07 chemical capacitance

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22scipy%3E%3D1.12%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20from%20scipy%20import%20optimize%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2017%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2011.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lines.linewidth%22%3A%202.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%207%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.dpi%22%3A%20115%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20mo%2C%20np%2C%20optimize%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Module%2007%20%C2%B7%20Chemical%20Capacitance%20and%20Chemical%20Diffusion%0A%0A%20%20%20%20**Why%20can%20a%20solid%20store%20far%20more%20charge%20than%20an%20ordinary%20dielectric%0A%20%20%20%20capacitor%E2%80%94and%20why%20does%20that%20storage%20slow%20its%20compositional%20response%3F**%0A%0A%20%20%20%20Chemical%20capacitance%20measures%20how%20readily%20the%20concentration%20of%20a%20**neutral%0A%20%20%20%20chemical%20species**%20changes%20when%20its%20chemical%20potential%20changes.%20This%20reader%0A%20%20%20%20follows%20one%20connected%20argument%3A%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20neutral%20storage%2C%20use%20phase%20thermodynamics%20to%20determine%20its%0A%20%20%20%20susceptibility%2C%20then%20connect%20that%20storage%20to%20chemical%20diffusion%20and%20a%0A%20%20%20%20measured%20response.%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20end%2C%20you%20should%20be%20able%20to%20distinguish%20electrostatic%20and%20chemical%0A%20%20%20%20storage%2C%20interpret%20a%20phase-separation%20plateau%2C%20and%20connect%20chemical%0A%20%20%20%20capacitance%20to%20a%20measurable%20diffusion%20time.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_07(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boxes%20%3D%20%5Baxis.get_tightbbox(renderer).transformed(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08)%20for%20axis%20in%20figure.axes%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axis%2C%20box)%20in%20enumerate(zip(figure.axes%2C%20boxes))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20is%20axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axis.get_title()%20or%20f%22Storage%20schematic%2C%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(True)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_07%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(plt)%3A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.6%2C%205.0)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B0%5D%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Rectangle((0.18%2C%200.16)%2C%200.08%2C%200.68%2C%20facecolor%3D%22%235D6975%22%2C%20edgecolor%3D%22none%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Rectangle((0.74%2C%200.16)%2C%200.08%2C%200.68%2C%20facecolor%3D%22%235D6975%22%2C%20edgecolor%3D%22none%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_y%20in%20(0.32%2C%200.68)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(0.30%2C%20_y%2C%20%22%2B%22%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20fontsize%3D20%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(0.70%2C%20_y%2C%20%22%E2%88%92%22%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20fontsize%3D20%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.63%2C%200.47)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.37%2C%200.47)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%201.8%2C%20%22color%22%3A%20%22%237C6A91%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%200.50%2C%20r%22electric%20field%2C%20%24E%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.50%2C%200.94%2C%20%22Dielectric%20capacitor%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20weight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Charge%20separation%20stores%20electrostatic%20energy%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234D555C%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(xlim%3D(0%2C%201)%2C%20ylim%3D(0%2C%201))%0A%20%20%20%20_ax.axis(%22off%22)%0A%0A%20%20%20%20_ax%20%3D%20_axes%5B1%5D%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(0.22%2C%200.20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.56%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.58%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23EEF2F0%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%23718078%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Rectangle((0.16%2C%200.20)%2C%200.06%2C%200.58%2C%20facecolor%3D%22%236B86A5%22%2C%20edgecolor%3D%22none%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Rectangle((0.78%2C%200.20)%2C%200.06%2C%200.58%2C%20facecolor%3D%22%237C6A91%22%2C%20edgecolor%3D%22none%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_site_x%20%3D%20(0.31%2C%200.42%2C%200.53%2C%200.64%2C%200.73)%0A%20%20%20%20_site_y%20%3D%20(0.38%2C%200.58)%0A%20%20%20%20for%20_x%20in%20_site_x%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_y%20in%20_site_y%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20plt.Circle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_x%2C%20_y)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.034%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23C79066%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D0.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(_x%2C%20_y%2C%20r%22%24i%24%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D10%2C%20color%3D%22white%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.50%2C%200.69%2C%20%22active%20MIEC%20volume%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20color%3D%22%2346514B%22)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.29%2C%200.49)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.06%2C%200.49)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%201.8%2C%20%22color%22%3A%20%22%234C7C86%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.10%2C%200.54%2C%20r%22%24i%5E%7Bn%2B%7D%24%22%2C%20color%3D%22%233E6972%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22)%0A%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.71%2C%200.49)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.94%2C%200.49)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22lw%22%3A%201.8%2C%20%22color%22%3A%20%22%237C6A91%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.90%2C%200.54%2C%20r%22%24ne%5E-%24%22%2C%20color%3D%22%23665777%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.19%2C%200.81%2C%20%22ion-selective%20contact%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%20fontsize%3D10.0)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.81%2C%200.81%2C%20%22electron-selective%20contact%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22bottom%22%2C%20fontsize%3D10.0)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.50%2C%200.95%2C%20%22Mixed%20ionic%E2%80%93electronic%20conductor%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20weight%3D%22bold%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Neutral%20composition%20changes%20throughout%20the%20active%20volume%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234D555C%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(xlim%3D(0%2C%201)%2C%20ylim%3D(0%2C%201))%0A%20%20%20%20_ax.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20storage_schematic_07%20%3D%20_figure%0A%20%20%20%20return%20(storage_schematic_07%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20responsive_panels_07%2C%20storage_schematic_07)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_07(storage_schematic_07)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20second%20device%20stores%20the%20neutral%20species%20%5C(i%5C)%20by%20supplying%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ionic%20and%20electronic%20components%20through%20selective%20contacts.%20It%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20**neutral%20composition%20change**%2C%20rather%20than%20separated%20charge%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20bulk%2C%20that%20defines%20chemical%20capacitance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20optimize)%3A%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20%3D%208.314462618%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%20%3D%2096485.33212%0A%20%20%20%20C_MAX_MOL_PER_M3_07%20%3D%205.0e4%0A%0A%20%20%20%20def%20regular_free_energy_07(x%2C%20chi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Dimensionless%20symmetric%20regular-solution%20free%20energy%20G_m%2F(RT).%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(x%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mixing%20%3D%20np.zeros_like(values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20(values%20%3E%200.0)%20%26%20(values%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mixing%5Binterior%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%5Binterior%5D%20*%20np.log(values%5Binterior%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(1.0%20-%20values%5Binterior%5D)%20*%20np.log(1.0%20-%20values%5Binterior%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%20%3D%20mixing%20%2B%20chi%20*%20values%20*%20(1.0%20-%20values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(result)%20if%20result.ndim%20%3D%3D%200%20else%20result%0A%0A%20%20%20%20def%20homogeneous_mu_over_rt_07(x%2C%20chi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Homogeneous%20chemical%20potential%2C%20including%20analytic%20endpoint%20limits.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(x%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%20%3D%20np.full_like(values%2C%20np.nan)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20(values%20%3E%200.0)%20%26%20(values%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5Binterior%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(values%5Binterior%5D%20%2F%20(1.0%20-%20values%5Binterior%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20chi%20*%20(1.0%20-%202.0%20*%20values%5Binterior%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5Bvalues%20%3C%3D%200.0%5D%20%3D%20-np.inf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5Bvalues%20%3E%3D%201.0%5D%20%3D%20np.inf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(result)%20if%20result.ndim%20%3D%3D%200%20else%20result%0A%0A%20%20%20%20def%20homogeneous_curvature_07(x%2C%20chi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Dimensionless%20homogeneous%20curvature%20d(mu%2FRT)%2Fdx.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(x%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%20%3D%20np.full_like(values%2C%20np.inf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20(values%20%3E%200.0)%20%26%20(values%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5Binterior%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20values%5Binterior%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%201.0%20%2F%20(1.0%20-%20values%5Binterior%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%202.0%20*%20chi%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20float(result)%20if%20result.ndim%20%3D%3D%200%20else%20result%0A%0A%20%20%20%20def%20phase_bounds_07(chi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Binodal%20and%20spinodal%20compositions%20of%20a%20symmetric%20regular%20solution.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20chi%20%3C%3D%202.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20None%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20def%20coexistence_residual(x)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.log(x%20%2F%20(1.0%20-%20x))%20%2B%20chi%20*%20(1.0%20-%202.0%20*%20x)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_alpha%20%3D%20optimize.brentq(coexistence_residual%2C%201.0e-12%2C%200.5%20-%201.0e-10)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_beta%20%3D%201.0%20-%20x_alpha%0A%20%20%20%20%20%20%20%20spinodal_offset%20%3D%20np.sqrt(1.0%20-%202.0%20%2F%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_alpha%22%3A%20x_alpha%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_beta%22%3A%20x_beta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_spinodal_low%22%3A%200.5%20*%20(1.0%20-%20spinodal_offset)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x_spinodal_high%22%3A%200.5%20*%20(1.0%20%2B%20spinodal_offset)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20regular_equilibrium_07(x%2C%20chi)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Homogeneous%20and%20convexified%20equilibrium%20branches.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(x%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_homogeneous%20%3D%20regular_free_energy_07(values%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_homogeneous%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(values%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curvature%20%3D%20homogeneous_curvature_07(values%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20g_equilibrium%20%3D%20np.array(g_homogeneous%2C%20copy%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mu_equilibrium%20%3D%20np.array(mu_homogeneous%2C%20copy%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20inverse_capacitance_normalized%20%3D%20np.array(curvature%2C%20copy%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bounds%20%3D%20phase_bounds_07(chi)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20bounds%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_alpha%20%3D%20bounds%5B%22x_alpha%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_beta%20%3D%20bounds%5B%22x_beta%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20g_alpha%20%3D%20regular_free_energy_07(x_alpha%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20g_beta%20%3D%20regular_free_energy_07(x_beta%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20common_slope%20%3D%20(g_beta%20-%20g_alpha)%20%2F%20(x_beta%20-%20x_alpha)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20two_phase%20%3D%20(values%20%3E%3D%20x_alpha)%20%26%20(values%20%3C%3D%20x_beta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20g_equilibrium%5Btwo_phase%5D%20%3D%20g_alpha%20%2B%20common_slope%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20values%5Btwo_phase%5D%20-%20x_alpha%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mu_equilibrium%5Btwo_phase%5D%20%3D%20common_slope%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20inverse_capacitance_normalized%5Btwo_phase%5D%20%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20common_slope%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance_normalized%20%3D%20np.zeros_like(values)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20interior%20%3D%20(values%20%3E%200.0)%20%26%20(values%20%3C%201.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20infinite_response%20%3D%20interior%20%26%20(np.abs(inverse_capacitance_normalized)%20%3C%201.0e-13)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite_response%20%3D%20interior%20%26%20(inverse_capacitance_normalized%20%3E%201.0e-13)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance_normalized%5Bfinite_response%5D%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20inverse_capacitance_normalized%5Bfinite_response%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance_normalized%5Binfinite_response%5D%20%3D%20np.inf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance_normalized%5Binterior%20%26%20(inverse_capacitance_normalized%20%3C%200.0)%5D%20%3D%20np.nan%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22g_homogeneous%22%3A%20g_homogeneous%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22g_equilibrium%22%3A%20g_equilibrium%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_homogeneous_over_rt%22%3A%20mu_homogeneous%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_equilibrium_over_rt%22%3A%20mu_equilibrium%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22curvature_homogeneous%22%3A%20curvature%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22inverse_capacitance_normalized%22%3A%20inverse_capacitance_normalized%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22capacitance_normalized%22%3A%20capacitance_normalized%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bounds%22%3A%20bounds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22common_slope%22%3A%20common_slope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20selected_regular_state_07(x%2C%20temperature_k%2C%20omega_j_per_mol)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chi%20%3D%20omega_j_per_mol%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c_scale%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20C_MAX_MOL_PER_M3_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bounds%20%3D%20phase_bounds_07(chi)%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chi%22%3A%20chi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_equilibrium_over_rt%22%3A%20-np.inf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chem_V_f_per_m3%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22description%22%3A%20%22empty-lattice%20endpoint%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bounds%22%3A%20bounds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20x%20%3E%3D%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chi%22%3A%20chi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_equilibrium_over_rt%22%3A%20np.inf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chem_V_f_per_m3%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22description%22%3A%20%22full-lattice%20endpoint%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bounds%22%3A%20bounds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20bounds%20is%20not%20None%20and%20bounds%5B%22x_alpha%22%5D%20%3C%3D%20x%20%3C%3D%20bounds%5B%22x_beta%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20bounds%5B%22x_spinodal_low%22%5D%20%3C%20x%20%3C%20bounds%5B%22x_spinodal_high%22%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20branch%20%3D%20%22unstable%20homogeneous%20state%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20branch%20%3D%20%22metastable%20homogeneous%20state%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chi%22%3A%20chi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_equilibrium_over_rt%22%3A%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chem_V_f_per_m3%22%3A%20np.inf%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22description%22%3A%20f%22two-phase%20equilibrium%20(%7Bbranch%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bounds%22%3A%20bounds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curvature%20%3D%20homogeneous_curvature_07(x%2C%20chi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(curvature)%20%3C%201.0e-13%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20np.inf%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20description%20%3D%20%22critical%20composition%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20c_scale%20%2F%20curvature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20description%20%3D%20%22stable%20single%20phase%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22x%22%3A%20x%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chi%22%3A%20chi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_equilibrium_over_rt%22%3A%20homogeneous_mu_over_rt_07(x%2C%20chi)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chem_V_f_per_m3%22%3A%20capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22description%22%3A%20description%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22bounds%22%3A%20bounds%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20generic_diffusion_state_07(sigma_delta_s_per_m%2C%20C_chem_V_f_per_m3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20sigma_delta_s_per_m%20%2F%20C_chem_V_f_per_m3%0A%0A%20%20%20%20def%20slab_state_07(length_m%2C%20area_m2%2C%20sigma_delta_s_per_m%2C%20C_chem_V_f_per_m3)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%20generic_diffusion_state_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sigma_delta_s_per_m%2C%20C_chem_V_f_per_m3%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20C_chem_V_f_per_m3%20*%20area_m2%20*%20length_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance%20%3D%20length_m%20%2F%20(sigma_delta_s_per_m%20*%20area_m2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chem_f%22%3A%20capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22R_i_delta_ohm%22%3A%20resistance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22D_i_delta_m2_per_s%22%3A%20diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tau_s%22%3A%20resistance%20*%20capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusion_time_s%22%3A%20length_m**2%20%2F%20diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20C_MAX_MOL_PER_M3_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20generic_diffusion_state_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20homogeneous_curvature_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20homogeneous_mu_over_rt_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phase_bounds_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_equilibrium_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_free_energy_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_regular_state_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20slab_state_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%201%20%C2%B7%20What%20chemical%20capacitance%20measures%0A%0A%20%20%20%20Here%20the%20subscript%20%5C(i%5C)%20labels%20the%20neutral%20stored%20species%2C%20rather%20than%0A%20%20%20%20the%20ionic%20carrier%20of%20Modules%2005%E2%80%9306.%20Let%20%5C(c_i%5C)%20be%20its%20molar%20concentration%2C%20and%20let%0A%20%20%20%20adding%20one%20mole%20of%20%5C(i%5C)%20transfer%20%5C(n%5C)%20moles%20of%20elementary%20charge%20through%0A%20%20%20%20the%20external%20circuit.%20For%20active%20volume%20%5C(V%5C)%2C%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20Q%3DnFVc_i%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7Bd%7DU%3D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cmu_i%7D%7BnF%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Here%20%5C(U%5C)%20is%20the%20storage%20voltage%2C%20increasing%20with%20the%20neutral-species%0A%20%20%20%20chemical%20potential%20relative%20to%20a%20fixed%20reference.%20Differentiating%20stored%0A%20%20%20%20charge%20with%20respect%20to%20this%20voltage%20gives%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7B%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%0A%20%20%20%20%3Dn%5E2F%5E2%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%5Cmu_i%7D%7B%5Cpartial%20c_i%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20Its%20units%20are%20%5C(%5Cmathrm%7BF%5C%2Cm%5E%7B-3%7D%7D%5C)%2C%20and%20equivalently%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BV%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DQ%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7DU%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20A%20shallow%20chemical-potential%20curve%20means%20that%20much%20composition%20can%20be%0A%20%20%20%20added%20for%20a%20small%20voltage%20change%2C%20so%20the%20chemical%20capacitance%20is%20large.%0A%20%20%20%20A%20steep%20curve%20means%20the%20solid%20resists%20composition%20change%2C%20so%20the%20chemical%0A%20%20%20%20capacitance%20is%20small.%20If%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%5E0%2BRT%5Cln(a_i%2Fa_i%5E0)%5C)%2C%20define%0A%20%20%20%20%5C(f_i%3D%5Cpartial%5Cln%20a_i%2F%5Cpartial%5Cln%20c_i%5C).%20The%20same%20result%20is%20then%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%3D%5Cfrac%7Bn%5E2F%5E2c_i%7D%7BRTf_i%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20**Dilute%20benchmark.**%20If%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmu_i%3D%5Cmu_i%5E0%2BRT%5Cln(c_i%2Fc%5E0)%5C)%2C%20then%20the%20thermodynamic%20factor%20is%0A%20%20%20%20%5C(f_i%3D1%5C)%20and%0A%20%20%20%20%5C(C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%3Dn%5E2F%5E2c_i%2F(RT)%5C).%20At%20fixed%20temperature%2C%0A%20%20%20%20chemical%20capacitance%20is%20directly%20proportional%20to%20neutral-species%0A%20%20%20%20concentration%20for%20this%20benchmark.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Connecting%20to%20Modules%2005%E2%80%9306%20%E2%80%94%20carrier%20pairs%20and%20voltage%20signs%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Connecting%20to%20Modules%2005%E2%80%9306.**%20Their%20neutral%20species%20is%20an%20ideal%20pair%2C%0A%20%20%20%20%5C(M%5Crightleftharpoons%20M%5E%2B%2Be%5E-%5C)%2C%20with%20%5C(c_%7B%5Crm%20ion%7D%3Dc_%7B%5Crm%20eon%7D%3Dc%5C).%0A%20%20%20%20Both%20carrier%20chemical%20potentials%20change%20with%20composition%2C%20so%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmu_M-%5Cmu_M%5E0%3D2RT%5Cln(c%2Fc_0)%5C).%20Consequently%20%5C(a_M%5Cpropto%20c%5E2%5C)%2C%0A%20%20%20%20%5C(f_M%3D2%5C)%2C%20and%2C%20for%20one%20transferred%20electron%20per%20stored%20species%2C%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%3D%5Cfrac%7BF%5E2c%7D%7B2RT%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20The%20factor%20of%20two%20counts%20two%20changing%20carrier%20contributions%3B%20it%20does%20not%0A%20%20%20%20mean%20that%20two%20electrons%20are%20transferred.%20The%20generic%20neutral-solute%0A%20%20%20%20benchmark%20above%20has%20%5C(f_i%3D1%5C).%20Both%20use%20the%20same%20susceptibility%20definition.%0A%20%20%20%20In%20this%20notebook%20the%20subscript%20%5C(i%5C)%20labels%20the%20**neutral%20stored%20species**%3B%0A%20%20%20%20earlier%20transport%20notebooks%20also%20use%20%5C(i%5C)%20for%20the%20ionic%20carrier.%20Here%0A%20%20%20%20%5C(n%5C)%20counts%20transferred%20charges%2C%20whereas%20Module%2002%20uses%20%5C(n%5C)%20for%20electrons%0A%20%20%20%20per%20unit%20volume.%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20lithium%20insertion%20electrode%20measured%20against%20Li%20metal%2C%0A%20%20%20%20%5C(%5Cmathrm%7Bd%7DE%3D-%5Cmathrm%7Bd%7D%5Cmu_%7B%5Crm%20Li%7D%2FF%5C)%3A%20its%20potential%20has%20the%20opposite%0A%20%20%20%20slope%20to%20the%20storage%20voltage%20%5C(U%5C).%20Stored%20charge%20increases%20on%20insertion%3B%0A%20%20%20%20positive%20extraction%20charge%20in%20Module%2006%20increases%20on%20removal.%20Pairing%0A%20%20%20%20extraction%20charge%20with%20%5C(E%5C)%2C%20or%20stored%20charge%20with%20%5C(U%5C)%2C%20gives%20the%20same%0A%20%20%20%20positive%20stable%20differential%20capacitance.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%202%20%C2%B7%20Regular-solution%20thermodynamics%20and%20phase%20separation%0A%0A%20%20%20%20To%20see%20how%20non-ideal%20thermodynamics%20changes%20storage%2C%20place%20the%20neutral%0A%20%20%20%20species%20on%20a%20lattice%20with%20site%20fraction%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20x%3D%5Cfrac%7Bc_i%7D%7Bc_%7B%5Cmax%7D%7D%2C%20%5Cqquad%200%5Cle%20x%5Cle1.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20A%20symmetric%20regular%20solution%20has%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BG_m%7D%7BRT%7D%0A%20%20%20%20%3Dx%5Cln%20x%2B(1-x)%5Cln(1-x)%2B%5Cchi%20x(1-x)%2C%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%20%20%20%20Here%20%5C(%5Cchi%3D%5COmega%2F(RT)%5C)%20compares%20the%20interaction%20energy%20with%20thermal%20energy.%0A%20%20%20%20The%20molar%20interaction%20%5C(%5COmega%5C)%20corresponds%20to%20the%20per-particle%20%5C(h_0%5C)%0A%20%20%20%20in%20Lecture%209%2C%20slides%2015%E2%80%9318%3A%20%5C(%5Cchi%3Dh_0%2F(k_BT)%5C)%20when%20energy%20units%20match.%0A%0A%20%20%20%20The%20mixing%20terms%20approach%20zero%20at%20the%20endpoints%2C%20so%20%5C(G_m%5C)%20stays%20finite%0A%20%20%20%20at%20%5C(x%3D0%5C)%20and%20%5C(x%3D1%5C).%20The%20homogeneous%20chemical%20potential%20is%20defined%20in%0A%20%20%20%20the%20interior%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cmu_i-%5Cmu_i%5E0%7D%7BRT%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cln%5C!%5Cfrac%7Bx%7D%7B1-x%7D%2B%5Cchi(1-2x).%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Predict%20first%3A%20what%20happens%20when%20the%20repulsive%20interaction%20%5C(%5COmega%5C)%20is%0A%20%20%20%20large%20compared%20with%20thermal%20energy%20%5C(RT%5C)%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20site_fraction_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.01%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Selected%20site%20fraction%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20regular_temperature_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20500.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201500.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D800.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D25.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Temperature%2C%20%24T%24%20(K)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20regular_omega_kj_per_mol_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2025.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D16.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22Interaction%2C%20%24%5COmega%24%20(kJ%20mol%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_omega_kj_per_mol_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_temperature_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20site_fraction_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20regular_omega_kj_per_mol_07%2C%0A%20%20%20%20regular_temperature_07%2C%0A%20%20%20%20site_fraction_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bsite_fraction_07%2C%20regular_temperature_07%2C%20regular_omega_kj_per_mol_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D2%2C%20wrap%3DTrue%2C%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20regular_equilibrium_07%2C%0A%20%20%20%20regular_omega_kj_per_mol_07%2C%0A%20%20%20%20regular_temperature_07%2C%0A%20%20%20%20selected_regular_state_07%2C%0A%20%20%20%20site_fraction_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20selected_x_07%20%3D%20float(site_fraction_07.value)%0A%20%20%20%20selected_temperature_k_07%20%3D%20float(regular_temperature_07.value)%0A%20%20%20%20selected_omega_j_per_mol_07%20%3D%201000.0%20*%20float(regular_omega_kj_per_mol_07.value)%0A%20%20%20%20selected_chi_07%20%3D%20selected_omega_j_per_mol_07%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20selected_temperature_k_07%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20regular_x_grid_07%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%201001)%0A%20%20%20%20regular_phase_curves_07%20%3D%20regular_equilibrium_07(regular_x_grid_07%2C%20selected_chi_07)%0A%20%20%20%20selected_phase_state_07%20%3D%20selected_regular_state_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_x_07%2C%20selected_temperature_k_07%2C%20selected_omega_j_per_mol_07%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_chi_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_phase_state_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_temperature_k_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_x_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20selected_chi_07%2C%20selected_phase_state_07)%3A%0A%20%20%20%20_mu%20%3D%20selected_phase_state_07%5B%22mu_equilibrium_over_rt%22%5D%0A%20%20%20%20_capacitance%20%3D%20selected_phase_state_07%5B%22C_chem_V_f_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20if%20_mu%20%3D%3D%20float(%22inf%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_text%20%3D%20r%22%2B%5Cinfty%22%0A%20%20%20%20elif%20_mu%20%3D%3D%20float(%22-inf%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_text%20%3D%20r%22-%5Cinfty%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_text%20%3D%20rf%22%7B_mu%3A.3f%7D%22%0A%20%20%20%20if%20_capacitance%20%3D%3D%20float(%22inf%22)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_text%20%3D%20r%22%5Cinfty%22%0A%20%20%20%20elif%20_capacitance%20%3D%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_text%20%3D%20r%220%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mantissa%2C%20_exponent%20%3D%20f%22%7B_capacitance%3A.3e%7D%22.split(%22e%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_text%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%7B_mantissa%7D%5Ctimes10%5E%7B%7B%7Bint(_exponent)%7D%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%7B%7BF%5C%2Cm%5E%7B%7B-3%7D%7D%7D%7D%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**Selected%20state%3A**%20%7Bselected_phase_state_07%5B'description'%5D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cchi%3D%7Bselected_chi_07%3A.3f%7D%5C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cmu_%7B%7Bi%2C%5Crm%20eq%7D%7D%2F(RT)%3D%7B_mu_text%7D%5C)%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5EV%3D%7B_capacitance_text%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20homogeneous_mu_over_rt_07%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20regular_phase_curves_07%2C%0A%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20selected_chi_07%2C%0A%20%20%20%20selected_phase_state_07%2C%0A%20%20%20%20selected_x_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.4%2C%204.9)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_bounds%20%3D%20regular_phase_curves_07%5B%22bounds%22%5D%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%5B%22g_homogeneous%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22homogeneous%20free%20energy%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%5B%22g_equilibrium%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22equilibrium%20convex%20hull%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_x_mu%20%3D%20np.linspace(0.001%2C%200.999%2C%20999)%0A%20%20%20%20_mu_homogeneous%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(_x_mu%2C%20selected_chi_07)%0A%20%20%20%20_mu_equilibrium%20%3D%20regular_phase_curves_07%5B%22mu_equilibrium_over_rt%22%5D%5B1%3A-1%5D%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_mu%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_homogeneous%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237F8B8E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22homogeneous%20reference%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_mu%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_equilibrium%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22equilibrium%20chemical%20potential%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%20_bounds%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xa%20%3D%20_bounds%5B%22x_alpha%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xb%20%3D%20_bounds%5B%22x_beta%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs1%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_low%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs2%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_high%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_ax%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_xs1%2C%20_xs2%2C%20color%3D%22%23B77A82%22%2C%20alpha%3D0.11%2C%20label%3D%22spinodal%20interval%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_xa%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_xb%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_xa%2C%20_xb%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%5B%22g_equilibrium%22%5D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.argmin(np.abs(regular_x_grid_07%20-%20_xa))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%5B%22g_equilibrium%22%5D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.argmin(np.abs(regular_x_grid_07%20-%20_xb))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D58%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22binodal%20compositions%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.05%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22two-phase%20plateau%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_axes%5B1%5D.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20if%200.0%20%3C%20selected_x_07%20%3C%201.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_g_selected%20%3D%20np.interp(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected_x_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20regular_phase_curves_07%5B%22g_equilibrium%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_x_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_g_selected%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2341484D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D78%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20composition%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_mu_selected%20%3D%20selected_phase_state_07%5B%22mu_equilibrium_over_rt%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.isfinite(_mu_selected)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_x_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_mu_selected%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2341484D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D78%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20composition%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_low%2C%20_y_high%20%3D%20_axes%5B1%5D.get_ylim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y_span%20%3D%20_y_high%20-%20_y_low%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20selected_x_07%20%3D%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cmu_i%5Cto-%5Cinfty%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.015%2C%20_y_low%20%2B%200.03%20*%20_y_span)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.12%2C%20_y_low%20%2B%200.28%20*%20_y_span)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%23C49345%22%2C%20%22lw%22%3A%201.6%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239A6D2E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_axes%5B1%5D.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cmu_i%5Cto%2B%5Cinfty%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.985%2C%20_y_high%20-%200.03%20*%20_y_span)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.88%2C%20_y_high%20-%200.28%20*%20_y_span)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%23C49345%22%2C%20%22lw%22%3A%201.6%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239A6D2E%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Site%20fraction%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Molar%20free%20energy%2C%20%24G_m%2F(RT)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Equilibrium%20follows%20the%20convex%20free-energy%20envelope%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20selected_chi_07%20%3E%202.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_right_title%20%3D%20%22Phase%20coexistence%20creates%20a%20chemical-potential%20plateau%22%0A%20%20%20%20elif%20abs(selected_chi_07%20-%202.0)%20%3C%201.0e-9%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_right_title%20%3D%20%22At%20the%20critical%20point%2C%20the%20central%20slope%20reaches%20zero%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_right_title%20%3D%20%22Chemical%20potential%20rises%20smoothly%20in%20one%20phase%22%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Site%20fraction%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Chemical%20potential%2C%20%24(%5Cmu_i-%5Cmu_i%5E0)%2F(RT)%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D_right_title%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_ax%20in%20_axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.grid()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_handles%2C%20_labels%20%3D%20_ax.get_legend_handles_labels()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_unique%20%3D%20dict(zip(_labels%2C%20_handles))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.legend(_unique.values()%2C%20_unique.keys()%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20phase_equilibrium_figure_07%20%3D%20_figure%0A%20%20%20%20return%20(phase_equilibrium_figure_07%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20phase_equilibrium_figure_07%2C%20responsive_panels_07%2C%20selected_chi_07)%3A%0A%20%20%20%20_phase_text%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(%5Cchi%3E2%5C).%20The%20common%20tangent%20replaces%20the%20non-convex%20part%20of%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20homogeneous%20free%20energy.%20Its%20endpoints%20are%20the%20**binodal**%20compositions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20inner%20shaded%20**spinodal**%20interval%20is%20unstable%3B%20the%20regions%20between%0A%20%20%20%20%20%20%20%20binodal%20and%20spinodal%20are%20metastable.%20Every%20overall%20composition%20between%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20binodals%20shares%20the%20same%20equilibrium%20chemical%20potential%20and%20separates%0A%20%20%20%20%20%20%20%20into%20two%20phases.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20selected_chi_07%20%3E%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%5C(%5Cchi%5Cle2%5C)%2C%20so%20the%20homogeneous%20free%20energy%20is%20already%20convex%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20there%20is%20one%20equilibrium%20phase.%20At%20the%20critical%20value%20%5C(%5Cchi%3D2%5C)%2C%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curvature%20first%20reaches%20zero%20at%20%5C(x%3D1%2F2%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bresponsive_panels_07(phase_equilibrium_figure_07)%2C%20mo.md(_phase_text)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20C_MAX_MOL_PER_M3_07%2C%0A%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL%2C%0A%20%20%20%20GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20regular_phase_curves_07%2C%0A%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20selected_phase_state_07%2C%0A%20%20%20%20selected_temperature_k_07%2C%0A%20%20%20%20selected_x_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_c_scale%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20FARADAY_C_PER_MOL**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20C_MAX_MOL_PER_M3_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(GAS_CONSTANT_J_PER_MOL_K%20*%20selected_temperature_k_07)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_c_normalized%20%3D%20regular_phase_curves_07%5B%22capacitance_normalized%22%5D%0A%20%20%20%20_finite%20%3D%20np.isfinite(_c_normalized)%20%26%20(_c_normalized%20%3E%200.0)%0A%20%20%20%20_plot_values%20%3D%20np.where(_finite%2C%20_c_normalized%2C%20np.nan)%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(9.2%2C%204.9)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_x_grid_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_plot_values%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22finite%20single-phase%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%2FC_*%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_bounds%20%3D%20regular_phase_curves_07%5B%22bounds%22%5D%0A%20%20%20%20if%20_bounds%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xa%20%3D%20_bounds%5B%22x_alpha%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xb%20%3D%20_bounds%5B%22x_beta%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xa%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_xb%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23E8E1EC%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20hatch%3D%22%2F%2F%2F%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.55%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22two-phase%20equilibrium%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.relim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.autoscale_view()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y0%2C%20_y1%20%3D%20_ax.get_ylim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_arrow_x%20in%20(_xa%20%2B%200.28%20*%20(_xb%20-%20_xa)%2C%20_xa%20%2B%200.72%20*%20(_xb%20-%20_xa))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cinfty%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(_arrow_x%2C%20_y1%20%2F%201.7)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(_arrow_x%2C%20np.sqrt(_y0%20*%20_y1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%237C6A91%22%2C%20%22lw%22%3A%201.7%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D17%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.06%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22Two-phase%20equilibrium%3A%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%5Cto%5Cinfty%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_ax.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%2C%20%22alpha%22%3A%200.85%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20np.any(np.isinf(_c_normalized))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.relim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.autoscale_view()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_y0%2C%20_y1%20%3D%20_ax.get_ylim()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22critical%20divergence%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xy%3D(0.5%2C%20_y1%20%2F%201.6)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xytext%3D(0.62%2C%20np.sqrt(_y0%20*%20_y1))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%237C6A91%22%2C%20%22lw%22%3A%201.7%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_ax.text(0.012%2C%200.03%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%5Cto0%24%22%2C%20transform%3D_ax.transAxes%2C%20ha%3D%22left%22)%0A%20%20%20%20_ax.text(0.988%2C%200.03%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%5Cto0%24%22%2C%20transform%3D_ax.transAxes%2C%20ha%3D%22right%22)%0A%20%20%20%20if%200.0%20%3C%20selected_x_07%20%3C%201.0%20and%20np.isfinite(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_phase_state_07%5B%22C_chem_V_f_per_m3%22%5D%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_normalized%20%3D%20selected_phase_state_07%5B%22C_chem_V_f_per_m3%22%5D%20%2F%20_c_scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_x_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_selected_normalized%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D78%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2341484D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20composition%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Site%20fraction%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Chemical%20capacitance%2C%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%2FC_*%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Free-energy%20curvature%20sets%20chemical%20storage%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20equilibrium_capacitance_figure_07%20%3D%20_figure%0A%20%20%20%20return%20(equilibrium_capacitance_figure_07%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20equilibrium_capacitance_figure_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_07%2C%0A%20%20%20%20selected_chi_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_extra%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20an%20ideal%20macroscopic%20two-phase%20region%2C%20changing%20the%20phase%20fractions%0A%20%20%20%20%20%20%20%20changes%20the%20overall%20composition%20without%20changing%20the%20equilibrium%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical%20potential.%20Therefore%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Cpartial%5Cmu_%7Bi%2C%5Crm%20eq%7D%2F%5Cpartial%20x%3D0%5C)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%5Cto%5Cinfty%5C)%20throughout%20the%20**binodal**%20interval.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20different%20from%20the%20local%20homogeneous%20susceptibility%2C%20which%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diverges%20only%20at%20the%20spinodals.%20Real%20experimental%20peaks%20are%20finite%0A%20%20%20%20%20%20%20%20because%20finite%20size%2C%20disorder%2C%20elastic%20strain%2C%20nucleation%20barriers%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boundary%20kinetics%2C%20and%20measurement%20resolution%20round%20the%20ideal%20result.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20selected_chi_07%20%3E%202.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Outside%20a%20two-phase%20region%2C%20chemical%20capacitance%20is%20the%20inverse%0A%20%20%20%20%20%20%20%20curvature%20of%20the%20single-phase%20free%20energy.%20It%20approaches%20zero%20at%20an%0A%20%20%20%20%20%20%20%20empty%20or%20full%20lattice%20because%20adding%20the%20next%20particle%E2%80%94or%20finding%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20next%20empty%20site%E2%80%94becomes%20increasingly%20difficult.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5Bresponsive_panels_07(equilibrium_capacitance_figure_07)%2C%20mo.md(_extra)%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20homogeneous_curvature_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20regular_phase_curves_07%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_07%2C%0A%20%20%20%20selected_chi_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20np.linspace(0.01%2C%200.99%2C%20700)%0A%20%20%20%20_curvature%20%3D%20homogeneous_curvature_07(_x%2C%20selected_chi_07)%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.8%2C%204.2)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_ax.plot(_x%2C%20_curvature%2C%20color%3D%22%237F8B8E%22%2C%20lw%3D1.8)%0A%20%20%20%20%23%20Preserve%20the%20sign%20and%20resolve%20shallow%20negative%20curvature%20without%20clipping%0A%20%20%20%20%23%20the%20large%20positive%20curvature%20near%20either%20lattice%20endpoint.%0A%20%20%20%20_ax.set_yscale(%22symlog%22%2C%20linthresh%3D1.0%2C%20linscale%3D1.0)%0A%20%20%20%20_ax.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%234D555C%22%2C%20lw%3D1.2)%0A%20%20%20%20_bounds%20%3D%20regular_phase_curves_07%5B%22bounds%22%5D%0A%20%20%20%20if%20_bounds%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xa%20%3D%20_bounds%5B%22x_alpha%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs1%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_low%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xs2%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_high%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_xb%20%3D%20_bounds%5B%22x_beta%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_xa%2C%20_xs1%2C%20color%3D%22%23C49345%22%2C%20alpha%3D0.15%2C%20label%3D%22metastable%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_xs1%2C%20_xs2%2C%20color%3D%22%23B77A82%22%2C%20alpha%3D0.18%2C%20label%3D%22unstable%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvspan(_xs2%2C%20_xb%2C%20color%3D%22%23C49345%22%2C%20alpha%3D0.15)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_xs1%2C%20color%3D%22%23B77A82%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.axvline(_xs2%2C%20color%3D%22%23B77A82%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.5)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Site%20fraction%2C%20%24x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Homogeneous%20curvature%2C%20%24%5Cpartial(%5Cmu_i%2FRT)%2F%5Cpartial%20x%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D(%22The%20spinodal%20separates%20positive%20and%20negative%20curvature%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_bounds%20is%20not%20None%20else%20%22Homogeneous%20curvature%20in%20one%20phase%22)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.grid()%0A%20%20%20%20if%20_bounds%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20_reader%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20dashed%20homogeneous%20branch%20in%20the%20core%20figure%20asks%20what%20would%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20happen%20if%20phase%20separation%20were%20temporarily%20suppressed.%20Between%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20binodal%20and%20its%20neighboring%20spinodal%2C%20that%20branch%20is%20metastable.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Between%20the%20spinodals%20its%20curvature%20is%20negative%20and%20it%20is%20unstable.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20vertical%20axis%20is%20linear%20between%20-1%20and%20%2B1%20and%20logarithmic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20beyond%20that%20range%2C%20so%20the%20sign%20change%20remains%20visible%20alongside%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20large%20positive%20curvature%20near%20an%20empty%20or%20full%20lattice.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20negative%20**homogeneous**%20curvature%20must%20not%20be%20reported%20as%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20stable%20negative%20equilibrium%20chemical%20capacitance.%20Equilibrium%20uses%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20convex%20envelope%20and%20the%20two-phase%20plateau%20instead.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_07(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%C2%B7%20homogeneous%2C%20metastable%2C%20and%20spinodal%20response%22%3A%20_reader%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%203%20%C2%B7%20Generic%20link%20between%20chemical%20capacitance%20and%20chemical%20diffusivity%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20mixed%20conductor%2C%20neutral%20species%20%5C(i%5C)%20advances%20only%20when%20its%20ionic%0A%20%20%20%20and%20electronic%20components%20both%20move.%20Their%20effective%20partial%20conductivity%20is%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Csigma_i%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Csigma_%7B%5Crm%20ion%7D%5Csigma_%7B%5Crm%20eon%7D%7D%0A%20%20%20%20%7B%5Csigma_%7B%5Crm%20ion%7D%2B%5Csigma_%7B%5Crm%20eon%7D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Combining%20this%20transport%20coefficient%20with%20the%20storage%20response%20gives%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7BD_i%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B%5Csigma_i%5E%5Cdelta%7D%7BC_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%7D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Conductivity%20tells%20us%20how%20easily%20charge%20carriers%20move.%20Chemical%20capacitance%0A%20%20%20%20tells%20us%20how%20much%20neutral%20composition%20must%20be%20rearranged%20for%20a%20given%0A%20%20%20%20chemical-potential%20change.%20At%20fixed%20conductivity%2C%20more%20storage%20means%20slower%0A%20%20%20%20chemical%20diffusion.%0A%0A%20%20%20%20The%20next%20controls%20select%20base-10%20exponents%20in%20S%20m%5C(%5E%7B-1%7D%5C)%20and%0A%20%20%20%20F%20m%5C(%5E%7B-3%7D%5C).%20For%20example%2C%20a%20conductivity%20exponent%20of%20%E2%88%922%20means%0A%20%20%20%20%5C(10%5E%7B-2%7D%3D0.01%5C)%20S%20m%5C(%5E%7B-1%7D%5C).%20The%20selected%20physical%20values%20appear%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_sigma_delta_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Conductivity%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_C_chem_V_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2012.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Storage%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20log_C_chem_V_07%2C%20log_sigma_delta_07%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(log_C_chem_V_07%2C%20log_sigma_delta_07%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Blog_sigma_delta_07%2C%20log_C_chem_V_07%5D%2C%20gap%3D2%2C%20wrap%3DTrue%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(generic_diffusion_state_07%2C%20log_C_chem_V_07%2C%20log_sigma_delta_07)%3A%0A%20%20%20%20selected_sigma_delta_07%20%3D%2010.0%20**%20float(log_sigma_delta_07.value)%0A%20%20%20%20selected_C_chem_V_07%20%3D%2010.0%20**%20float(log_C_chem_V_07.value)%0A%20%20%20%20selected_D_delta_07%20%3D%20generic_diffusion_state_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_sigma_delta_07%2C%20selected_C_chem_V_07%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20selected_C_chem_V_07%2C%20selected_D_delta_07%2C%20selected_sigma_delta_07%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_07%2C%0A%20%20%20%20selected_C_chem_V_07%2C%0A%20%20%20%20selected_D_delta_07%2C%0A%20%20%20%20selected_sigma_delta_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_capacitance_grid%20%3D%20np.logspace(4.0%2C%2012.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_ax%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.9%2C%204.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20for%20_factor%2C%20_color%2C%20_style%2C%20_label%20in%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0.01%2C%20%22%23A7B1B2%22%2C%20%22--%22%2C%20r%22%240.01%5C%2C%5Csigma_i%5E%5Cdelta%24%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(100.0%2C%20%22%23A98D9E%22%2C%20%22%3A%22%2C%20r%22%24100%5C%2C%5Csigma_i%5E%5Cdelta%24%22)%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_ax.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_factor%20*%20selected_sigma_delta_07%20%2F%20_capacitance_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D_style%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20selected_sigma_delta_07%20%2F%20_capacitance_grid%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D2.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22selected%20%24%5Csigma_i%5E%5Cdelta%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_C_chem_V_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_D_delta_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2341484D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D82%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20state%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Chemical%20capacitance%2C%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%24%20(F%20m%24%5E%7B-3%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Chemical%20diffusivity%2C%20%24D_i%5E%5Cdelta%24%20(m%24%5E2%24%20s%24%5E%7B-1%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Greater%20storage%20slows%20chemical%20diffusion%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_ax.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_ax.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_07(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(%5Csigma_i%5E%5Cdelta%3D%5C)%20**%7Bselected_sigma_delta_07%3A.3e%7D**%20S%20m%5C(%5E%7B%7B-1%7D%7D%5C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5EV%3D%5C)%20**%7Bselected_C_chem_V_07%3A.3e%7D**%20F%20m%5C(%5E%7B%7B-3%7D%7D%5C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20so%20%5C(D_i%5E%5Cdelta%3D%5C)%20**%7Bselected_D_delta_07%3A.3e%7D**%20m%5C(%5E2%5C)%20s%5C(%5E%7B%7B-1%7D%7D%5C).%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Unit%20check%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C((%5Cmathrm%7B%7BS%5C%2Cm%5E%7B%7B-1%7D%7D%7D%7D)%2F(%5Cmathrm%7B%7BF%5C%2Cm%5E%7B%7B-3%7D%7D%7D%7D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cmathrm%7B%7Bm%5E2%5C%2Cs%5E%7B%7B-1%7D%7D%7D%7D%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20%C2%B7%20why%20the%20slower%20carrier%20controls%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20harmonic%20form%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Csigma_i%5E%5Cdelta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma_%7B%5Crm%20ion%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csigma_%7B%5Crm%20eon%7D%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20smaller%20than%20either%20component%20conductivity.%20If%20one%20carrier%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20much%20less%20conductive%20than%20the%20other%2C%20it%20becomes%20the%20transport%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bottleneck.%20The%20core%20plot%20uses%20%5C(%5Csigma_i%5E%5Cdelta%5C)%20directly%20so%20this%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20carrier%20bookkeeping%20does%20not%20obscure%20the%20storage%E2%80%93diffusion%20link.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Part%204%20%C2%B7%20How%20chemical%20capacitance%20is%20identified%20experimentally%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20uniform%20slab%20of%20thickness%20%5C(L%5C)%20and%20area%20%5C(S%5C)%2C%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%3DC_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7DSL%2C%0A%20%20%20%20%5Cqquad%0A%20%20%20%20R_i%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7BL%7D%7B%5Csigma_i%5E%5Cdelta%20S%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20Their%20product%20is%20the%20chemical-diffusion%20time%20scale%3A%0A%0A%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7BR_i%5E%5Cdelta%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BD_i%5E%5Cdelta%7D%7D.%0A%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20A%20bulk%20chemical%20capacitance%20therefore%20grows%20with%20active%20thickness%2C%20whereas%0A%20%20%20%20a%20purely%20interfacial%20areal%20capacitance%20contributes%20a%20thickness-independent%0A%20%20%20%20intercept.%20This%20product%20is%20%5C(t_D%3DL%5E2%2FD_i%5E%5Cdelta%5C)%2C%20a%20scaling%20time.%0A%20%20%20%20The%20slowest%20exponential%20decay%20also%20depends%20on%20the%20diffusion%20boundaries%3B%0A%20%20%20%20for%20closed-slab%20redistribution%20it%20is%20%5C(t_D%2F%5Cpi%5E2%5C).%20A%20measured%20decay%20time%0A%20%20%20%20must%20therefore%20be%20matched%20to%20its%20boundary-value%20problem.%0A%0A%20%20%20%20The%20controls%20select%20base-10%20exponents%20of%20thickness%20in%20%CE%BCm%20and%20interface%0A%20%20%20%20capacitance%20per%20area%20in%20F%20m%5C(%5E%7B-2%7D%5C).%20The%20physical%20values%20appear%20below.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20log_thickness_um_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Thickness%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20log_interface_capacitance_areal_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%203.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Interface%20storage%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20log_interface_capacitance_areal_07%2C%20log_thickness_um_07%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(log_interface_capacitance_areal_07%2C%20log_thickness_um_07%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Blog_thickness_um_07%2C%20log_interface_capacitance_areal_07%5D%2C%20gap%3D2%2C%20wrap%3DTrue%2C%20justify%3D%22start%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20log_interface_capacitance_areal_07%2C%0A%20%20%20%20log_thickness_um_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_07%2C%0A%20%20%20%20selected_C_chem_V_07%2C%0A%20%20%20%20selected_D_delta_07%2C%0A%20%20%20%20selected_sigma_delta_07%2C%0A%20%20%20%20slab_state_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_area%20%3D%201.0e-4%0A%20%20%20%20_length%20%3D%2010.0%20**%20float(log_thickness_um_07.value)%20*%201.0e-6%0A%20%20%20%20_interface_areal%20%3D%2010.0%20**%20float(log_interface_capacitance_areal_07.value)%0A%20%20%20%20_slab%20%3D%20slab_state_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_length%2C%20_area%2C%20selected_sigma_delta_07%2C%20selected_C_chem_V_07%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_length_grid%20%3D%20np.logspace(-9.0%2C%20-3.0%2C%20360)%0A%20%20%20%20_bulk_areal%20%3D%20selected_C_chem_V_07%20*%20_length_grid%0A%20%20%20%20_measured_areal%20%3D%20_bulk_areal%20%2B%20_interface_areal%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%204.7)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_length_grid%20*%201.0e6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_bulk_areal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22bulk%20chemical%20contribution%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_length_grid%20*%201.0e6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_measured_areal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22bulk%20%2B%20interface%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.axhline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_interface_areal%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23858B90%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22interface%20intercept%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_length%20*%201.0e6%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bselected_C_chem_V_07%20*%20_length%20%2B%20_interface_areal%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D76%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Thickness%2C%20%24L%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Measured%20capacitance%20per%20area%20(F%20m%24%5E%7B-2%7D%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Thickness%20separates%20bulk%20storage%20from%20an%20interface%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(loc%3D%22best%22)%0A%0A%20%20%20%20_tau_grid%20%3D%20_length_grid**2%20%2F%20selected_D_delta_07%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.loglog(_length_grid%20*%201.0e6%2C%20_tau_grid%2C%20color%3D%22%23B8734A%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_length%20*%201.0e6%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_slab%5B%22tau_s%22%5D%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D76%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2340464D%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Thickness%2C%20%24L%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Diffusion%20scaling%20time%2C%20%24t_D%24%20(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22The%20diffusion%20time%20follows%20%24L%5E2%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_07(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20For%20%5C(L%3D%7B_length%20*%201.0e6%3A.2f%7D%5C)%20%CE%BCm%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(S%3D%5C)%20**%7B_area%3A.1e%7D**%20m%5C(%5E2%5C)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D%5C)%20**%7B_slab%5B'C_chem_f'%5D%3A.3e%7D**%20F%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(R_i%5E%5Cdelta%3D%5C)%20**%7B_slab%5B'R_i_delta_ohm'%5D%3A.3e%7D**%20%CE%A9%2C%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(R_i%5E%5Cdelta%20C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D%5C)%20**%7B_slab%5B'tau_s'%5D%3A.3e%7D**%20s.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Independently%2C%20%5C(L%5E2%2FD_i%5E%5Cdelta%3D%5C)%20**%7B_slab%5B'diffusion_time_s'%5D%3A.3e%7D**%20s.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20relation%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(C_%7B%7B%5Crm%20meas%7D%7D%2FS%3DC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5E%7B%7BV%7D%7DL%2BC_%7B%7B%5Crm%20int%7D%7D%5E%7B%7BA%7D%7D%5C)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20is%20a%20useful%20thickness%20test%2C%20but%20an%20EIS%20capacitance%20is%20still%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20model-dependent%3A%20the%20equivalent%20circuit%20and%20frequency%20window%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20must%20isolate%20the%20intended%20process.%20In%20Module%2008%2C%20the%20same%20bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20storage%20is%20written%20as%20the%20distributed%20capacitance%20per%20length%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C(c_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3DC_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%5E%7B%7BV%7D%7DS%5C).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20np%2C%20plt%2C%20responsive_panels_07)%3A%0A%20%20%20%20_eta%20%3D%20np.linspace(-8.0%2C%208.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_vacancy%20%3D%20np.exp(-0.5%20*%20_eta)%0A%20%20%20%20_hole%20%3D%20np.exp(0.5%20*%20_eta)%0A%20%20%20%20_storage%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2F%20(4.0%20*%20_vacancy)%20%2B%201.0%20%2F%20_hole)%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(1%2C%202%2C%20figsize%3D(12.9%2C%204.5)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.semilogy(_eta%2C%204.0%20*%20_vacancy%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20label%3Dr%22%244c_V%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.semilogy(_eta%2C%20_hole%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20label%3Dr%22%24c_h%24%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22Illustrative%20oxygen%20chemical-potential%20coordinate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Relative%20concentration%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Two%20defects%20respond%20to%20neutral%20oxygen%20storage%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B0%5D.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_eta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_storage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5B1%2F(4c_V)%2B1%2Fc_h%5D%5E%7B-1%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.semilogy(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_eta%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.minimum(4.0%20*%20_vacancy%2C%20_hole)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23858B90%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22less%20abundant%20partner%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3D%22Illustrative%20oxygen%20chemical-potential%20coordinate%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Relative%20chemical%20storage%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20minority%20partner%20limits%20storage%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.grid(which%3D%22both%22)%0A%20%20%20%20_axes%5B1%5D.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%0A%20%20%20%20_reader%20%3D%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Oxygen%20storage%20in%20a%20mixed%20conductor%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20For%20ideal%20oxygen%20vacancies%20and%20holes%2C%20a%20useful%20differential-storage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20expression%20is%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%3D%5Cfrac%7BF%5E2%7D%7BRT%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B4c_V%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bc_h%7D%5Cright)%5E%7B-1%7D.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5C%5D%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20less%20abundant%20compensating%20defect%20limits%20the%20harmonic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20combination.%20The%20horizontal%20coordinate%20is%20illustrative%3B%20this%20is%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20not%20a%20reconstructed%20Brouwer%20diagram.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_07(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%C2%B7%20oxygen%20mixed%20conductor%22%3A%20_reader%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20%C2%B7%20dilute%20vacancies%20in%20a%20lithium%20host%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Dilute%20lithium-vacancy%20limit%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20A%20nearly%20full%20lithium%20sublattice%20can%20be%20described%20by%20a%20small%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20vacancy%20fraction%20%5C(%5Cdelta%3D1-x%5Cll1%5C).%20In%20that%20dilute%20limit%2C%20vacancy%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20controls%20how%20many%20ionic%20hopping%20opportunities%20exist.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20This%20is%20a%20useful%20material-specific%20interpretation%2C%20but%20it%20is%20not%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20required%20for%20the%20generic%20identities%20in%20the%20core%20reader.%20Site%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exclusion%20and%20interactions%20must%20be%20derived%20from%20the%20material's%20own%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20free%20energy%20before%20assigning%20a%20composition-dependent%20diffusivity.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20generic_diffusion_state_07%2C%0A%20%20%20%20homogeneous_curvature_07%2C%0A%20%20%20%20homogeneous_mu_over_rt_07%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20phase_bounds_07%2C%0A%20%20%20%20regular_equilibrium_07%2C%0A%20%20%20%20regular_free_energy_07%2C%0A%20%20%20%20selected_regular_state_07%2C%0A%20%20%20%20slab_state_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_chi_phase%20%3D%203.0%0A%20%20%20%20_bounds%20%3D%20phase_bounds_07(_chi_phase)%0A%20%20%20%20_xa%20%3D%20_bounds%5B%22x_alpha%22%5D%0A%20%20%20%20_xb%20%3D%20_bounds%5B%22x_beta%22%5D%0A%20%20%20%20_xs1%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_low%22%5D%0A%20%20%20%20_xs2%20%3D%20_bounds%5B%22x_spinodal_high%22%5D%0A%0A%20%20%20%20_g_endpoint_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.isfinite(regular_free_energy_07(0.0%2C%20_chi_phase))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.isfinite(regular_free_energy_07(1.0%2C%20_chi_phase))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20regular_free_energy_07(0.0%2C%20_chi_phase)%20%3D%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20regular_free_energy_07(1.0%2C%20_chi_phase)%20%3D%3D%200.0%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_mu_low_1%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(1.0e-9%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_mu_low_2%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(1.0e-12%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_mu_low_pass%20%3D%20_mu_low_2%20%3C%20_mu_low_1%20%3C%200.0%20and%20np.isneginf(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20homogeneous_mu_over_rt_07(0.0%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_mu_high_1%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(1.0%20-%201.0e-9%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_mu_high_2%20%3D%20homogeneous_mu_over_rt_07(1.0%20-%201.0e-12%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_mu_high_pass%20%3D%20_mu_high_2%20%3E%20_mu_high_1%20%3E%200.0%20and%20np.isposinf(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20homogeneous_mu_over_rt_07(1.0%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_endpoint_left%20%3D%20selected_regular_state_07(0.0%2C%20800.0%2C%2016000.0)%0A%20%20%20%20_endpoint_right%20%3D%20selected_regular_state_07(1.0%2C%20800.0%2C%2016000.0)%0A%20%20%20%20_capacitance_endpoint_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_endpoint_left%5B%22C_chem_V_f_per_m3%22%5D%20%3D%3D%200.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20_endpoint_right%5B%22C_chem_V_f_per_m3%22%5D%20%3D%3D%200.0%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_critical_pass%20%3D%20abs(homogeneous_curvature_07(0.5%2C%202.0))%20%3C%201.0e-14%0A%0A%20%20%20%20_common_slope%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20regular_free_energy_07(_xb%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20regular_free_energy_07(_xa%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(_xb%20-%20_xa)%0A%20%20%20%20_binodal_pass%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(homogeneous_mu_over_rt_07(_xa%2C%20_chi_phase)%20-%20_common_slope)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(homogeneous_mu_over_rt_07(_xb%2C%20_chi_phase)%20-%20_common_slope)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(regular_free_energy_07(_xa%2C%20_chi_phase)%20-%20regular_free_energy_07(_xb%2C%20_chi_phase))%2C%0A%20%20%20%20)%20%3C%201.0e-11%0A%0A%20%20%20%20_spinodal_pass%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(homogeneous_curvature_07(_xs1%2C%20_chi_phase))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(homogeneous_curvature_07(_xs2%2C%20_chi_phase))%2C%0A%20%20%20%20)%20%3C%201.0e-11%0A%0A%20%20%20%20_plateau_x%20%3D%20np.linspace(_xa%2C%20_xb%2C%20101)%0A%20%20%20%20_plateau%20%3D%20regular_equilibrium_07(_plateau_x%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_plateau_mu_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_plateau%5B%22mu_equilibrium_over_rt%22%5D%20-%20_common_slope))%20%3C%201.0e-12%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_inverse_capacitance_plateau_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_plateau%5B%22inverse_capacitance_normalized%22%5D))%20%3C%201.0e-14%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_unstable_x%20%3D%20np.linspace(_xs1%20%2B%201.0e-5%2C%20_xs2%20-%201.0e-5%2C%2071)%0A%20%20%20%20_unstable_equilibrium%20%3D%20regular_equilibrium_07(_unstable_x%2C%20_chi_phase)%0A%20%20%20%20_negative_not_stable_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(homogeneous_curvature_07(_unstable_x%2C%20_chi_phase)%20%3C%200.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(np.isinf(_unstable_equilibrium%5B%22capacitance_normalized%22%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(_unstable_equilibrium%5B%22inverse_capacitance_normalized%22%5D%20%3D%3D%200.0)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_sigma%20%3D%202.7e-3%0A%20%20%20%20_capacitance%20%3D%204.2e7%0A%20%20%20%20_diffusivity%20%3D%20generic_diffusion_state_07(_sigma%2C%20_capacitance)%0A%20%20%20%20_generic_identity_pass%20%3D%20abs(_diffusivity%20%2F%20(_sigma%20%2F%20_capacitance)%20-%201.0)%20%3C%202.0e-14%0A%0A%20%20%20%20_length%20%3D%2037.0e-6%0A%20%20%20%20_area%20%3D%201.4e-4%0A%20%20%20%20_slab%20%3D%20slab_state_07(_length%2C%20_area%2C%20_sigma%2C%20_capacitance)%0A%20%20%20%20_slab_identity_pass%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_slab%5B%22tau_s%22%5D%20%2F%20_slab%5B%22diffusion_time_s%22%5D%20-%201.0)%20%3C%202.0e-14%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_l1%20%3D%2020.0e-6%0A%20%20%20%20_l2%20%3D%2085.0e-6%0A%20%20%20%20_bulk_1%20%3D%20_capacitance%20*%20_area%20*%20_l1%0A%20%20%20%20_bulk_2%20%3D%20_capacitance%20*%20_area%20*%20_l2%0A%20%20%20%20_bulk_linear_pass%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_bulk_1%20%2F%20(_area%20*%20_l1)%20%2F%20_capacitance%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_bulk_2%20%2F%20(_area%20*%20_l2)%20%2F%20_capacitance%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%20%3C%202.0e-14%0A%0A%20%20%20%20_interface_areal%20%3D%2013.0%0A%20%20%20%20_measured_1%20%3D%20_capacitance%20*%20_l1%20%2B%20_interface_areal%0A%20%20%20%20_measured_2%20%3D%20_capacitance%20*%20_l2%20%2B%20_interface_areal%0A%20%20%20%20_interface_independent_pass%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs((_measured_1%20-%20_capacitance%20*%20_l1)%20%2F%20_interface_areal%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs((_measured_2%20-%20_capacitance%20*%20_l2)%20%2F%20_interface_areal%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%20%3C%202.0e-14%0A%0A%20%20%20%20module07_validation%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22finite_free_energy_endpoints%22%3A%20bool(_g_endpoint_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_low_limit%22%3A%20bool(_mu_low_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22mu_high_limit%22%3A%20bool(_mu_high_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22capacitance_endpoint_limit%22%3A%20bool(_capacitance_endpoint_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22critical_chi%22%3A%20bool(_critical_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22binodal_common_tangent%22%3A%20bool(_binodal_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22spinodal_zero_curvature%22%3A%20bool(_spinodal_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22equilibrium_mu_plateau%22%3A%20bool(_plateau_mu_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22inverse_capacitance_plateau%22%3A%20bool(_inverse_capacitance_plateau_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22negative_curvature_not_stable%22%3A%20bool(_negative_not_stable_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22generic_diffusion_identity%22%3A%20bool(_generic_identity_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22slab_time_identity%22%3A%20bool(_slab_identity_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22bulk_capacitance_linear%22%3A%20bool(_bulk_linear_pass)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22interface_areal_independent%22%3A%20bool(_interface_independent_pass)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20return%20(module07_validation%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20module07_validation)%3A%0A%20%20%20%20def%20_mark_07(value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%22PASS%22%20if%20value%20else%20%22CHECK%22%0A%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22finite_free_energy_endpoints%22%2C%20r%22%24G_m%24%20is%20finite%20at%20%24x%3D0%2C1%24%22%2C%20%22endpoint%20limits%20are%20handled%20analytically%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22mu_low_limit%22%2C%20r%22%24%5Cmu_i%5Cto-%5Cinfty%24%20as%20%24x%5Cto0%24%22%2C%20%22an%20empty%20lattice%20strongly%20favors%20the%20first%20addition%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22mu_high_limit%22%2C%20r%22%24%5Cmu_i%5Cto%2B%5Cinfty%24%20as%20%24x%5Cto1%24%22%2C%20%22a%20full%20lattice%20resists%20further%20addition%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22capacitance_endpoint_limit%22%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%5Cto0%24%20at%20both%20endpoints%22%2C%20%22available%20particles%20or%20sites%20vanish%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22critical_chi%22%2C%20r%22%24%5Cchi_c%3D2%24%20at%20%24x%3D1%2F2%24%22%2C%20%22the%20regular-solution%20critical%20point%20is%20correct%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22binodal_common_tangent%22%2C%20%22binodals%20share%20one%20common%20tangent%22%2C%20%22coexisting%20phases%20have%20equal%20chemical%20potential%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22spinodal_zero_curvature%22%2C%20%22spinodal%20curvature%20is%20zero%22%2C%20%22the%20homogeneous%20susceptibility%20diverges%20there%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22equilibrium_mu_plateau%22%2C%20%22equilibrium%20chemical%20potential%20is%20constant%20between%20binodals%22%2C%20%22phase%20fractions%20change%20at%20fixed%20chemical%20potential%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22inverse_capacitance_plateau%22%2C%20%22equilibrium%20inverse%20capacitance%20is%20zero%20across%20the%20plateau%22%2C%20%22ideal%20two-phase%20capacitance%20is%20infinite%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22negative_curvature_not_stable%22%2C%20%22negative%20homogeneous%20curvature%20is%20excluded%20from%20stable%20equilibrium%20capacitance%22%2C%20%22the%20convex%20envelope%20replaces%20unstable%20states%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22generic_diffusion_identity%22%2C%20r%22%24D_i%5E%5Cdelta%3D%5Csigma_i%5E%5Cdelta%2FC_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%24%22%2C%20%22transport%20and%20storage%20combine%20consistently%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22slab_time_identity%22%2C%20r%22%24R_i%5E%5Cdelta%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%3DL%5E2%2FD_i%5E%5Cdelta%24%22%2C%20%22electrical%20and%20diffusion%20time%20scales%20agree%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22bulk_capacitance_linear%22%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%5Cpropto%20L%24%22%2C%20%22bulk%20storage%20scales%20with%20active%20volume%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22interface_areal_independent%22%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20int%7D%5E%7BA%7D%24%20is%20independent%20of%20%24L%24%22%2C%20%22an%20interface%20appears%20as%20a%20thickness%20intercept%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_table%20%3D%20%22%7C%20Status%20%7C%20Physical%20check%20%7C%20Why%20it%20matters%20%7C%5Cn%7C---%7C---%7C---%7C%5Cn%22%20%2B%20%22%5Cn%22.join(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B_mark_07(module07_validation%5B_key%5D)%7D%20%7C%20%7B_check%7D%20%7C%20%7B_meaning%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_key%2C%20_check%2C%20_meaning%20in%20_rows%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_summary%20%3D%20f%22%7Bsum(module07_validation.values())%7D%2F%7Blen(module07_validation)%7D%20checks%20pass.%22%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Numerical%20and%20physical%20checks%22%3A%20mo.vstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.callout(_summary%2C%20kind%3D%22success%22%20if%20all(module07_validation.values())%20else%20%22warn%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_table)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%201.%20Chemical%20capacitance%20is%20the%20differential%20storage%20of%20a%20**neutral%20species**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20not%20simply%20another%20dielectric%20capacitor.%0A%20%20%20%202.%20It%20is%20controlled%20by%20the%20slope%20of%20the%20equilibrium%20chemical%20potential.%0A%20%20%20%20%20%20%20A%20phase-coexistence%20plateau%20therefore%20gives%20an%20infinite%20ideal%20equilibrium%0A%20%20%20%20%20%20%20response%2C%20while%20real%20measurements%20show%20a%20rounded%20finite%20peak.%0A%20%20%20%203.%20Chemical%20diffusion%20combines%20transport%20and%20storage%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%5C(D_i%5E%5Cdelta%3D%5Csigma_i%5E%5Cdelta%2FC_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%5C).%0A%20%20%20%204.%20Thickness%20scaling%20helps%20distinguish%20bulk%20chemical%20storage%20from%20an%0A%20%20%20%20%20%20%20interfacial%20capacitance.%0A%0A%20%20%20%20**Next%3A**%20%5BModule%2008%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F08-impedance-tlm%2F)%20turns%20%5C(C_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7D%5C)%20into%20the%20distributed%0A%20%20%20%20%5C(c_%7B%5Crm%20chem%7D%3DC_%7B%5Crm%20chem%7D%5E%7BV%7DS%5C)%20of%20a%20transmission%20line%20and%20asks%20how%20the%0A%20%20%20%20same%20chemical-diffusion%20process%20appears%20in%20impedance%20spectra.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%209%2C%20slides%2013%E2%80%9320%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture9_solid-state_electrochemistry_i_open-circuit.pdf)%3A%20lattice%20occupancy%2C%20regular%20solutions%2C%20and%20phase%20separation.%20The%20%5Bchemical-capacitance%20article%5D(https%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2FEptaVQhjOzbJFE_qAnZ-3w)%20is%20the%20companion%20reading%20on%20storage%20and%20measurement.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A