%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B%22profile%22%5D%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20biot%20in%20finite_biot_cases_06%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20finite_minimum_concentration_06%20%3D%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(0.85%20%2B%200.15%20*%20profile)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20profile%20in%20selected_finite_profiles_06.values()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_minimum_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_finite_profiles_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_finite_theta_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20finite_bias_direction_pass_06%2C%0A%20%20%20%20finite_biot_cases_06%2C%0A%20%20%20%20finite_fast_limit_error_06%2C%0A%20%20%20%20finite_mass_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20finite_minimum_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20finite_position_06%2C%0A%20%20%20%20finite_responses_06%2C%0A%20%20%20%20finite_slow_limit_error_06%2C%0A%20%20%20%20finite_theta_06%2C%0A%20%20%20%20fit_bias_06%2C%0A%20%20%20%20fit_biot_grid_06%2C%0A%20%20%20%20fitting_windows_06%2C%0A%20%20%20%20kinetics_profile_time_06%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_06%2C%0A%20%20%20%20selected_finite_profiles_06%2C%0A%20%20%20%20selected_finite_theta_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20(%22%234F7881%22%2C%20%22%236B86A5%22%2C%20%22%23B8734A%22%2C%20%22%237C6A91%22)%0A%20%20%20%20_styles%20%3D%20(%22-%22%2C%20%22--%22%2C%20%22-.%22%2C%20%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3D%5Cinfty%24%22%2C%20r%22%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3D100%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3D1%24%22%2C%20r%22%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3D0.01%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%203%2C%20figsize%3D(15.0%2C%204.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20for%20_biot%2C%20_color%2C%20_style%2C%20_label%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_biot_cases_06%2C%20_colors%2C%20_styles%2C%20_labels%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_theta_06%2C%20finite_responses_06%5B_biot%5D%5B%22current%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20ls%3D_style%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3D_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20finite_position_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.85%20%2B%200.15%20*%20selected_finite_profiles_06%5B_biot%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%20ls%3D_style%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3D_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Diffusion%20time%2C%20%24%5Ctheta%3DD%5E%5Cdelta%20t%2FL%5E2%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Normalized%20PITT%20current%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Current%20separates%20diffusion%20and%20reaction%20control%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%2FL%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Illustrative%20%24c%2Fc_0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%22Profiles%20at%20%24%5Ctheta%3D%7Bselected_finite_theta_06%3A.3g%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_color%2C%20_style%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fitting_windows_06%2C%20(%22%23B8734A%22%2C%20%22%234F7881%22)%2C%20(%22--%22%2C%20%22-%22)%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B2%5D.semilogx(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fit_biot_grid_06%2C%20fit_bias_06%5B_name%5D%2C%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D_style%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3D_name%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.axhline(1.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D1.2%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B2%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Surface%20Biot%20number%2C%20%24%5Cmathrm%7BBi%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24D%5E%5Cdelta_%7B%5Crm%20inferred%7D%2FD%5E%5Cdelta_%7B%5Crm%20true%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22A%20diffusion-only%20fit%20can%20underestimate%20diffusivity%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(0.0%2C%201.35)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(alpha%3D0.22%2C%20which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.legend(fontsize%3D10.5%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.legend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D10.5%2C%20loc%3D%22upper%20center%22%2C%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.19)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ncols%3D2%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_checks_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_fast_limit_error_06%20%3C%202.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20finite_slow_limit_error_06%20%3C%202.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20finite_mass_balance_error_06%20%3C%202.0e-4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20finite_minimum_concentration_06%20%3E%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20finite_bias_direction_pass_06%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_content%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Advanced%20extension%3A%20finite%20surface%20kinetics%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20the%20classical%20diffusion-controlled%20PITT%20limit%2C%20the%20surface%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20potential%20changes%20instantly.%20A%20finite%20linearized%20surface%20reaction%20instead%20imposes%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24-D%5E%5Cdelta%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%7C_%7B0%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Dk%5E%5Cdelta%5Bc_s-c(0%2Ct)%5D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft.%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cright%7C_%7BL%7D%3D0.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20competition%20is%20summarized%20by%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3D%5Cfrac%7Bk%5E%5Cdelta%20L%7D%7BD%5E%5Cdelta%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctau_d%7D%7B%5Ctau_%7Bct%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctau_d%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BD%5E%5Cdelta%7D%2C%5Cquad%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Ctau_%7Bct%7D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7Bk%5E%5Cdelta%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3C0.1%24%3A%20nearly%20uniform%2C%20reaction-limited%20response.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%240.1%5Clesssim%5Cmathrm%7BBi%7D%5Clesssim10%24%3A%20mixed%20control.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20%24%5Cmathrm%7BBi%7D%3E10%24%3A%20the%20diffusion-controlled%20limit%20is%20approached.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20finite-slab%20eigenvalues%20obey%20%24%5Clambda%5Ctan%5Clambda%3D%5Cmathrm%7BBi%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20curves%20are%20full%20transients%2C%20not%20patched%20limiting%20expressions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kinetics_profile_time_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_06(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20straight%20line%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%5Cln%7CI%7C%24%20versus%20%24t%24%20does%20not%20prove%20diffusion%20control.%20Finite%20exchange%0A%20%20%20%20%20%20%20%20makes%20the%20slowest%20eigenvalue%20smaller%20than%20%24%5Cpi%2F2%24%3B%20using%20the%20ideal%20PITT%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slope%20then%20returns%20a%20diffusivity%20that%20is%20too%20small.%20The%20inferred%20value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20also%20depends%20on%20the%20fitting%20window.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**GITT%20measurement%20decomposition.**%20Under%20a%20current%20step%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24E_%7B%7B%5Crm%20meas%7D%7D(t)%3DE_%7B%7B%5Crm%20eq%7D%7D%5Bc(0%2Ct)%5D%2B%5Ceta_%7B%7Bct%7D%7D(t)%2BI%20R_%5COmega.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20instantaneous%20%24IR_%5COmega%24%20jump%2C%20gradual%20equilibrium-composition%0A%20%20%20%20%20%20%20%20term%2C%20and%20surface%20overpotential%20should%20not%20be%20assigned%20to%20one%20diffusion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20formula.%20Constant%20%24%5Ceta_%7B%7Bct%7D%7D%24%20may%20leave%20a%20short-time%20%24%5Csqrt%20t%24%20slope%0A%20%20%20%20%20%20%20%20unchanged%3B%20composition-dependent%20kinetics%20need%20not.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Finite-kinetics%20checks%3A%20%7B'PASS'%20if%20_checks_pass%20else%20'CHECK'%7D.**%20The%0A%20%20%20%20%20%20%20%20reaction-%20and%20diffusion-controlled%20eigenvalue%20limits%20agree%3B%20integrated%0A%20%20%20%20%20%20%20%20surface%20flux%20matches%20the%20composition%20change%20(maximum%20normalized%20error%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7Bfinite_mass_balance_error_06%3A.2e%7D)%3B%20concentrations%20remain%20positive%3B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20late-window%20fitting%20bias%20moves%20from%20severe%20underestimation%20at%0A%20%20%20%20%20%20%20%20small%20Bi%20toward%20unity%20at%20large%20Bi.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Advanced%20reader%20%E2%80%94%20surface%20kinetics%20and%20fitting%20bias%22%3A%20_content%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%206.%20What%20can%20PITT%20and%20GITT%20determine%3F%0A%0A%20%20%20%20Under%20the%20assumptions%20used%20here%2C%20the%20measurements%20provide%20three%0A%20%20%20%20kinds%20of%20information%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**Thermodynamics%3A**%20the%20long-rest%20OCV%20gives%20the%20equilibrium%20potential%20at%0A%20%20%20%20%20%20the%20new%20mean%20composition.%20Repeating%20steps%20traces%20an%20equilibrium%20titration%0A%20%20%20%20%20%20curve%20and%2C%20through%20its%20slope%2C%20a%20differential%20chemical%20capacity.%0A%20%20%20%20-%20**Transport%3A**%20the%20pulse%20and%20relaxation%20time%20scales%20give%20the%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%24D%5E%5Cdelta%24.%20The%20relevant%20length%20must%20be%20the%20actual%20diffusion%0A%20%20%20%20%20%20length%20of%20the%20specimen.%0A%20%20%20%20-%20**Carrier%20balance%3A**%20the%20immediate%20and%20gradual%20parts%20of%20the%20voltage%0A%20%20%20%20%20%20response%20reveal%20how%20electronic%20and%20ionic%20transport%20share%20the%20drive.%0A%0A%20%20%20%20**Assumptions%20checklist%20before%20extracting%20%24D%5E%5Cdelta%24**%0A%0A%20%20%20%20-%20Is%20the%20step%20small%20enough%20that%20%24D%5E%5Cdelta%24%20and%20%24dE%2Fd%5Cdelta%24%20are%20locally%0A%20%20%20%20%20%20constant%3F%0A%20%20%20%20-%20Is%20the%20active%20geometry%20one-dimensional%2C%20with%20known%20%24L%24%20and%20%24S%24%3F%0A%20%20%20%20-%20Is%20the%20fitting%20window%20inside%20the%20short-%20or%20long-time%20regime%20used%20by%20the%0A%20%20%20%20%20%20formula%3F%0A%20%20%20%20-%20Are%20%24IR_%5COmega%24%2C%20surface%20overpotential%2C%20and%20early%20capacitive%20response%0A%20%20%20%20%20%20separated%20from%20diffusion%3F%0A%20%20%20%20-%20Does%20the%20inferred%20value%20remain%20stable%20when%20pulse%20size%2C%20duration%2C%20and%20fit%0A%20%20%20%20%20%20window%20are%20changed%3F%0A%0A%20%20%20%20A%20fitted%20number%20is%20not%20automatically%20a%20material%20constant.%20The%20standard%0A%20%20%20%20formulas%20assume%20a%20small%20step%2C%20a%20single%20phase%2C%20constant%20%24D%5E%5Cdelta%24%2C%20planar%0A%20%20%20%20one-dimensional%20transport%2C%20known%20active%20area%20and%20diffusion%20length%2C%20and%0A%20%20%20%20negligible%20charge-transfer%2C%20contact%2C%20and%20uncompensated%20series%20resistances.%0A%20%20%20%20Porous%20composite%20electrodes%2C%20phase%20transformations%2C%20strongly%0A%20%20%20%20composition-dependent%20diffusivity%2C%20and%20early-time%20capacitive%20transients%0A%20%20%20%20require%20a%20more%20complete%20model.%20A%20useful%20experimental%20habit%20is%20to%20vary%20pulse%0A%20%20%20%20size%20and%20duration%3A%20a%20real%20diffusion%20coefficient%20should%20not%20depend%20strongly%0A%20%20%20%20on%20either%20within%20the%20valid%20regime.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20approximation_times_06%2C%0A%20%20%20%20classical_concentration_step_06%2C%0A%20%20%20%20cumulative_trapezoid%2C%0A%20%20%20%20gitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_series_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_short_06%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_reduced_voltage_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_result_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_series_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_short_06%2C%0A%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20potential_decomposition%2C%0A%20%20%20%20pulse_times_06%2C%0A%20%20%20%20rest_times_06%2C%0A%20%20%20%20transport_operator_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20initial_uniform_error_06%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(pitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D%5B0%5D%20-%201.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(gitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D%5B0%5D%20-%201.0))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20minimum_concentration_06%20%3D%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(pitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(pitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(gitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(gitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pitt_voltage_control_error_06%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(pitt_result_06%5B%22pulse_u%22%5D%20-%20pitt_reduced_voltage_06)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gitt_current_control_error_06%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(gitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%20-%20gitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%5B0%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pitt_rest_current_error_06%20%3D%20np.max(np.abs(pitt_result_06%5B%22rest_q%22%5D))%0A%20%20%20%20gitt_rest_current_error_06%20%3D%20np.max(np.abs(gitt_result_06%5B%22rest_q%22%5D))%0A%0A%20%20%20%20pitt_spatial_mean_06%20%3D%20np.trapezoid(pitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D%2C%20positions_06%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20gitt_spatial_mean_06%20%3D%20np.trapezoid(gitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D%2C%20positions_06%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20pitt_expected_mean_06%20%3D%201.0%20-%20cumulative_trapezoid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%2C%20pulse_times_06%2C%20initial%3D0.0%0A%20%20%20%20)%20%2F%20np.pi**2%0A%20%20%20%20pitt_mass_balance_error_06%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(pitt_spatial_mean_06%20-%20pitt_expected_mean_06)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gitt_mass_balance_error_06%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_spatial_mean_06%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(1.0%20-%20gitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%5B0%5D%20*%20pulse_times_06%20%2F%20np.pi**2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20ocv_mean_drift_06%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.ptp(np.trapezoid(pitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D%2C%20positions_06%2C%20axis%3D1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.ptp(np.trapezoid(gitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D%2C%20positions_06%2C%20axis%3D1))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20composition_balance_error_06%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_mass_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_mass_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ocv_mean_drift_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20identity_diffusivity_06%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22temperature_k%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22conductivity_i_s_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22conductivity_e_s_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22concentration_mol_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20parameters_06%5B%22conductivity_total_s_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20diffusivity_identity_error_06%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20identity_diffusivity_06%20%2F%20parameters_06%5B%22chemical_diffusivity_m2_per_s%22%5D%20-%201.0%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_sample_indices%20%3D%20np.unique(np.linspace(0%2C%20pulse_times_06.size%20-%201%2C%209%2C%20dtype%3Dint))%0A%20%20%20%20_reconstruction_errors%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_sample_index%20in%20_sample_indices%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_potential_data%20%3D%20potential_decomposition(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_result_06%5B%22pulse_profiles%22%5D%5B_sample_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%5B_sample_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20parameters_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_reconstruction_errors.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_potential_data%5B%22reconstructed_u%22%5D%20-%20pitt_result_06%5B%22pulse_u%22%5D%5B_sample_index%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20voltage_reconstruction_error_06%20%3D%20max(_reconstruction_errors)%0A%0A%20%20%20%20_short_index%20%3D%20int(np.argmin(np.abs(approximation_times_06%20-%201.0e-3)))%0A%20%20%20%20_long_index%20%3D%20int(np.argmin(np.abs(approximation_times_06%20-%2040.0)))%0A%20%20%20%20pitt_short_error_06%20%3D%20abs(pitt_series_06%5B_short_index%5D%20%2F%20pitt_short_06%5B_short_index%5D%20-%201.0)%0A%20%20%20%20pitt_long_reference_06%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20classical_concentration_step_06%20*%20np.exp(-approximation_times_06%5B_long_index%5D%20%2F%204.0)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20pitt_long_error_06%20%3D%20abs(pitt_series_06%5B_long_index%5D%20%2F%20pitt_long_reference_06%20-%201.0)%0A%20%20%20%20gitt_short_error_06%20%3D%20abs(gitt_series_06%5B_short_index%5D%20%2F%20gitt_short_06%5B_short_index%5D%20-%201.0)%0A%20%20%20%20gitt_long_reference_06%20%3D%20gitt_result_06%5B%22pulse_q%22%5D%5B0%5D%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20approximation_times_06%5B_long_index%5D%20%2F%20np.pi**2%20%2B%201.0%20%2F%203.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20gitt_long_error_06%20%3D%20abs(gitt_series_06%5B_long_index%5D%20%2F%20gitt_long_reference_06%20-%201.0)%0A%20%20%20%20_first_shape%20%3D%20np.cos(np.pi%20*%20positions_06)%0A%20%20%20%20_rest_means%20%3D%20np.trapezoid(gitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D%2C%20positions_06%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20_first_amplitudes%20%3D%20np.trapezoid(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(gitt_result_06%5B%22rest_profiles%22%5D%20-%20_rest_means%5B%3A%2C%20None%5D)%20*%20_first_shape%5BNone%2C%20%3A%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20positions_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis%3D1%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20first_mode_relaxation_error_06%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_first_amplitudes%5B-1%5D%20%2F%20_first_amplitudes%5B0%5D%20-%20np.exp(-rest_times_06%5B-1%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_%2C%20contact_forcing_check%2C%20_%20%3D%20transport_operator_06(positions_06%2C%20parameters_06)%0A%20%20%20%20grid_spacing%20%3D%20positions_06%5B1%5D%20-%20positions_06%5B0%5D%0A%20%20%20%20left_ionic_fraction%20%3D%20-0.5%20*%20np.pi**2%20*%20grid_spacing%20*%20contact_forcing_check%5B0%5D%0A%20%20%20%20right_electronic_fraction%20%3D%20-0.5%20*%20np.pi**2%20*%20grid_spacing%20*%20contact_forcing_check%5B-1%5D%0A%20%20%20%20selective_face_mapping_error_06%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(left_ionic_fraction%20-%20parameters_06%5B%22ionic_fraction%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(right_electronic_fraction%20-%20parameters_06%5B%22electronic_fraction%22%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(positions_06%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(positions_06%5B-1%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20composition_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_identity_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_relaxation_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_current_control_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_long_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_rest_current_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_short_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20initial_uniform_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minimum_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_long_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_rest_current_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_short_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_voltage_control_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selective_face_mapping_error_06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_reconstruction_error_06%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20composition_balance_error_06%2C%0A%20%20%20%20diffusivity_identity_error_06%2C%0A%20%20%20%20first_mode_relaxation_error_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_current_control_error_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_long_error_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_rest_current_error_06%2C%0A%20%20%20%20gitt_short_error_06%2C%0A%20%20%20%20initial_uniform_error_06%2C%0A%20%20%20%20minimum_concentration_06%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20pitt_long_error_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_rest_current_error_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_short_error_06%2C%0A%20%20%20%20pitt_voltage_control_error_06%2C%0A%20%20%20%20selective_face_mapping_error_06%2C%0A%20%20%20%20voltage_reconstruction_error_06%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Uniform%20initial%20specimen%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20initial_uniform_error_06%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Both%20experiments%20must%20begin%20from%20the%20same%20equilibrated%20composition.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Positive%20concentrations%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20minimum_concentration_06%20%3E%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Logarithmic%20chemical%20potentials%20require%20c%20%3E%200%20everywhere.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22PITT%20voltage%20held%20fixed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pitt_voltage_control_error_06%20%3C%202.0e-9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20current%20must%20adjust%20so%20that%20the%20requested%20voltage%20step%20is%20maintained.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22GITT%20current%20held%20fixed%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gitt_current_control_error_06%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20voltage%2C%20not%20the%20imposed%20current%2C%20is%20allowed%20to%20evolve%20during%20GITT.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Zero%20current%20during%20both%20OCV%20rests%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(pitt_rest_current_error_06%2C%20gitt_rest_current_error_06)%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Open%20circuit%20stops%20charge%20transfer%20through%20the%20terminals%20while%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22internal%20diffusion%20continues.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Composition%20balance%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20composition_balance_error_06%20%3C%202.0e-4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Integrated%20current%20changes%20the%20mean%20during%20a%20pulse%3B%20the%20mean%20is%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22conserved%20during%20rest.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Displayed%20coordinate%20and%20selective%20faces%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selective_face_mapping_error_06%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24x%3D0%24%20is%20the%20ion%20electrolyte%20and%20%24x%3DL%24%20is%20the%20current%20collector%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20conservative%20operator%20applies%20the%20ionic%20and%20electronic%20face%20fluxes%20there.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Chemical-diffusivity%20identity%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_identity_error_06%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20conductivity%20and%20diffusivity%20parameters%20must%20describe%20the%20same%20ideal%20H%2B%2Fe-%20pair.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Potential%20decomposition%20reconstructs%20voltage%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20voltage_reconstruction_error_06%20%3C%203.0e-4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Chemical%20and%20electrical%20contributions%20must%20add%20back%20to%20the%20measured%20terminal%20drive.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22PITT%20short-%20and%20long-time%20limits%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(pitt_short_error_06%2C%20pitt_long_error_06)%20%3C%202.0e-3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20short-%20and%20long-time%20expressions%20must%20approach%20the%20finite-slab%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22response%20in%20their%20own%20regimes.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22GITT%20short-%20and%20long-time%20limits%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(gitt_short_error_06%2C%20gitt_long_error_06)%20%3C%202.0e-3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20square-root%20and%20late%20linear%20forms%20must%20approach%20the%20same%20finite-slab%20solution.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22OCV%20long-time%20relaxation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20first_mode_relaxation_error_06%20%3C%202.0e-4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22At%20long%20rest%2C%20the%20slowest%20spatial%20relaxation%20sets%20the%20time%20constant%20tau_delta.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_passed%2C%20_why%20in%20_checks%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_status%20%3D%20%22PASS%22%20if%20_passed%20else%20%22CHECK%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(f%22%7C%20%7B_status%7D%20%7C%20%7B_name%7D%20%7C%20%7B_why%7D%20%7C%22)%0A%20%20%20%20_table_lines%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%207.%20Physical%20consistency%20checks%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Each%20check%20protects%20a%20physical%20link%20between%20the%20imposed%20pulse%2C%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22composition%20profile%2C%20and%20the%20measured%20response.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20status%20%7C%20check%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%3A%7C---%7C---%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_checks_table%20%3D%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_table_lines%20%2B%20_rows))%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks_table%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%20The%20controlled%20pulse%20drives%20carrier%20fluxes%20through%20the%20selective%20contacts.%0A%20%20%20%20Those%20fluxes%20change%20%24c(x%2Ct)%24%20and%20the%20chemical%20and%20electrical%20potentials%2C%0A%20%20%20%20producing%20the%20measured%20%24E(t)%24%20or%20%24j(t)%24.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Titration%20separates%20state%20from%20rate.**%20Integrated%20charge%20gives%0A%20%20%20%20%20%20%20%24%5CDelta%5Cdelta%24%2C%20long-rest%20%24E(%5Cdelta)%24%20gives%20thermodynamics%2C%20and%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20transient%20carries%20kinetic%20information.%0A%20%20%20%202.%20**The%20familiar%20boundaries%20are%20classical%20limits.**%20With%20fast%20selective%0A%20%20%20%20%20%20%20exchange%20and%20negligible%20parasitic%20losses%2C%20PITT%20approaches%20a%20fixed%20surface%0A%20%20%20%20%20%20%20chemical%20potential%2C%20GITT%20approaches%20a%20fixed%20flux%2C%20and%20OCV%20sets%20terminal%0A%20%20%20%20%20%20%20current%20to%20zero%20while%20internal%20neutral%20diffusion%20may%20continue.%0A%20%20%20%203.%20**%24D%5E%5Cdelta%24%20is%20inferred%20through%20assumptions.**%20Finite%20surface%20kinetics%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20ohmic%20drop%2C%20geometry%2C%20and%20fitting%20window%20can%20bias%20it%3B%20consistency%20tests%0A%20%20%20%20%20%20%20are%20part%20of%20the%20measurement.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Sources%20and%20further%20reading%0A%0A%20%20%20%20-%20Q.%20Lu%2C%20%5BSolid%20State%20Ionics%20tutorials%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Ftutorial%2F)%2C%0A%20%20%20%20%20%20including%20%5BPITT%2FGITT%20Part%20I%5D(https%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2Fktu9MiGhfYrE6l563pE38g)%0A%20%20%20%20%20%20and%20%5BPart%20II%5D(https%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2FAzyRL3cZv6heEcB40wZplg)%2C%20which%0A%20%20%20%20%20%20motivated%20the%20English-language%20treatment%20above.%0A%20%20%20%20-%20W.%20Weppner%20and%20R.%20A.%20Huggins%2C%20%E2%80%9CDetermination%20of%20the%20Kinetic%20Parameters%20of%0A%20%20%20%20%20%20Mixed-Conducting%20Electrodes%20and%20Application%20to%20the%20System%20Li3Sb%2C%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20*Journal%20of%20The%20Electrochemical%20Society*%20**124**%20(1977)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Bdoi%3A10.1149%2F1.2133112%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1149%2F1.2133112).%0A%20%20%20%20-%20C.%20J.%20Wen%2C%20B.%20A.%20Boukamp%2C%20R.%20A.%20Huggins%2C%20and%20W.%20Weppner%2C%0A%20%20%20%20%20%20%E2%80%9CThermodynamic%20and%20Mass%20Transport%20Properties%20of%20LiAl%2C%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20*Journal%20of%20The%20Electrochemical%20Society*%20**126**%20(1979)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Bdoi%3A10.1149%2F1.2128939%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1149%2F1.2128939).%0A%20%20%20%20-%20S.%20D.%20Kang%20and%20W.%20C.%20Chueh%2C%20%E2%80%9CGalvanostatic%20Intermittent%20Titration%0A%20%20%20%20%20%20Technique%20Reinvented%3A%20Part%20I.%20A%20Critical%20Review%2C%E2%80%9D%20*Journal%20of%20The%0A%20%20%20%20%20%20Electrochemical%20Society*%20**168**%20(2021)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Bopen%20article%20and%20record%5D(https%3A%2F%2Fwww.osti.gov%2Fbiblio%2F1838037).%0A%20%20%20%20-%20BioLogic%2C%20%5BApplication%20Note%2070%3A%20diffusion%20coefficients%20by%20EIS%2C%20PITT%2C%20and%20GITT%5D(https%3A%2F%2Fwww.biologic.net%2Fdocuments%2Fdetermination-diffusion-coefficient-inserted-species-host-electrode-eis-pitt-gitt-techniques-an70%2F).%0A%0A%20%20%20%20The%20equations%20above%20were%20independently%20rederived%20for%20the%20selective-contact%0A%20%20%20%20geometry%20and%20sign%20convention%20stated%20above.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plt)%3A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2017%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lines.solid_capstyle%22%3A%20%22round%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.dpi%22%3A%20115%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Continue%3A**%20%5BModule%2007%20%E2%80%94%20Chemical%20Capacitance%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F07-chemical-capacitance%2F)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%209%2C%20slides%2011%E2%80%9314%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture9_solid-state_electrochemistry_i_open-circuit.pdf)%20supplies%20the%20opening%20lattice-gas%20OCV%20illustration%3B%20the%20PITT%2FGITT%20articles%20cited%20above%20supply%20the%20pulse-method%20narrative.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A