08 impedance tlm

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%0A%23%20%20%20%20%20%22marimo%3E%3D0.23.14%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22matplotlib%3E%3D3.8%22%2C%0A%23%20%20%20%20%20%22numpy%3E%3D1.26%22%2C%0A%23%20%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.24.0%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22full%22)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20def%20responsive_panels_08(figure)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Keep%20each%20plotted%20panel%20readable%20when%20the%20browser%20stacks%20it%20on%20a%20phone.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20base64%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20html%0A%20%20%20%20%20%20%20%20import%20io%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.backends.backend_agg%20import%20FigureCanvasAgg%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas%20%3D%20FigureCanvasAgg(figure)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20canvas.draw()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20renderer%20%3D%20canvas.get_renderer()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20from%20matplotlib.transforms%20import%20Bbox%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20A%20twinned%20Bode%20axis%20is%20part%20of%20the%20same%20panel%2C%20not%20another%20subplot.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Group%20coincident%20axes%20so%20both%20scales%20and%20their%20labels%20stay%20together.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20visibility%20%3D%20%7Baxis%3A%20axis.get_visible()%20for%20axis%20in%20figure.axes%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20groups%20%3D%20%7B%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20visibility%5Baxis%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20position%20%3D%20tuple(round(value%2C%208)%20for%20value%20in%20axis.get_position().bounds)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20groups.setdefault(position%2C%20%5B%5D).append(axis)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels_with_boxes%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(axes%2C%20Bbox.union(%5Baxis.get_tightbbox(renderer)%20for%20axis%20in%20axes%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20.transformed(figure.dpi_scale_trans.inverted()).padded(0.08))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axes%20in%20groups.values()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figure.set_layout_engine(%22none%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20panels%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20index%2C%20(axes%2C%20box)%20in%20enumerate(panels_with_boxes)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20other%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20other.set_visible(other%20in%20axes)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20buffer%20%3D%20io.BytesIO()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20figure.savefig(buffer%2C%20format%3D%22svg%22%2C%20bbox_inches%3Dbox)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20encoded%20%3D%20base64.b64encode(buffer.getvalue()).decode(%22ascii%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%20%3D%20html.escape(axes%5B0%5D.get_title()%20or%20f%22Figure%20panel%20%7Bindex%20%2B%201%7D%22%2C%20quote%3DTrue)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20panels.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'%3Cdiv%20style%3D%22flex%3A1%201%2028rem%3Bmin-width%3A0%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f'%3Cimg%20alt%3D%22%7Blabel%7D%22%20src%3D%22data%3Aimage%2Fsvg%2Bxml%3Bbase64%2C%7Bencoded%7D%22%20'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20'style%3D%22display%3Ablock%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%22%20%2F%3E%3C%2Fdiv%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20axis%20in%20figure.axes%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_visible(visibility%5Baxis%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20mo.Html('%3Cdiv%20style%3D%22display%3Aflex%3Bflex-wrap%3Awrap%3Bgap%3A1rem%22%3E'%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20''.join(panels)%20%2B%20'%3C%2Fdiv%3E')%0A%0A%20%20%20%20return%20(responsive_panels_08%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20from%20matplotlib.patches%20import%20Rectangle%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%0A%20%20%20%20plt.rcParams.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22font.size%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlesize%22%3A%2015%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelsize%22%3A%2013%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22xtick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22ytick.labelsize%22%3A%2011%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.fontsize%22%3A%2010.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.facecolor%22%3A%20%22%23FCFCFA%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.color%22%3A%20%22%23C7CCD1%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22grid.alpha%22%3A%200.28%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.titlepad%22%3A%2010%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.labelpad%22%3A%206%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22legend.frameon%22%3A%20False%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22axes.prop_cycle%22%3A%20plt.cycler(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%236B86A5%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23B77A82%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%235F8A6B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23C49345%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22lines.solid_capstyle%22%3A%20%22round%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22figure.dpi%22%3A%20115%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20Rectangle%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Cstyle%3E%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20%7B%20font-size%3A%201.12rem%20!important%3B%20line-height%3A%201.70%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.markdown.prose%20table%20%7B%20font-size%3A%201.02rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20label%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20button%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20input%2C%0A%20%20%20%20%20%20.marimo-cell-output%20select%20%7B%20font-size%3A%201rem%20!important%3B%20%7D%0A%20%20%20%20%3C%2Fstyle%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Module%2008%20%C2%B7%20Impedance%20spectroscopy%3A%20from%20a%20sine%20wave%20to%20a%20transport%20model%0A%0A%20%20%20%20**What%20can%20respond%20at%20a%20chosen%20frequency%3F**%0A%0A%20%20%20%20Electrochemical%20impedance%20spectroscopy%20(EIS)%20applies%20a%20small%20sinusoidal%0A%20%20%20%20voltage%20and%20measures%20the%20sinusoidal%20current.%20Fast%20processes%20can%20follow%20a%0A%20%20%20%20rapid%20oscillation%3B%20slower%20transport%20appears%20only%20as%20the%20frequency%20is%0A%20%20%20%20lowered.%20An%20impedance%20spectrum%20is%20therefore%20a%20map%20of%20**dynamics**%2C%20not%20just%0A%20%20%20%20a%20collection%20of%20arcs%20to%20label.%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20first%20learn%20the%20complex-number%20language%2C%20then%20watch%20one-dimensional%0A%20%20%20%20chemical%20diffusion%20create%20Warburg%20impedance%2C%20and%20finally%20connect%20that%0A%20%20%20%20picture%20to%20the%20two-rail%20transmission%20line%20of%20a%20mixed%20conductor.%0A%0A%0A%20%20%20%20The%20convention%20throughout%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20t%7D%2C%5Cqquad%20Z%3D%5Cfrac%7B%5Cwidehat%20V%7D%7B%5Cwidehat%20I%7D%3DZ'%2B%5Cmathrm%7Bi%7DZ''%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%20a%20capacitor%20has%20%24Z''%3C0%24.%20A%20Nyquist%20plot%20displays%20%24Z'%24%20horizontally%20and%0A%20%20%20%20**%24-Z''%24%20vertically**%2C%20putting%20passive%20capacitive%20responses%20above%20the%20axis.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np)%3A%0A%20%20%20%20def%20_positive_07(name%2C%20value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20number%20%3D%20float(value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.isfinite(number)%20or%20number%20%3C%3D%200.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22%7Bname%7D%20must%20be%20positive%20and%20finite%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20number%0A%0A%20%20%20%20def%20waveform_data_07(frequency_hz%2C%20current_lead_deg%2C%20sample_count%3D1200)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20normalized%20voltage%20and%20current%20over%20a%20fixed%20two-second%20window.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency%20%3D%20_positive_07(%22frequency_hz%22%2C%20frequency_hz)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lead_rad%20%3D%20np.deg2rad(float(current_lead_deg))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20time_s%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%202.0%2C%20int(sample_count))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phase%20%3D%202.0%20*%20np.pi%20*%20frequency%20*%20time_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20voltage%20%3D%20np.cos(phase)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20current%20%3D%20np.cos(phase%20%2B%20lead_rad)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20impedance_phase_deg%20%3D%20-float(current_lead_deg)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20time_s%2C%20voltage%2C%20current%2C%20impedance_phase_deg%0A%0A%20%20%20%20def%20rc_impedance_07(frequency_hz%2C%20series_resistance_ohm%2C%20branches)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Series%20resistance%20followed%20by%20any%20number%20of%20parallel%20R-C%20branches.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequencies%20%3D%20np.asarray(frequency_hz%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega%20%3D%202.0%20*%20np.pi%20*%20frequencies%0A%20%20%20%20%20%20%20%20impedance%20%3D%20np.full(frequencies.shape%2C%20complex(series_resistance_ohm)%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20resistance_ohm%2C%20capacitance_f%20in%20branches%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20resistance%20%3D%20_positive_07(%22resistance_ohm%22%2C%20resistance_ohm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20_positive_07(%22capacitance_f%22%2C%20capacitance_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20impedance%20%2B%3D%20resistance%20%2F%20(1.0%20%2B%201j%20*%20omega%20*%20resistance%20*%20capacitance)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20impedance%0A%0A%20%20%20%20def%20resistor_impedance_07(frequency_hz%2C%20resistance_ohm)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20frequency-independent%20impedance%20of%20an%20ideal%20resistor.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequencies%20%3D%20np.asarray(frequency_hz%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance%20%3D%20_positive_07(%22resistance_ohm%22%2C%20resistance_ohm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.full(frequencies.shape%2C%20complex(resistance)%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%0A%20%20%20%20def%20capacitor_impedance_07(frequency_hz%2C%20capacitance_f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%201%2F(i%20omega%20C)%20for%20the%20exp(i%20omega%20t)%20convention.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequencies%20%3D%20np.asarray(frequency_hz%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(frequencies%20%3C%3D%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22frequency_hz%20must%20be%20positive%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20_positive_07(%22capacitance_f%22%2C%20capacitance_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20%2F%20(1j%20*%202.0%20*%20np.pi%20*%20frequencies%20*%20capacitance)%0A%0A%20%20%20%20def%20series_rc_impedance_07(frequency_hz%2C%20resistance_ohm%2C%20capacitance_f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20impedance%20of%20an%20ideal%20resistor%20and%20capacitor%20in%20series.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20resistor_impedance_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20frequency_hz%2C%20resistance_ohm%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2B%20capacitor_impedance_07(frequency_hz%2C%20capacitance_f)%0A%0A%20%20%20%20def%20parallel_rc_impedance_07(frequency_hz%2C%20resistance_ohm%2C%20capacitance_f)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20impedance%20of%20an%20ideal%20resistor%20and%20capacitor%20in%20parallel.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequencies%20%3D%20np.asarray(frequency_hz%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance%20%3D%20_positive_07(%22resistance_ohm%22%2C%20resistance_ohm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20_positive_07(%22capacitance_f%22%2C%20capacitance_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20resistance%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2B%201j%20*%202.0%20*%20np.pi%20*%20frequencies%20*%20resistance%20*%20capacitance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20set_equal_nyquist_limits(axis%2C%20real_values%2C%20minus_imaginary_values%2C%20margin%3D0.08)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Set%20equal%20numerical%20spans%20with%20data%20margins%20on%20every%20Nyquist%20axis.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20real%20%3D%20np.asarray(real_values%2C%20dtype%3Dfloat).ravel()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minus_imaginary%20%3D%20np.asarray(minus_imaginary_values%2C%20dtype%3Dfloat).ravel()%0A%20%20%20%20%20%20%20%20finite%20%3D%20np.isfinite(real)%20%26%20np.isfinite(minus_imaginary)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20np.any(finite)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22Nyquist%20data%20must%20contain%20at%20least%20one%20finite%20point%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20real%20%3D%20real%5Bfinite%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20minus_imaginary%20%3D%20minus_imaginary%5Bfinite%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20x_min%2C%20x_max%20%3D%20float(real.min())%2C%20float(real.max())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_min%2C%20y_max%20%3D%20float(minus_imaginary.min())%2C%20float(minus_imaginary.max())%0A%20%20%20%20%20%20%20%20absolute_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.max(np.abs(real)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.max(np.abs(minus_imaginary)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20raw_span%20%3D%20max(x_max%20-%20x_min%2C%20y_max%20-%20y_min)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20data_span%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(0.25%20*%20absolute_scale%2C%201.0e-6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20raw_span%20%3C%3D%201.0e-9%20*%20absolute_scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%20raw_span%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20full_span%20%3D%20(1.0%20%2B%202.0%20*%20float(margin))%20*%20data_span%0A%20%20%20%20%20%20%20%20near_zero_real%20%3D%20abs(x_min)%20%3C%3D%20max(0.02%20*%20data_span%2C%201.0e-10%20*%20absolute_scale)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20near_zero_real%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_lower%20%3D%20min(x_min%20-%20margin%20*%20data_span%2C%20-0.04%20*%20data_span)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_limits%20%3D%20(x_lower%2C%20x_lower%20%2B%20full_span)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_center%20%3D%200.5%20*%20(x_min%20%2B%20x_max)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20x_limits%20%3D%20(x_center%20-%200.5%20*%20full_span%2C%20x_center%20%2B%200.5%20*%20full_span)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_center%20%3D%200.5%20*%20(y_min%20%2B%20y_max)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20y_limits%20%3D%20(y_center%20-%200.5%20*%20full_span%2C%20y_center%20%2B%200.5%20*%20full_span)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_xlim(*x_limits)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_ylim(*y_limits)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20x_limits%2C%20y_limits%0A%0A%20%20%20%20def%20format_nyquist_axis_07(axis)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Apply%20labels-independent%20Nyquist%20geometry%20and%20grid%20styling.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.set_aspect(%22equal%22%2C%20adjustable%3D%22box%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.ticklabel_format(axis%3D%22both%22%2C%20style%3D%22plain%22%2C%20useOffset%3DFalse)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20axis.grid(True%2C%20alpha%3D0.24)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20axis%0A%0A%20%20%20%20def%20_stable_tanh_positive_real_07(value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Evaluate%20tanh%20without%20overflow%20when%20the%20real%20part%20is%20large%20and%20positive.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(value%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flat_values%20%3D%20values.reshape(-1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flat_result%20%3D%20np.empty(flat_values.shape%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20large%20%3D%20flat_values.real%20%3E%2020.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flat_result%5B~large%5D%20%3D%20np.tanh(flat_values%5B~large%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20decay%20%3D%20np.exp(-2.0%20*%20flat_values%5Blarge%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20flat_result%5Blarge%5D%20%3D%20(1.0%20-%20decay)%20%2F%20(1.0%20%2B%20decay)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20flat_result.reshape(values.shape)%0A%0A%0A%20%20%20%20def%20warburg_impedance_07(reduced_omega%2C%20boundary)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Dimensionless%20semi-infinite%20or%20finite-length%20Warburg%20impedance.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_tilde%20%3D%20np.asarray(reduced_omega%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20np.any(omega_tilde%20%3C%3D%200.0)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(%22reduced_omega%20must%20be%20positive%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_value%20%3D%20np.sqrt(1j%20*%20omega_tilde)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tanh_q%20%3D%20_stable_tanh_positive_real_07(q_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22semi-infinite%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20%2F%20q_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22open%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20tanh_q%20%2F%20q_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22blocked%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%201.0%20%2F%20(q_value%20*%20tanh_q)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22unknown%20Warburg%20boundary%3A%20%7Bboundary%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20def%20warburg_profile_07(reduced_omega%2C%20position%2C%20boundary)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Concentration%20phasor%20normalized%20to%20unit%20amplitude%20at%20x%20%3D%200.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_tilde%20%3D%20_positive_07(%22reduced_omega%22%2C%20reduced_omega)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(position%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20q_value%20%3D%20np.sqrt(1j%20*%20omega_tilde)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22open%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20q_value.real%20%3E%2020.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(-q_value%20*%20xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20-%20np.exp(-2.0%20*%20q_value%20*%20(1.0%20-%20xi)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(1.0%20-%20np.exp(-2.0%20*%20q_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.sinh(q_value%20*%20(1.0%20-%20xi))%20%2F%20np.sinh(q_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22blocked%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20q_value.real%20%3E%2020.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.exp(-q_value%20*%20xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(1.0%20%2B%20np.exp(-2.0%20*%20q_value%20*%20(1.0%20-%20xi)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(1.0%20%2B%20np.exp(-2.0%20*%20q_value))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.cosh(q_value%20*%20(1.0%20-%20xi))%20%2F%20np.cosh(q_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20boundary%20%3D%3D%20%22semi-infinite%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.exp(-q_value%20*%20xi)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22unknown%20Warburg%20boundary%3A%20%7Bboundary%7D%22)%0A%0A%20%20%20%20def%20warburg_scales_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_cm2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20area_cm2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20the%20diffusion%20frequency%20and%20dilute%20finite-length%20resistance.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%20%3D%20_positive_07(%22length_um%22%2C%20length_um)%20*%201.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity_m2_per_s%20%3D%20_positive_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_cm2_per_s%22%2C%20diffusivity_cm2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20*%201.0e-4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20%3D%20_positive_07(%22concentration_mol_per_m3%22%2C%20concentration_mol_per_m3)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20area_m2%20%3D%20_positive_07(%22area_cm2%22%2C%20area_cm2)%20*%201.0e-4%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature%20%3D%20_positive_07(%22temperature_k%22%2C%20temperature_k)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrons%20%3D%20_positive_07(%22charge_number%22%2C%20charge_number)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gas_constant%20%3D%208.314462618%0A%20%20%20%20%20%20%20%20faraday%20%3D%2096485.33212%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_diffusion_s%20%3D%20length_m**2%20%2F%20diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency_diffusion_hz%20%3D%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20tau_diffusion_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20thermodynamic_slope_v_m3_per_mol%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gas_constant%20*%20temperature%20%2F%20(electrons%20*%20faraday%20*%20concentration)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_general_ohm%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20abs(thermodynamic_slope_v_m3_per_mol)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(electrons%20*%20faraday%20*%20area_m2%20*%20diffusivity_m2_per_s)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistance_diffusion_ohm%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gas_constant%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20temperature%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20length_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20electrons**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20faraday**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20concentration%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20area_m2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20diffusivity_m2_per_s%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22length_m%22%3A%20length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22diffusivity_m2_per_s%22%3A%20diffusivity_m2_per_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tau_diffusion_s%22%3A%20tau_diffusion_s%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22frequency_diffusion_hz%22%3A%20frequency_diffusion_hz%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22thermodynamic_slope_v_m3_per_mol%22%3A%20thermodynamic_slope_v_m3_per_mol%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22resistance_general_ohm%22%3A%20resistance_general_ohm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22resistance_diffusion_ohm%22%3A%20resistance_diffusion_ohm%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20_tlm_dynamic_factors_07(reduced_omega)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Stable%20endpoint%20factors%20for%20the%20continuous%20dual-rail%20TLM.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_value%20%3D%20np.sqrt(1j%20*%20float(reduced_omega))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20abs(k_value)%20%3C%201.0e-1%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20k_squared%20%3D%20k_value**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean_factor%20%3D%20k_squared%20%2F%202.0%20-%20k_squared**2%20%2F%2024.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20difference_factor%20%3D%201.0%20%2B%20k_squared%20%2F%2012.0%20-%20k_squared**2%20%2F%20720.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tanh_half%20%3D%20_stable_tanh_positive_real_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bk_value%20%2F%202.0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean_factor%20%3D%20k_value%20*%20tanh_half%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20difference_factor%20%3D%20(k_value%20%2F%202.0)%20%2F%20tanh_half%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20k_value%2C%20mean_factor%2C%20difference_factor%0A%0A%20%20%20%20def%20tlm_parameters_07(parallel_resistance_ohm%2C%20chemical_capacitance_f%2C%20conductivity_ratio)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Map%20classroom%20controls%20to%20the%20two%20rail%20resistances%20and%20chemical%20time.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_parallel%20%3D%20_positive_07(%22parallel_resistance_ohm%22%2C%20parallel_resistance_ohm)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%20%3D%20_positive_07(%22chemical_capacitance_f%22%2C%20chemical_capacitance_f)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ratio%20%3D%20_positive_07(%22conductivity_ratio%22%2C%20conductivity_ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_e%20%3D%20ratio%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20t_i%20%3D%201.0%20%2F%20(1.0%20%2B%20ratio)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_e%20%3D%20r_parallel%20%2F%20t_e%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_i%20%3D%20r_parallel%20%2F%20t_i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tau_chemical%20%3D%20(r_e%20%2B%20r_i)%20*%20capacitance%0A%20%20%20%20%20%20%20%20frequency_chemical%20%3D%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20tau_chemical)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22R_parallel_ohm%22%3A%20r_parallel%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22C_chemical_f%22%3A%20capacitance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sigma_e_over_sigma_i%22%3A%20ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22t_e%22%3A%20t_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22t_i%22%3A%20t_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22R_e_ohm%22%3A%20r_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22R_i_ohm%22%3A%20r_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22R_sum_ohm%22%3A%20r_e%20%2B%20r_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22tau_chemical_s%22%3A%20tau_chemical%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22frequency_chemical_hz%22%3A%20frequency_chemical%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20tlm_distributed_parameters_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parallel_resistance_ohm_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_capacitance_f_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_um%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Convert%20the%20distributed%20teaching%20controls%20to%20whole-sample%20values.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_m%20%3D%20_positive_07(%22length_um%22%2C%20length_um)%20*%201.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_parallel%20%3D%20_positive_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22parallel_resistance_ohm_per_m%22%2C%20parallel_resistance_ohm_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20c_chemical%20%3D%20_positive_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22chemical_capacitance_f_per_m%22%2C%20chemical_capacitance_f_per_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters%20%3D%20tlm_parameters_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r_parallel%20*%20length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20c_chemical%20*%20length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20conductivity_ratio%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_e_per_m%20%3D%20parameters%5B%22R_e_ohm%22%5D%20%2F%20length_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_i_per_m%20%3D%20parameters%5B%22R_i_ohm%22%5D%20%2F%20length_m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusivity%20%3D%201.0%20%2F%20((r_e_per_m%20%2B%20r_i_per_m)%20*%20c_chemical)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parameters.update(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22length_m%22%3A%20length_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22r_parallel_ohm_per_m%22%3A%20r_parallel%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22c_chemical_f_per_m%22%3A%20c_chemical%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22r_e_ohm_per_m%22%3A%20r_e_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22r_i_ohm_per_m%22%3A%20r_i_per_m%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22D_chemical_m2_per_s%22%3A%20diffusivity%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20parameters%0A%0A%20%20%20%20def%20_tlm_endpoint_maps_07(reduced_omega%2C%20parameters)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Map%20modal%20coefficients%20%5BU%2C%20Q%2C%20m%2C%20delta%5D%20to%20both%20endpoint%20states.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_%2C%20factor_d%2C%20factor_h%20%3D%20_tlm_dynamic_factors_07(reduced_omega)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_e%20%3D%20parameters%5B%22R_e_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_i%20%3D%20parameters%5B%22R_i_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_sum%20%3D%20parameters%5B%22R_sum_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_parallel%20%3D%20parameters%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_e%20%3D%20r_e%20%2F%20r_sum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_i%20%3D%20r_i%20%2F%20r_sum%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20left%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.0%2C%200.0%2C%20alpha_e%2C%200.5%20*%20alpha_e%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.0%2C%200.0%2C%20-alpha_i%2C%20-0.5%20*%20alpha_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%20alpha_i%20%2F%20r_parallel%2C%20factor_d%20%2F%20r_sum%2C%20factor_h%20%2F%20r_sum%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%20alpha_e%20%2F%20r_parallel%2C%20-factor_d%20%2F%20r_sum%2C%20-factor_h%20%2F%20r_sum%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dtype%3Dcomplex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20right%20%3D%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.0%2C%20-1.0%2C%20alpha_e%2C%20-0.5%20*%20alpha_e%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B1.0%2C%20-1.0%2C%20-alpha_i%2C%200.5%20*%20alpha_i%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%20alpha_i%20%2F%20r_parallel%2C%20-factor_d%20%2F%20r_sum%2C%20factor_h%20%2F%20r_sum%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.0%2C%20alpha_e%20%2F%20r_parallel%2C%20factor_d%20%2F%20r_sum%2C%20-factor_h%20%2F%20r_sum%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20dtype%3Dcomplex%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20left%2C%20right%0A%0A%20%20%20%20def%20tlm_solution_07(reduced_omega%2C%20parameters%2C%20contact_case)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Solve%20one%20continuous%20TLM%20frequency%20for%20selected%20ideal%20contacts.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_tilde%20%3D%20_positive_07(%22reduced_omega%22%2C%20reduced_omega)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20left%2C%20right%20%3D%20_tlm_endpoint_maps_07(omega_tilde%2C%20parameters)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20contact_case%20%3D%3D%20%22electron%20contacts%2C%20ions%20blocked%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_matrix%20%3D%20np.vstack((left%5B0%5D%2C%20left%5B3%5D%2C%20right%5B0%5D%2C%20right%5B3%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20contact_case%20%3D%3D%20%22cross-selective%20contacts%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_matrix%20%3D%20np.vstack((left%5B0%5D%2C%20left%5B3%5D%2C%20right%5B2%5D%2C%20right%5B1%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20contact_case%20%3D%3D%20%22both%20carriers%20reversible%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20boundary_matrix%20%3D%20np.vstack((left%5B0%5D%2C%20left%5B1%5D%2C%20right%5B0%5D%2C%20right%5B1%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20raise%20ValueError(f%22unknown%20TLM%20contact%20case%3A%20%7Bcontact_case%7D%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20contact_case%20%3D%3D%20%22both%20carriers%20reversible%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%201.0%2C%200.0%2C%200.0%5D%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20target%20%3D%20np.array(%5B1.0%2C%200.0%2C%200.0%2C%200.0%5D%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row_norms%20%3D%20np.linalg.norm(boundary_matrix%2C%20axis%3D1)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row_scaled_matrix%20%3D%20boundary_matrix%20%2F%20row_norms%5B%3A%2C%20np.newaxis%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20row_scaled_target%20%3D%20target%20%2F%20row_norms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20column_norms%20%3D%20np.linalg.norm(row_scaled_matrix%2C%20axis%3D0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20balanced_matrix%20%3D%20row_scaled_matrix%20%2F%20column_norms%5Bnp.newaxis%2C%20%3A%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20balanced_coefficients%20%3D%20np.linalg.solve(balanced_matrix%2C%20row_scaled_target)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20coefficients%20%3D%20balanced_coefficients%20%2F%20column_norms%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_current%20%3D%20coefficients%5B1%5D%20%2F%20parameters%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20impedance%20%3D%201.0%20%2F%20total_current%0A%20%20%20%20%20%20%20%20balanced_residual%20%3D%20balanced_matrix%20%40%20balanced_coefficients%20-%20row_scaled_target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20residual_scale%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.linalg.norm(balanced_matrix%2C%20ord%3Dnp.inf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.linalg.norm(balanced_coefficients%2C%20ord%3Dnp.inf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20np.linalg.norm(row_scaled_target%2C%20ord%3Dnp.inf)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20residual%20%3D%20np.linalg.norm(balanced_residual%2C%20ord%3Dnp.inf)%20%2F%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20residual_scale%2C%20np.finfo(float).tiny%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22coefficients%22%3A%20coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22impedance_ohm%22%3A%20impedance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22boundary_residual%22%3A%20residual%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22left_state%22%3A%20left%20%40%20coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22right_state%22%3A%20right%20%40%20coefficients%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20def%20tlm_spectrum_07(reduced_omega%2C%20parameters%2C%20contact_case)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20omega_array%20%3D%20np.asarray(reduced_omega%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20np.array(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_solution_07(value%2C%20parameters%2C%20contact_case)%5B%22impedance_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20for%20value%20in%20omega_array%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20def%20_sinhc_complex_07(value)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20values%20%3D%20np.asarray(value%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%20%3D%20np.empty(values.shape%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20small%20%3D%20np.abs(values)%20%3C%201.0e-6%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5Bsmall%5D%20%3D%201.0%20%2B%20values%5Bsmall%5D%20**%202%20%2F%206.0%20%2B%20values%5Bsmall%5D%20**%204%20%2F%20120.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20result%5B~small%5D%20%3D%20np.sinh(values%5B~small%5D)%20%2F%20values%5B~small%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20result%0A%0A%20%20%20%20def%20tlm_profile_07(position%2C%20reduced_omega%2C%20parameters%2C%20contact_case)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Return%20continuous%20voltage-equivalent%20potentials%20and%20rail%20currents.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xi%20%3D%20np.asarray(position%2C%20dtype%3Dfloat)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20solution%20%3D%20tlm_solution_07(reduced_omega%2C%20parameters%2C%20contact_case)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u_value%2C%20q_value%2C%20mean_value%2C%20difference_value%20%3D%20solution%5B%22coefficients%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20k_value%2C%20_%2C%20_%20%3D%20_tlm_dynamic_factors_07(reduced_omega)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zeta%20%3D%20xi%20-%200.5%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_e%20%3D%20parameters%5B%22R_e_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_i%20%3D%20parameters%5B%22R_i_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_sum%20%3D%20parameters%5B%22R_sum_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r_parallel%20%3D%20parameters%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_e%20%3D%20r_e%20%2F%20r_sum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha_i%20%3D%20r_i%20%2F%20r_sum%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20common_voltage%20%3D%20u_value%20-%20xi%20*%20q_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20k_value.real%20%3E%2020.0%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_right%20%3D%20np.exp(k_value%20*%20(zeta%20-%200.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_left%20%3D%20np.exp(-k_value%20*%20(zeta%20%2B%200.5))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_across%20%3D%20np.exp(-k_value)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cosh_over_cosh%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_right%20%2B%20exp_from_left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(1.0%20%2B%20exp_across)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sinh_over_cosh%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_right%20-%20exp_from_left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(1.0%20%2B%20exp_across)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20sinh_over_two_sinh%20%3D%200.5%20*%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_right%20-%20exp_from_left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(1.0%20-%20exp_across)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cosh_over_sinh%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20exp_from_right%20%2B%20exp_from_left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20(1.0%20-%20exp_across)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_voltage%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean_value%20*%20cosh_over_cosh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20difference_value%20*%20sinh_over_two_sinh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20weighted_current%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-mean_value%20*%20k_value%20*%20sinh_over_cosh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20difference_value%20*%20(k_value%20%2F%202.0)%20*%20cosh_over_sinh%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20r_sum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20chemical_voltage%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mean_value%20*%20np.cosh(k_value%20*%20zeta)%20%2F%20np.cosh(k_value%20%2F%202.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20difference_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20zeta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20_sinhc_complex_07(k_value%20*%20zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20_sinhc_complex_07(np.array(%5Bk_value%20%2F%202.0%5D))%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20weighted_current%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-mean_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20k_value**2%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20zeta%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20_sinhc_complex_07(k_value%20*%20zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20np.cosh(k_value%20%2F%202.0)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20difference_value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20np.cosh(k_value%20*%20zeta)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20_sinhc_complex_07(np.array(%5Bk_value%20%2F%202.0%5D))%5B0%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%2F%20r_sum%0A%20%20%20%20%20%20%20%20total_current%20%3D%20np.full(xi.shape%2C%20q_value%20%2F%20r_parallel%2C%20dtype%3Dcomplex)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u_e%20%3D%20common_voltage%20%2B%20alpha_e%20*%20chemical_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20u_i%20%3D%20common_voltage%20-%20alpha_i%20*%20chemical_voltage%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i_e%20%3D%20alpha_i%20*%20total_current%20%2B%20weighted_current%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i_i%20%3D%20alpha_e%20*%20total_current%20-%20weighted_current%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22position%22%3A%20xi%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22u_e%22%3A%20u_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22u_i%22%3A%20u_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22u_chemical%22%3A%20chemical_voltage%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20Positive%20susceptibility%3A%20delta%20c%20has%20the%20sign%20of%20delta%20mu%20%3D%20-F(u_e-u_i).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22normalized_composition%22%3A%20-chemical_voltage%20%2F%20max(float(np.max(np.abs(chemical_voltage)))%2C%201.0e-30)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I_e%22%3A%20i_e%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I_i%22%3A%20i_i%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22I_total%22%3A%20total_current%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22solution%22%3A%20solution%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%0A%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parallel_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20series_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_distributed_parameters_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_parameters_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_profile_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_solution_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_spectrum_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_profile_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_scales_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20waveform_data_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Reading%20in%20two%20sessions.**%20First%20follow%20a%20sinusoid%20into%20an%20RC%20arc%20and%20a%20diffusion%20impedance%20(Sections%0A%20%20%20%201%E2%80%932%2C%20matching%20the%20EIS%20and%20Warburg%20lectures).%20Pause%20after%20comparing%20the%20two%0A%20%20%20%20finite%20diffusion%20boundaries.%20Section%203%20is%20a%20second%20session%3A%20the%20TLM%20tutorial%0A%20%20%20%20connects%20ionic%20and%20electronic%20pathways%20through%20chemical%20storage.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%201.%20A%20sinusoid%20becomes%20one%20complex%20number%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20linear%20small-signal%20limit%2C%20a%20sinusoidal%20input%20produces%20a%20sinusoidal%0A%20%20%20%20response%20at%20the%20same%20frequency%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5CDelta%20V(t)%3D%5CRe%5C!%5Cleft%5B%5Cwidehat%20V%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20t%7D%5Cright%5D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5CDelta%20I(t)%3D%5CRe%5C!%5Cleft%5B%5Cwidehat%20I%20e%5E%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20t%7D%5Cright%5D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20complex%20ratio%20%24Z%3D%5Cwidehat%20V%2F%5Cwidehat%20I%24%20stores%20two%20measurements%20at%20once%3A%0A%20%20%20%20its%20magnitude%20is%20the%20voltage%2Fcurrent%20amplitude%20ratio%20and%20its%20phase%20is%20the%0A%20%20%20%20voltage%20phase%20minus%20the%20current%20phase.%20The%20perturbation%20must%20be%20small%20enough%0A%20%20%20%20that%20the%20material%20is%20approximately%20linear%20around%20its%20operating%20point.%0A%0A%20%20%20%20**Prediction%20for%20Figure%201.**%20Raising%20%24f%24%20shortens%20the%20period%20in%20seconds%2C%0A%20%20%20%20but%20it%20does%20not%20change%20the%20phase%20angle%20between%20the%20two%20phasors.%20Which%20part%0A%20%20%20%20of%20the%20figure%20should%20therefore%20move%20when%20you%20change%20frequency%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20waveform_frequency_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-0.3%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.0%2C%20label%3D%22Wave-frequency%20exponent%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20waveform_lead_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D90%2C%20step%3D5%2C%20value%3D45%2C%20label%3D%22Current%20lead%20(degrees)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.hstack(%5Bwaveform_frequency_07%2C%20waveform_lead_07%5D%2C%20justify%3D%22start%22%2C%20gap%3D2.0%2C%20wrap%3DTrue)%0A%20%20%20%20return%20waveform_frequency_07%2C%20waveform_lead_07%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(waveform_data_07%2C%20waveform_frequency_07%2C%20waveform_lead_07)%3A%0A%20%20%20%20waveform_result_07%20%3D%20waveform_data_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%20**%20waveform_frequency_07.value%2C%20waveform_lead_07.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(waveform_result_07%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20waveform_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20waveform_result_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_time_s%2C%20_voltage%2C%20_current%2C%20_z_phase%20%3D%20waveform_result_07%0A%20%20%20%20_frequency_hz%20%3D%2010.0%20**%20waveform_frequency_07.value%0A%20%20%20%20_period_s%20%3D%201.0%20%2F%20_frequency_hz%0A%20%20%20%20_figure%2C%20(_axis_wave%2C%20_axis_phasor)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.5%2C%204.4)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_wave.plot(_time_s%2C%20_voltage%2C%20lw%3D1.9%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20label%3Dr%22%24%5CDelta%20V%2FV_a%24%22)%0A%20%20%20%20_axis_wave.plot(_time_s%2C%20_current%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20label%3Dr%22%24%5CDelta%20I%2FI_a%24%22)%0A%20%20%20%20_axis_wave.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D0.9)%0A%20%20%20%20_axis_wave.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Time%2C%20%24t%24%20(s)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(0.0%2C%202.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Normalized%20signal%20(dimensionless)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Drf%22%24f%3D%7B_frequency_hz%3A.3g%7D%24%20Hz%2C%20period%20%24%3D%7B_period_s%3A.3g%7D%24%20s%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_wave.ticklabel_format(axis%3D%22x%22%2C%20style%3D%22sci%22%2C%20scilimits%3D(-2%2C%203))%0A%20%20%20%20_axis_wave.grid(True)%0A%20%20%20%20_axis_wave.legend(loc%3D%22upper%20center%22%2C%20bbox_to_anchor%3D(0.5%2C%20-0.25)%2C%20ncol%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_lead_rad%20%3D%20np.deg2rad(-_z_phase)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.arrow(0.0%2C%200.0%2C%201.0%2C%200.0%2C%20width%3D0.012%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20length_includes_head%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.arrow(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.78%20*%20np.cos(_lead_rad)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.78%20*%20np.sin(_lead_rad)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20width%3D0.012%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20length_includes_head%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.text(1.03%2C%200.0%2C%20r%22%24%5Cwidehat%20V%24%22%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20va%3D%22center%22)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.82%20*%20np.cos(_lead_rad)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.82%20*%20np.sin(_lead_rad)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5Cwidehat%20I%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22bottom%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.03%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.04%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24%5Carg%20Z%3D%7B_z_phase%3A.0f%7D%5E%5Ccirc%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_axis_phasor.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23526173%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.set(xlim%3D(-0.15%2C%201.25)%2C%20ylim%3D(-0.15%2C%201.05)%2C%20aspect%3D%22equal%22%2C%20title%3D%22Phasors%20rotate%20together%22)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.set_xlabel(%22Real%20component%22)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.set_ylabel(%22Imaginary%20component%22)%0A%20%20%20%20_axis_phasor.grid(True)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_08(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22The%20two-second%20window%20stays%20fixed%2C%20so%20higher%20frequency%20gives%20more%20visible%20cycles.%20Both%20waveforms%20are%20divided%20by%20their%20own%20amplitudes.%20At%20zero%20lead%20they%20coincide%3B%20the%20dashed%20current%20line%20distinguishes%20them.%20Frequency%20leaves%20the%20selected%20phase%20offset%20unchanged.%20The%20phasor%20lengths%20use%20independent%20display%20scales%3A%20read%20their%20angle%20here%2C%20not%20their%20length%20ratio.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20capacitor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20resistor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_frequency_hz%20%3D%20np.logspace(-1.0%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20resistor%20%3D%20resistor_impedance_07(_frequency_hz%2C%20500.0)%0A%20%20%20%20capacitor%20%3D%20capacitor_impedance_07(_frequency_hz%2C%2010.0e-6)%0A%20%20%20%20figure%2C%20(resistor_axis%2C%20capacitor_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.4%2C%205.0)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20resistor_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistor.real%5B%3A1%5D%2C%20-resistor.imag%5B%3A1%5D%2C%20s%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20resistor_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22%24Z'%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%20ylabel%3Dr%22%24-Z''%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Ideal%20resistor%3A%20one%20point%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistor_axis%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B0.0%2C%20resistor.real%5B0%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.zeros(2)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(resistor_axis)%0A%0A%20%20%20%20capacitor_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitor.real%20%2F%201000.0%2C%20-capacitor.imag%20%2F%201000.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D2.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20capacitor_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22%24Z'%24%20(k%24%5COmega%24)%22%2C%20ylabel%3Dr%22%24-Z''%24%20(k%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Ideal%20capacitor%3A%20vertical%20line%20at%20%24Z'%3D0%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(capacitor_axis%2C%20capacitor.real%20%2F%201000.0%2C%20-capacitor.imag%20%2F%201000.0)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(capacitor_axis)%0A%20%20%20%20plt.close(figure)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%23%20Start%20with%20the%20two%20ideal%20elements%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20resistor%20has%20no%20phase%20lag%2C%20so%20all%20frequencies%20collapse%20to%20one%20real-axis%0A%20%20%20%20%20%20%20%20point.%20A%20capacitor%20has%20zero%20real%20impedance%20and%20a%20frequency-dependent%0A%20%20%20%20%20%20%20%20negative%20imaginary%20part%2C%20so%20it%20traces%20a%20vertical%20Nyquist%20line.%20Moving%0A%20%20%20%20%20%20%20%20to%20lower%20frequency%20increases%20the%20magnitude%20of%20the%20capacitor%20impedance.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20capacitor%20panel%20uses%20k%CE%A9%20(1%20k%CE%A9%20%3D%201000%20%CE%A9).%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_08(figure)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20same%20resistor%20and%20capacitor%20can%20make%20two%20different%20Nyquist%20shapes%0A%0A%20%20%20%20%7C%20connection%20%7C%20impedance%20%7C%20Nyquist%20signature%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%3A%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20resistor%20%7C%20%24Z_R%3DR%24%20%7C%20point%20on%20the%20real%20axis%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20capacitor%20%7C%20%24Z_C%3D1%2F(%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20C)%24%20%7C%20vertical%20capacitive%20line%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20series%20RC%20%7C%20%24Z%3DR%2B1%2F(%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20C)%24%20%7C%20vertical%20line%20at%20%24Z'%3DR%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20parallel%20%24R%5Cparallel%20C%24%20%7C%20%24Z%3DR%2F(1%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20RC)%24%20%7C%20semicircle%20%7C%0A%0A%20%20%20%20In%20series%2C%20the%20same%20current%20passes%20through%20both%20elements%20and%20the%20capacitor%0A%20%20%20%20adds%20a%20vertical%20contribution%20to%20the%20fixed%20real%20resistance.%20In%20parallel%2C%0A%20%20%20%20the%20current%20can%20divide%20between%20the%20two%20paths%20and%20the%20spectrum%20bends%20into%20a%0A%20%20%20%20semicircle.%20In%20both%20cases%2C%20%24%5Ctau%3DRC%24%20and%20%24%5Comega%5Ctau%3D1%24%20marks%20the%20crossover.%0A%0A%20%20%20%20**Predict%20for%20Figure%202.**%20Which%20connection%20should%20retain%20the%20real%20part%0A%20%20%20%20%24Z'%3DR%24%20at%20every%20frequency%2C%20and%20which%20should%20approach%20%24R%24%20only%20at%20low%0A%20%20%20%20frequency%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20parallel_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20series_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_frequency_hz%20%3D%20np.logspace(-1.0%2C%205.0%2C%20600)%0A%20%20%20%20resistance_ohm%20%3D%20500.0%0A%20%20%20%20capacitance_f%20%3D%2010.0e-6%0A%20%20%20%20tau_s%20%3D%20resistance_ohm%20*%20capacitance_f%0A%20%20%20%20z_parallel%20%3D%20parallel_rc_impedance_07(_frequency_hz%2C%20resistance_ohm%2C%20capacitance_f)%0A%20%20%20%20z_series%20%3D%20series_rc_impedance_07(_frequency_hz%2C%20resistance_ohm%2C%20capacitance_f)%0A%20%20%20%20apex_frequency_hz%20%3D%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20tau_s)%0A%20%20%20%20apex_index%20%3D%20int(np.argmin(np.abs(np.log(_frequency_hz%20%2F%20apex_frequency_hz))))%0A%0A%20%20%20%20parallel_figure%2C%20parallel_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(8.2%2C%205.4)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20parallel_axis.plot(z_parallel.real%2C%20-z_parallel.imag%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D2.0)%0A%20%20%20%20parallel_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_parallel.real%5Bapex_index%5D%2C%20-z_parallel.imag%5Bapex_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D90%2C%20color%3D%22%23C49345%22%2C%20edgecolor%3D%22white%22%2C%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Comega%20RC%3D1%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20parallel_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Real%20impedance%2C%20%24Z'%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Negative%20imaginary%20impedance%2C%20%24-Z''%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22A%20parallel%20%24R%5Cparallel%20C%24%20branch%20gives%20a%20semicircle%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(parallel_axis%2C%20z_parallel.real%2C%20-z_parallel.imag)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(parallel_axis)%0A%20%20%20%20parallel_axis.legend(loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20plt.close(parallel_figure)%0A%0A%20%20%20%20series_visible%20%3D%20-z_series.imag%20%3C%3D%20np.percentile(-z_series.imag%2C%2075.0)%0A%20%20%20%20series_figure%2C%20series_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%205.0)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20series_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20z_series.real%5Bseries_visible%5D%2C%20-z_series.imag%5Bseries_visible%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20series_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22%24Z'%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%20ylabel%3Dr%22%24-Z''%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Series%20RC%20keeps%20%24Z'%3DR%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20series_axis%2C%20z_series.real%5Bseries_visible%5D%2C%20-z_series.imag%5Bseries_visible%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(series_axis)%0A%20%20%20%20plt.close(series_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20parallel_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20In%20parallel%2C%20current%20divides%20between%20the%20resistive%20and%20capacitive%20paths.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20arc%20top%20occurs%20at%20%24%5Comega%20RC%3D1%24%2C%20where%20the%20real%20and%20capacitive%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responses%20are%20equally%20important.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Explore%20further%20%E2%80%94%20the%20same%20resistor%20and%20capacitor%20in%20series%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20series_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22In%20series%2C%20the%20capacitor%20adds%20a%20vertical%20contribution%20while%20%24Z'%3DR%24%20remains%20fixed.%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_section_heading%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20When%20two%20parallel-RC%20relaxations%20overlap%0A%0A%20%20%20%20One%20ideal%20%24R%5Cparallel%20C%24%20branch%20gives%20one%20relaxation%20time.%20Add%20a%20second%0A%20%20%20%20branch%20in%20series%20and%20predict%20whether%20the%20Nyquist%20arcs%20will%20remain%20distinct%0A%20%20%20%20as%20their%20time%20constants%20move%20closer%20together.%20The%20Bode%20view%20retains%20the%0A%20%20%20%20frequency%20information%20even%20when%20the%20arcs%20overlap.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20rc_series_07%20%3D%20mo.ui.slider(start%3D0%2C%20stop%3D200%2C%20step%3D5%2C%20value%3D25%2C%20label%3Dr%22%24R_s%24%20(%24%5COmega%24)%22)%0A%20%20%20%20rc_resistance_1_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D100%2C%20stop%3D1500%2C%20step%3D50%2C%20value%3D600%2C%20label%3Dr%22%24R_1%24%20(%24%5COmega%24)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_log_tau_1_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-4.0%2C%20stop%3D1.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D-1.7%2C%20label%3D%22First%20relaxation-time%20exponent%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_show_second_07%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DTrue%2C%20label%3D%22Show%20a%20second%20relaxation%22)%0A%20%20%20%20rc_resistance_ratio_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.25%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.05%2C%20value%3D1.4%2C%20label%3Dr%22%24R_2%2FR_1%24%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_log_separation_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.1%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Relaxation-time%20separation%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_section_heading_07%20%3D%20_section_heading%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_log_separation_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_log_tau_1_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_resistance_1_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_resistance_ratio_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_section_heading_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_series_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_show_second_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20rc_log_separation_07%2C%0A%20%20%20%20rc_log_tau_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_resistance_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_resistance_ratio_07%2C%0A%20%20%20%20rc_series_07%2C%0A%20%20%20%20rc_show_second_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20rc_frequency_07%20%3D%20np.logspace(-4.5%2C%205.5%2C%20600)%0A%20%20%20%20rc_tau_1_07%20%3D%2010.0%20**%20rc_log_tau_1_07.value%0A%20%20%20%20rc_capacitance_1_07%20%3D%20rc_tau_1_07%20%2F%20rc_resistance_1_07.value%0A%20%20%20%20rc_tau_2_07%20%3D%20rc_tau_1_07%20*%2010.0%20**%20rc_log_separation_07.value%0A%20%20%20%20rc_resistance_2_07%20%3D%20rc_resistance_1_07.value%20*%20rc_resistance_ratio_07.value%0A%20%20%20%20rc_capacitance_2_07%20%3D%20rc_tau_2_07%20%2F%20rc_resistance_2_07%0A%20%20%20%20rc_branches_07%20%3D%20%5B(rc_resistance_1_07.value%2C%20rc_capacitance_1_07)%5D%0A%20%20%20%20if%20rc_show_second_07.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_branches_07.append((rc_resistance_2_07%2C%20rc_capacitance_2_07))%0A%20%20%20%20rc_spectrum_07%20%3D%20rc_impedance_07(rc_frequency_07%2C%20rc_series_07.value%2C%20rc_branches_07)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_capacitance_1_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_capacitance_2_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_spectrum_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_tau_1_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_tau_2_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20rc_capacitance_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_capacitance_2_07%2C%0A%20%20%20%20rc_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20rc_log_separation_07%2C%0A%20%20%20%20rc_log_tau_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_resistance_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_resistance_ratio_07%2C%0A%20%20%20%20rc_section_heading_07%2C%0A%20%20%20%20rc_series_07%2C%0A%20%20%20%20rc_show_second_07%2C%0A%20%20%20%20rc_spectrum_07%2C%0A%20%20%20%20rc_tau_1_07%2C%0A%20%20%20%20rc_tau_2_07%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20rc_primary_controls_07%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Brc_series_07%2C%20rc_resistance_1_07%2C%20rc_log_tau_1_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20wrap%3DTrue)%0A%20%20%20%20_second_control_items%20%3D%20%5Brc_show_second_07%5D%0A%20%20%20%20if%20rc_show_second_07.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_second_control_items.extend(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Brc_resistance_ratio_07%2C%20rc_log_separation_07%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_secondary_controls_07%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_second_control_items%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20wrap%3DTrue)%0A%20%20%20%20_figure%2C%20(_axis_nyquist%2C%20_axis_bode)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(13.2%2C%205.0)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_nyquist.plot(rc_spectrum_07.real%2C%20-rc_spectrum_07.imag%2C%20lw%3D1.9%2C%20color%3D%22%234C7C86%22)%0A%20%20%20%20_frequency_markers%20%3D%20np.array(%5B1.0%20%2F%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20rc_tau_1_07)%5D)%0A%20%20%20%20if%20rc_show_second_07.value%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_frequency_markers%20%3D%20np.append(_frequency_markers%2C%201.0%20%2F%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20rc_tau_2_07))%0A%20%20%20%20for%20_marker_number%2C%20_marker_frequency%20in%20enumerate(_frequency_markers%2C%20start%3D1)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_marker_index%20%3D%20int(np.argmin(np.abs(np.log(rc_frequency_07%20%2F%20_marker_frequency))))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis_nyquist.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rc_spectrum_07.real%5B_marker_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-rc_spectrum_07.imag%5B_marker_index%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%20if%20_marker_number%20%3D%3D%201%20else%20%22%237C6A91%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24%5Comega%5Ctau_%7B_marker_number%7D%3D1%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_nyquist.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22%24Z'%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22%24-Z''%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Nyquist%3A%20time-scale%20separation%20makes%20arcs%20visible%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(_axis_nyquist%2C%20rc_spectrum_07.real%2C%20-rc_spectrum_07.imag)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(_axis_nyquist)%0A%20%20%20%20_axis_nyquist.legend(loc%3D%22best%22)%0A%0A%20%20%20%20_axis_bode.semilogx(rc_frequency_07%2C%20np.abs(rc_spectrum_07)%2C%20lw%3D1.9%2C%20color%3D%22%234C7C86%22)%0A%20%20%20%20_axis_bode_phase%20%3D%20_axis_bode.twinx()%0A%20%20%20%20_axis_bode_phase.semilogx(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_frequency_07%2C%20np.angle(rc_spectrum_07%2C%20deg%3DTrue)%2C%20lw%3D1.7%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_bode.set(xlabel%3D%22Frequency%20(Hz)%22%2C%20ylabel%3Dr%22%24%7CZ%7C%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%20title%3D%22Bode%3A%20magnitude%20and%20phase%20retain%20frequency%22)%0A%20%20%20%20_axis_bode_phase.set_ylabel(r%22Phase%20of%20%24Z%24%20(degrees)%22%2C%20color%3D%22%23B8734A%22)%0A%20%20%20%20_axis_bode_phase.tick_params(axis%3D%22y%22%2C%20colors%3D%22%23B8734A%22)%0A%20%20%20%20_axis_bode.grid(True)%0A%20%20%20%20_capacitance_readout%20%3D%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20f%22The%20chosen%20resistance%20and%20relaxation%20time%20imply%20**C1%20%3D%20%7B1e6%20*%20rc_capacitance_1_07%3A.3g%7D%20microfarads**%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(f%22%20and%20**C2%20%3D%20%7B1e6%20*%20rc_capacitance_2_07%3A.3g%7D%20microfarads**.%22%20if%20rc_show_second_07.value%20else%20%22.%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20overlapping%20parallel-RC%20relaxations%22%3A%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_section_heading_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_primary_controls_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_secondary_controls_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_capacitance_readout%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_08(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22Each%20ideal%20%24R%5Cparallel%20C%24%20branch%20contributes%20one%20relaxation%20time%3B%20Nyquist%20shows%20shape%2C%20while%20Bode%20plots%20preserve%20the%20frequency%20location%20needed%20to%20interpret%20it.%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20interpretation%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20A%20ceramic%20interpretation%20%E2%80%94%20with%20a%20caution%0A%0A%20%20%20%20In%20a%20brick-layer%20picture%2C%20a%20high-frequency%20arc%20is%20often%0A%20%20%20%20associated%20with%20grain%20interiors%20and%20a%20lower-frequency%20arc%20with%20grain%0A%20%20%20%20boundaries.%20The%20assignment%20is%20plausible%20when%20the%20two%20regions%20have%20distinct%0A%20%20%20%20%24R%20C%24%20times%20and%20their%20fitted%20capacitances%20scale%20sensibly%20with%20geometry.%0A%20%20%20%20When%20the%20times%20overlap%2C%20the%20Nyquist%20curve%20need%20not%20reveal%20two%20complete%0A%20%20%20%20semicircles.%20Frequency%20range%2C%20capacitance%2C%20thickness%20scaling%2C%20and%20independent%0A%20%20%20%20microstructural%20knowledge%20should%20support%20the%20assignment%3B%20arc%20order%20alone%20is%0A%20%20%20%20not%20enough.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20assigning%20ceramic%20arcs%22%3A%20interpretation%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20warburg_details%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%202.%20Warburg%20impedance%3A%20diffusion%20written%20in%20the%20frequency%20domain%0A%0A%20%20%20%20Consider%20a%20neutral%20composition%20variable%20%24c%24%20in%20a%20one-dimensional%20slab%20of%0A%20%20%20%20length%20%24L%24%20and%20cross-sectional%20area%20%24S%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20c%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3DD%5E%5Cdelta%5Cfrac%7B%5Cpartial%5E2c%7D%7B%5Cpartial%20x%5E2%7D%0A%20%20%20%20%5Cquad%5CLongrightarrow%5Cquad%0A%20%20%20%20%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D%3DD%5E%5Cdelta%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D%7D%7Bdx%5E2%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24D%5E%5Cdelta%24%20is%20the%20same%20**chemical%20diffusivity**%20used%20in%20Modules%2005%20and%2006.%0A%20%20%20%20A%20harmonic%20perturbation%20introduces%20the%20propagation%20constant%0A%20%20%20%20%24q%3D%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%2FD%5E%5Cdelta%7D%24.%20A%20larger%20frequency%20therefore%20makes%0A%20%20%20%20the%20concentration%20wave%20decay%20more%20rapidly%20with%20position.%20At%20sufficiently%0A%20%20%20%20low%20frequency%20the%20wave%20reaches%20the%20far%20face%2C%20so%20its%20boundary%20condition%0A%20%20%20%20becomes%20part%20of%20the%20measured%20response.%20For%20a%20semi-infinite%20sample%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20Z_W%3D%5Cfrac%7BW%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7BW(1-%5Cmathrm%7Bi%7D)%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Comega%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20so%20%24Z'%3D-Z''%24%3A%20the%20%2445%5E%5Ccirc%24%20line%20follows%20from%20diffusion%20rather%20than%20being%0A%20%20%20%20inserted%20as%20an%20equivalent-circuit%20element.%0A%0A%20%20%20%20With%20%24%5Cwidetilde%5Comega%3D%5Comega%20L%5E2%2FD%5E%5Cdelta%24%2C%20the%20general%20resistance%20scale%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24R_D%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BzFS%20D%5E%5Cdelta%7D%5Cleft%7C%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E%7D%7B%5Cpartial%20c%7D%5Cright%7C.%24%24%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24c%24%20is%20molar%20concentration.%20In%20the%20dilute%20ideal%20limit%2C%0A%20%20%20%20%24%7C%5Cpartial%20E%2F%5Cpartial%20c%7C%3DRT%2F(zFc_0)%24%2C%20giving%0A%20%20%20%20%24R_D%3DRTL%2F(z%5E2F%5E2c_0SD%5E%5Cdelta)%24.%20The%20far-boundary%20cases%20are%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7B%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D(L)%3D0%7D_%7B%5Ctext%7Bopen%3A%20fixed%20composition%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cquad%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%20Z_%7B%5Crm%20open%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctanh%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cunderbrace%7Bd%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D%2Fdx%7C_L%3D0%7D_%7B%5Ctext%7Bblocked%20%2F%20FSW%3A%20zero%20flux%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cquad%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%20Z_%7B%5Crm%20blocked%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Ccoth%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Open%20boundary%20does%20not%20mean%20electrical%20open%20circuit.**%20It%20means%20a%0A%20%20%20%20composition%20reservoir%20is%20maintained%20at%20the%20far%20face.%20The%20blocked%20case%20is%0A%20%20%20%20also%20called%20finite-space%20Warburg%20(FSW).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%202.%20Warburg%20impedance%3A%20when%20diffusion%20cannot%20keep%20up%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Use%20the%20same%20one-dimensional%20chemical%20diffusivity%20%24D%5E%5Cdelta%24%20as%20in%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Modules%2005%20and%2006.%20A%20sinusoidal%20surface%20perturbation%20creates%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration%20wave%20inside%20the%20specimen.%20High%20frequency%20probes%20only%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20shallow%20region%3B%20lower%20frequency%20lets%20the%20wave%20travel%20farther.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20For%20a%20semi-infinite%20specimen%2C%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24Z_W%3D%5Cfrac%7BW%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7BW(1-%5Cmathrm%7Bi%7D)%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Comega%7D%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Therefore%20%24Z'%3D-Z''%24%3A%20the%20familiar%20%2445%5E%5Ccirc%24%20line%20is%20a%20consequence%20of%0A%20%20%20%20%20%20%20%20diffusion%2C%20not%20an%20assumed%20line%20drawn%20on%20the%20Nyquist%20plot.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Model%20details%20%E2%80%94%20diffusion%20equation%2C%20scales%2C%20and%20finite%20boundaries%22%3A%20warburg_details%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Finite%20length%3A%20make%20the%20far%20boundary%20visible%0A%0A%20%20%20%20**Predict%20before%20moving%20the%20controls.**%20Lowering%20%24f%24%2C%20shortening%20%24L%24%2C%20or%0A%20%20%20%20raising%20%24D%5E%5Cdelta%24%20all%20reduce%20%24f%2Ff_D%24%20and%20give%20the%20concentration%20wave%20more%0A%20%20%20%20opportunity%20to%20reach%20the%20far%20face.%20Decide%20whether%20a%20fixed-composition%0A%20%20%20%20reservoir%20or%20a%20zero-flux%20wall%20should%20then%20produce%20the%20larger%20accumulation.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20warburg_boundary_07%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Open%20far%20boundary%3A%20fixed%20composition%22%3A%20%22open%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Blocked%20far%20boundary%3A%20zero%20flux%22%3A%20%22blocked%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Open%20far%20boundary%3A%20fixed%20composition%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Far%20boundary%20condition%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_log_frequency_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-9.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-4.75%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Warburg-frequency%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_phase_07%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%220%20cycle%22%3A%200.0%2C%20%221%2F4%20cycle%22%3A%2090.0%2C%20%221%2F2%20cycle%22%3A%20180.0%2C%20%223%2F4%20cycle%22%3A%20270.0%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%220%20cycle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Snapshot%20phase%20in%20cycle%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_compare_boundaries_07%20%3D%20mo.ui.checkbox(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3DFalse%2C%20label%3D%22Compare%20both%20far%20boundaries%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_log_diffusivity_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-12.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D-5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D-8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Chemical-diffusivity%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_length_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%20stop%3D500%2C%20step%3D10%2C%20value%3D100%2C%20label%3D%22Diffusion%20length%20(micrometers)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_temperature_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D400%2C%20stop%3D1400%2C%20step%3D50%2C%20value%3D800%2C%20label%3Dr%22%24T%24%20(K)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_log_concentration_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D5.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D2.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(c_0%2F%5Cmathrm%7Bmol%5C%2Cm%5E%7B-3%7D%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_area_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0.1%2C%20stop%3D2.0%2C%20step%3D0.1%2C%20value%3D0.5%2C%20label%3Dr%22%24S%24%20(cm%24%5E2%24)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20core_controls_07%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bwarburg_boundary_07%2C%20warburg_log_frequency_07%2C%20warburg_log_diffusivity_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_controls_07%20%3D%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bwarburg_phase_07%2C%20warburg_length_07%2C%20warburg_compare_boundaries_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Bwarburg_temperature_07%2C%20warburg_log_concentration_07%2C%20warburg_area_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_controls_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20phase%2C%20thickness%2C%20and%20impedance%20scale%22%3A%20advanced_controls_07%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_area_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_boundary_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_compare_boundaries_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_length_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_log_concentration_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_log_diffusivity_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_log_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_phase_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_temperature_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20warburg_area_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_boundary_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_length_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_log_concentration_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_log_diffusivity_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_log_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_phase_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_profile_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_scales_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_temperature_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20warburg_scale_data_07%20%3D%20warburg_scales_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_length_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%20**%20warburg_log_diffusivity_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20concentration_mol_per_m3%3D10.0%20**%20warburg_log_concentration_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20area_cm2%3Dwarburg_area_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20temperature_k%3Dwarburg_temperature_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20charge_number%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_selected_frequency_hz_07%20%3D%2010.0%20**%20warburg_log_frequency_07.value%0A%20%20%20%20warburg_selected_omega_07%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_frequency_hz_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20warburg_scale_data_07%5B%22frequency_diffusion_hz%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_log_f_d%20%3D%20np.log10(warburg_scale_data_07%5B%22frequency_diffusion_hz%22%5D)%0A%20%20%20%20_log_f_min%20%3D%20min(_log_f_d%20-%204.0%2C%20warburg_log_frequency_07.value%20-%200.25)%0A%20%20%20%20_log_f_max%20%3D%20max(_log_f_d%20%2B%204.0%2C%20warburg_log_frequency_07.value%20%2B%200.25)%0A%20%20%20%20warburg_frequency_hz_07%20%3D%20np.logspace(_log_f_min%2C%20_log_f_max%2C%20600)%0A%20%20%20%20warburg_reduced_omega_07%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_frequency_hz_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20warburg_scale_data_07%5B%22frequency_diffusion_hz%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_resistance_scale%20%3D%20warburg_scale_data_07%5B%22resistance_diffusion_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20warburg_spectra_07%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_boundary%3A%20_resistance_scale%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20warburg_impedance_07(warburg_reduced_omega_07%2C%20_boundary)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_boundary%20in%20(%22open%22%2C%20%22blocked%22)%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20warburg_selected_impedance_07%20%3D%20_resistance_scale%20*%20warburg_impedance_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5Bwarburg_selected_omega_07%5D)%2C%20warburg_boundary_07.value%0A%20%20%20%20)%5B0%5D%0A%20%20%20%20warburg_position_07%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20300)%0A%20%20%20%20warburg_position_um_07%20%3D%20warburg_length_07.value%20*%20warburg_position_07%0A%20%20%20%20warburg_selected_profile_07%20%3D%20warburg_profile_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_omega_07%2C%20warburg_position_07%2C%20warburg_boundary_07.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_phase_radians_07%20%3D%20np.deg2rad(warburg_phase_07.value)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_phase_radians_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_scale_data_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_omega_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_profile_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_spectra_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A%20%20%20%20warburg_impedance_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_semi_reduced_omega%20%3D%20np.logspace(-4.0%2C%204.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20_semi_impedance%20%3D%20warburg_impedance_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_semi_reduced_omega%2C%20%22semi-infinite%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_reduced_depth%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%204.0%2C%20260)%0A%20%20%20%20_semi_profile%20%3D%20np.exp(-(1.0%20%2B%201j)%20*%20_reduced_depth)%0A%20%20%20%20_phases%20%3D%20np.array(%5B0.0%2C%200.5%2C%201.0%2C%201.5%5D)%20*%20np.pi%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axes%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%204.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_profile_axis%2C%20_nyquist_axis%20%3D%20_axes%0A%0A%20%20%20%20_profile_styles%20%3D%20(%22-%22%2C%20%22--%22%2C%20%22-.%22%2C%20%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_profile_colors%20%3D%20(%22%234C7C86%22%2C%20%22%23B8734A%22%2C%20%22%237C6A91%22%2C%20%22%235F8A6B%22)%0A%20%20%20%20for%20_phase%2C%20_style%2C%20_color%20in%20zip(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_phases%2C%20_profile_styles%2C%20_profile_colors%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_profile_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_reduced_depth%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.real(_semi_profile%20*%20np.exp(1j%20*%20_phase))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D_style%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Drf%22%24%5Comega%20t%3D%7B_phase%20%2F%20np.pi%3A.1f%7D%5Cpi%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_profile_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D0.9%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_profile_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Reduced%20depth%2C%20%24x%5Csqrt%7B%5Comega%2F(2D%5E%5Cdelta)%7D%24%20(dimensionless)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Normalized%20concentration%2C%20%24%5CDelta%20c%2F%7C%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D(0)%7C%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22The%20oscillation%20decays%20with%20depth%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_profile_axis.grid(alpha%3D0.24)%0A%20%20%20%20_profile_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20fontsize%3D10.5%2C%20ncols%3D2)%0A%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_semi_impedance.real%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_semi_impedance.imag%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20marker%3D%22o%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20markevery%3D55%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ms%3D4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Normalized%20real%20impedance%2C%20%24%5Cwidetilde%20Z'%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Normalized%20negative%20imaginary%20impedance%2C%20%24-%5Cwidetilde%20Z''%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3Dr%22Diffusion%20gives%20%24Z'%3D-Z''%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(_nyquist_axis%2C%20_semi_impedance.real%2C%20-_semi_impedance.imag)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(_nyquist_axis)%0A%0A%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_08(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20semi-infinite%20concentration%20wave%20decays%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20accumulates%20phase%20with%20depth.%20The%20same%20diffusion%20solution%20produces%0A%20%20%20%20%20%20%20%20the%20concentration%20profiles%20and%20the%20%2445%5E%5Ccirc%24%20Nyquist%20line.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A%20%20%20%20warburg_boundary_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_compare_boundaries_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_phase_radians_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_scale_data_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_selected_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_selected_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_selected_omega_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_selected_profile_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_spectra_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_colors%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22open%22%3A%20%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22blocked%22%3A%20%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_labels%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22open%22%3A%20r%22Fixed%20composition%3A%20%24%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D(L)%3D0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22blocked%22%3A%20r%22Zero%20flux%3A%20%24d%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D%2Fdx%7C_L%3D0%24%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20_styles%20%3D%20%7B%22open%22%3A%20%22-%22%2C%20%22blocked%22%3A%20%22--%22%7D%0A%20%20%20%20_boundaries%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%22open%22%2C%20%22blocked%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20warburg_compare_boundaries_07.value%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%20(warburg_boundary_07.value%2C)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_selected_index%20%3D%20int(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.argmin(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.log(warburg_frequency_hz_07%20%2F%20warburg_selected_frequency_hz_07)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_resistance_scale%20%3D%20warburg_scale_data_07%5B%22resistance_diffusion_ohm%22%5D%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20(_axis_profile%2C%20_axis_warburg)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%205.1)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_profile_envelope%20%3D%20np.abs(warburg_selected_profile_07)%0A%20%20%20%20_profile_snapshot%20%3D%20np.real(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_profile_07%20*%20np.exp(1j%20*%20warburg_phase_radians_07)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_profile_envelope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_profile_envelope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20alpha%3D0.18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22envelope%20%24%5Cpm%7C%5Cwidehat%7B%5CDelta%20c%7D%7C%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_profile_snapshot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.9%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20phase%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_profile_envelope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-_profile_envelope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D%22--%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.5%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D0.9)%0A%20%20%20%20_axis_profile.axvline(warburg_position_um_07%5B-1%5D%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D1.0%2C%20ls%3D%22%3A%22)%0A%20%20%20%20_axis_profile.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Position%2C%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Dr%22Normalized%20%24%5CDelta%20c%24%20(dimensionless)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D_labels%5Bwarburg_boundary_07.value%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis_profile.grid(True%2C%20alpha%3D0.24)%0A%20%20%20%20_axis_profile.legend(loc%3D%22best%22%2C%20fontsize%3D10.5)%0A%0A%20%20%20%20_selected_extent%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(warburg_selected_impedance_07.real)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(warburg_selected_impedance_07.imag)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nyquist_limit%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%202.0%20*%20_resistance_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20min(8.0%20*%20_resistance_scale%2C%201.18%20*%20_selected_extent)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%23%20Use%20the%20same%20engineering%20unit%20on%20both%20axes%2C%20preserving%20Nyquist%20geometry.%0A%20%20%20%20if%20_nyquist_limit%20%3E%3D%201.0e6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_display_scale%2C%20_display_unit%20%3D%201.0e6%2C%20%22M%CE%A9%22%0A%20%20%20%20elif%20_nyquist_limit%20%3E%3D%201.0e3%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_display_scale%2C%20_display_unit%20%3D%201.0e3%2C%20%22k%CE%A9%22%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_display_scale%2C%20_display_unit%20%3D%201.0%2C%20%22%CE%A9%22%0A%20%20%20%20for%20_boundary%20in%20_boundaries%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_impedance%20%3D%20warburg_spectra_07%5B_boundary%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_plot_mask%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(-_impedance.imag%20%3E%3D%20-1.0e-12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(-_impedance.imag%20%3C%3D%20_nyquist_limit)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(_impedance.real%20%3C%3D%20_nyquist_limit)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis_warburg.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_impedance.real%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-_impedance.imag%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ls%3D_styles%5B_boundary%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_colors%5B_boundary%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D_labels%5B_boundary%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20_selected_extent%20%3C%3D%20_nyquist_limit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis_warburg.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_selected_impedance_07.real%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-warburg_selected_impedance_07.imag%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D95%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22none%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolor%3D%22%2330343B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidth%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20frequency%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis_warburg.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.94%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Selected%20low-frequency%20point%5Cnis%20above%20this%20viewport%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20transform%3D_axis_warburg.transAxes%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22top%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23526173%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plotted_warburg%20%3D%20np.concatenate(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_spectra_07%5Bboundary%5D%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(-warburg_spectra_07%5Bboundary%5D.imag%20%3E%3D%20-1.0e-12)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(-warburg_spectra_07%5Bboundary%5D.imag%20%3C%3D%20_nyquist_limit)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%26%20(warburg_spectra_07%5Bboundary%5D.real%20%3C%3D%20_nyquist_limit)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20boundary%20in%20_boundaries%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20_axis_warburg.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Drf%22Real%20impedance%2C%20%24Z'%24%20(%7B_display_unit%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Drf%22Negative%20imaginary%20impedance%2C%20%24-Z''%24%20(%7B_display_unit%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Far%20boundary%20controls%20the%20low-frequency%20end%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis_warburg%2C%20plotted_warburg.real%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-plotted_warburg.imag%20%2F%20_display_scale%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(_axis_warburg)%0A%20%20%20%20_axis_warburg.legend(loc%3D%22best%22%2C%20fontsize%3D10.0)%0A%0A%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%0A%20%20%20%20_boundary_sentence%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22open%22%3A%20%22The%20reservoir%20pins%20the%20far-face%20composition.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22blocked%22%3A%20%22The%20zero-flux%20wall%20stores%20material%20and%20becomes%20capacitive%20at%20low%20frequency.%22%2C%0A%20%20%20%20%7D%5Bwarburg_boundary_07.value%5D%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20responsive_panels_08(_figure)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_boundary_sentence%7D%20The%20selected%20point%20has%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24f%2Ff_D%3D%5Cwidetilde%5Comega%3D%7Bwarburg_selected_omega_07%3A.3g%7D%24%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20with%20diffusion%20frequency%20%24f_D%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bwarburg_scale_data_07%5B'frequency_diffusion_hz'%5D%3A.3g%7D%20Hz**%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20resistance%20scale%20%24R_D%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Bwarburg_scale_data_07%5B'resistance_diffusion_ohm'%5D%3A.3g%7D%20ohms**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Frequency%2C%20%24D%5E%5Cdelta%24%2C%20and%20%24L%24%20change%20whether%20the%20profile%20reaches%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20the%20far%20face%3B%20%24T%24%2C%20%24c_0%24%2C%20and%20%24S%24%20change%20the%20impedance%20scale.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20finite_limits%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Read%20the%20two%20finite-length%20limits%0A%0A%20%20%20%20Both%20finite%20boundaries%20recover%20the%20semi-infinite%20%2445%5E%5Ccirc%24%20response%20at%0A%20%20%20%20high%20frequency.%20Their%20low-frequency%20limits%20explain%20why%20the%20two%20curves%20then%0A%20%20%20%20separate%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%20Z_%7B%5Crm%20open%7D%26%5Clongrightarrow%201-%0A%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%7B3%7D%2C%5C%5C%5B2mm%5D%0A%20%20%20%20%5Cwidetilde%20Z_%7B%5Crm%20blocked%7D%26%5Clongrightarrow%0A%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Cwidetilde%5Comega%7D%2C%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cqquad%20%5Cwidetilde%5Comega%5Cll1.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20A%20composition%20reservoir%20allows%20a%20steady%20diffusive%20flux%2C%20so%20the%20open%20case%0A%20%20%20%20ends%20at%20a%20finite%20resistance.%20A%20blocking%20wall%20cannot%20sustain%20a%20dc%20flux%2C%20so%0A%20%20%20%20material%20accumulates%20and%20the%20response%20becomes%20capacitive.%20At%0A%20%20%20%20%24%5Cwidetilde%5Comega%5Cgg1%24%2C%20neither%20experiment%20feels%20the%20far%20face%20and%20both%0A%20%20%20%20recover%20the%20same%20semi-infinite%20%2445%5E%5Ccirc%24%20response.%0A%0A%20%20%20%20The%20dimensionless%20shape%20is%20controlled%20by%20%24f%2Ff_D%24%2C%20with%0A%20%20%20%20%24f_D%3DD%5E%5Cdelta%2F(2%5Cpi%20L%5E2)%24.%20The%20dilute%20resistance%20scale%0A%20%20%20%20%24R_D%3DRTL%2F(F%5E2c_0SD%5E%5Cdelta)%24%20converts%20that%20shape%20to%20ohms.%20This%20is%20why%20the%0A%20%20%20%20profile%20controls%20(%24f%24%2C%20%24D%5E%5Cdelta%24%2C%20%24L%24)%20and%20amplitude%20controls%20(%24T%24%2C%20%24c_0%24%2C%0A%20%20%20%20%24S%24)%20teach%20different%20parts%20of%20the%20same%20response.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20finite-length%20limits%20and%20impedance%20scaling%22%3A%20finite_limits%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Advanced%20interpretation%20%E2%80%94%20why%20DRT%20needs%20caution%22%3A%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20finite-length%20diffusion%20response%20is%20one%20physical%20process%2C%20yet%20its%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2445%5E%5Ccirc%24%20region%20requires%20a%20distribution%20of%20relaxation%20times%20when%0A%20%20%20%20%20%20%20%20represented%20by%20many%20%24R%5Cparallel%20C%24%20elements.%20A%20DRT%20calculation%20may%0A%20%20%20%20%20%20%20%20therefore%20show%20several%20peaks%20or%20shoulders%20for%20this%20single%20diffusion%0A%20%20%20%20%20%20%20%20problem.%20Conversely%2C%20a%20peak%20does%20not%20by%20itself%20identify%20one%20microscopic%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mechanism.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Use%20DRT%20as%20a%20representation%20aid%20only%20after%20checking%20geometry%2C%20scaling%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20boundary%20conditions%2C%20and%20whether%20the%20proposed%20process%20reproduces%20both%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Nyquist%20and%20Bode%20behavior.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20tlm_details%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%203.%20Why%20a%20mixed%20conductor%20needs%20a%20transmission%20line%0A%0A%0A%20%20%20%20A%20single%20lumped%20resistor%20or%20capacitor%20can%20reproduce%20a%20spectral%20shape%2C%0A%20%20%20%20but%20it%20cannot%20show%20**where**%20ionic%20and%20electronic%20current%20flow%2C%20where%20current%0A%20%20%20%20transfers%20between%20carriers%2C%20or%20how%20selective%20contacts%20change%20that%20transfer.%0A%20%20%20%20A%20transmission%20line%20keeps%20this%20spatial%20information.%0A%0A%20%20%20%20A%20homogeneous%20MIEC%20has%20two%20conducting%20pathways.%20The%20electronic%20rail%20carries%0A%20%20%20%20%24I_e%24%20with%20resistance%20per%20length%20%24r_e%3D1%2F(%5Csigma_e%20S)%24%3B%20the%20ionic%20rail%0A%20%20%20%20carries%20%24I_i%24%20with%20%24r_i%3D1%2F(%5Csigma_i%20S)%24.%20Local%20stoichiometry%20can%20change%20when%0A%20%20%20%20charge%20transfers%20between%20the%20rails%2C%20represented%20in%20the%20small-signal%20limit%20by%0A%20%20%20%20the%20**chemical%20capacitance%20per%20length**%20%24c_%7B%5Crm%20chem%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20continuous%20TLM%20used%20here%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bdu_e%7D%7Bdx%7D%3D-r_e%20I_e%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bdu_i%7D%7Bdx%7D%3D-r_i%20I_i%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BdI_e%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20c_%7B%5Crm%20chem%7D(u_e-u_i)%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7BdI_i%7D%7Bdx%7D%3D%2B%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20c_%7B%5Crm%20chem%7D(u_e-u_i).%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24u_e%24%20and%20%24u_i%24%20are%20**voltage-equivalent%20electrochemical%20potentials**%20in%0A%20%20%20%20volts.%20Their%20difference%20drives%20local%20chemical%20storage.%20Adding%20the%20last%20two%0A%20%20%20%20equations%20gives%20%24d(I_e%2BI_i)%2Fdx%3D0%24%3A%20total%20current%20is%20conserved%20even%20though%0A%20%20%20%20its%20division%20between%20carriers%20changes%20with%20position.%0A%0A%0A%20%20%20%20For%20monovalent%20carriers%20the%20rail%20voltages%20are%20defined%20by%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20u_e%3D-%5Cwidetilde%5Cmu_e%2FF%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20u_i%3D%2B%5Cwidetilde%5Cmu_i%2FF%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24u_e-u_i%3D-%5Cmu_M%2FF.%24%24%0A%0A%20%20%20%20These%20signs%20make%20the%20rail%20difference%20the%20voltage%20equivalent%20of%20the%20neutral%0A%20%20%20%20composition%20chemical%20potential.%20They%20also%20keep%20conventional%20electronic%20and%0A%20%20%20%20ionic%20currents%20in%20the%20same%20circuit-current%20orientation.%0A%0A%20%20%20%20The%20equation-to-circuit%20map%20is%20direct%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20transport%20statement%20%7C%20circuit%20representation%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24du_e%2Fdx%3D-r_e%20I_e%24%20%7C%20electronic%20rail%20resistance%20%24r_e%5C%2Cdx%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24du_i%2Fdx%3D-r_i%20I_i%24%20%7C%20ionic%20rail%20resistance%20%24r_i%5C%2Cdx%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Cmathrm%7Bi%7D%5Comega%20c_%7B%5Crm%20chem%7D(u_e-u_i)%24%20%7C%20local%20chemical%20storage%20%24c_%7B%5Crm%20chem%7D%5C%2Cdx%24%20between%20rails%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20terminal%20carrier%20fluxes%20%7C%20contact%20impedances%20or%20ideal%20passing%2Fblocking%20conditions%20%7C%0A%0A%20%20%20%20The%20general%20TLM%20places%20four%20contact%20impedances%20at%20its%20ends%3A%0A%20%20%20%20%24Z_A%24%20and%20%24Z_B%24%20connect%20the%20left%20electrode%20to%20the%20electronic%20and%20ionic%0A%20%20%20%20rails%3B%20%24Z_C%24%20and%20%24Z_D%24%20do%20the%20same%20on%20the%20right.%20Changing%20these%20impedances%0A%20%20%20%20changes%20the%20boundary%20conditions%20without%20changing%20the%20bulk%20rails.%20That%20is%0A%20%20%20%20why%20a%20TLM%20is%20a%20representation%20of%20transport%20equations%20and%20contacts%20rather%0A%20%20%20%20than%20an%20arbitrary%20collection%20of%20fit%20elements.%0A%20%20%20%20A%20useful%20time%20scale%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20D%5E%5Cdelta%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(r_e%2Br_i)c_%7B%5Crm%20chem%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cboxed%7B(R_e%2BR_i)C_%7B%5Crm%20chem%7D%3D%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7BD%5E%5Cdelta%7D%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20f_%7B%5Crm%20chem%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi(R_e%2BR_i)C_%7B%5Crm%20chem%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Module%2007%20derived%20the%20storage%20term.%20For%20the%20ideal%20monovalent%20pair%20used%20in%0A%20%20%20%20Modules%2003%2C%2005%2C%20and%2006%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20C_%7B%5Crm%20chem%7D%3DC_%7B%5Crm%20chem%7D%5EVSL%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7BF%5E2SLc%7D%7B2RT%7D%2C%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20c_%7B%5Crm%20chem%7D%3DC_%7B%5Crm%20chem%7D%5EV%20S.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20TLM%20therefore%20recovers%20the%20same%20chemical%20diffusivity%20and%20the%20same%0A%20%20%20%20finite-slab%20clock%20rather%20than%20introducing%20a%20second%20transport%20coefficient.%0A%0A%20%20%20%20Here%20%24r_e%2Cr_i%24%20have%20units%20%24%5COmega%24%20m%24%5E%7B-1%7D%24%20and%20%24c_%7B%5Crm%20chem%7D%24%20has%20units%0A%20%20%20%20F%20m%24%5E%7B-1%7D%24.%20Total%20quantities%20are%20%24R_e%3Dr_eL%24%2C%20%24R_i%3Dr_iL%24%2C%20and%0A%20%20%20%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%3Dc_%7B%5Crm%20chem%7DL%24.%20The%20area%20%24S%24%20is%20already%20included%20in%20the%20rail%0A%20%20%20%20resistances.%20The%20resulting%20%24f_%7B%5Crm%20chem%7D%24%20is%20a%20scaling%20frequency%2C%20not%20a%0A%20%20%20%20promise%20that%20every%20boundary%20condition%20has%20a%20peak%20exactly%20there.%0A%0A%20%20%20%20A%20dielectric%20capacitance%20%24C_%7B%5Crm%20diel%7D%24%20can%20be%20added%20for%20an%20electrolyte%2C%0A%20%20%20%20but%20it%20is%20shown%20only%20as%20an%20application%20below%20and%20is%20not%20in%20this%20teaching%20model.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%23%203.%20A%20mixed%20conductor%20needs%20two%20connected%20pathways%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20A%20MIEC%20carries%20electronic%20current%20on%20one%20rail%20and%20ionic%20current%20on%20the%0A%20%20%20%20%20%20%20%20other.%20Distributed%20chemical%20capacitance%20connects%20the%20rails%20because%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20%20local%20change%20in%20stoichiometry%20stores%20chemical%20free%20energy.%20Current%20may%0A%20%20%20%20%20%20%20%20transfer%20between%20the%20rails%2C%20but%20total%20current%20is%20conserved%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24%24%5Cfrac%7Bd(I_e%2BI_i)%7D%7Bdx%7D%3D0.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20end%20contacts%20decide%20which%20carrier%20may%20enter%20or%20leave.%20The%20same%20bulk%0A%20%20%20%20%20%20%20%20material%20can%20therefore%20show%20a%20different%20spectrum%20when%20its%20boundary%0A%20%20%20%20%20%20%20%20conditions%20change.%20In%20an%20appropriate%20selective-contact%20limit%2C%20this%0A%20%20%20%20%20%20%20%20distributed%20model%20becomes%20the%20finite-diffusion%20response%20seen%20above.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Model%20details%20%E2%80%94%20TLM%20equations%2C%20signs%2C%20units%2C%20and%20time%20scale%22%3A%20tlm_details%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Rectangle%2C%20mo%2C%20np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%204.8)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_axis.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(-0.14%2C%200.16)%2C%200.14%2C%200.62%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23D9DDE0%22%2C%20edgecolor%3D%22%2366717B%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(0.0%2C%200.16)%2C%201.0%2C%200.62%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23F3EEDB%22%2C%20edgecolor%3D%22%2366717B%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.add_patch(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Rectangle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(1.0%2C%200.16)%2C%200.14%2C%200.62%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolor%3D%22%23D9DDE0%22%2C%20edgecolor%3D%22%2366717B%22%2C%20linewidth%3D1.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_electronic_y%2C%20_ionic_y%20%3D%200.60%2C%200.32%0A%20%20%20%20_axis.plot(%5B0.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B_electronic_y%2C%20_electronic_y%5D%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D2.0)%0A%20%20%20%20_axis.plot(%5B0.0%2C%201.0%5D%2C%20%5B_ionic_y%2C%20_ionic_y%5D%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D2.0)%0A%20%20%20%20for%20_capacitor_x%20in%20np.linspace(0.14%2C%200.86%2C%206)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_capacitor_x%2C%20_capacitor_x%5D%2C%20%5B_ionic_y%20%2B%200.025%2C%200.43%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_capacitor_x%20-%200.022%2C%20_capacitor_x%20%2B%200.022%5D%2C%20%5B0.43%2C%200.43%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_capacitor_x%20-%200.022%2C%20_capacitor_x%20%2B%200.022%5D%2C%20%5B0.49%2C%200.49%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%20lw%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5B_capacitor_x%2C%20_capacitor_x%5D%2C%20%5B0.49%2C%20_electronic_y%20-%200.025%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23665777%22%2C%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_terminal_style%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22boxstyle%22%3A%20%22round%2Cpad%3D0.18%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22facecolor%22%3A%20%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22edgecolor%22%3A%20%22%239AA3AB%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22alpha%22%3A%200.96%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20for%20_x%2C%20_y%2C%20_label%2C%20_side%2C%20_color%20in%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0.0%2C%20_electronic_y%2C%20r%22%24Z_A%24%22%2C%20%22left%22%2C%20%22%234C7C86%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(0.0%2C%20_ionic_y%2C%20r%22%24Z_B%24%22%2C%20%22left%22%2C%20%22%23B8734A%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1.0%2C%20_electronic_y%2C%20r%22%24Z_C%24%22%2C%20%22right%22%2C%20%22%234C7C86%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(1.0%2C%20_ionic_y%2C%20r%22%24Z_D%24%22%2C%20%22right%22%2C%20%22%23B8734A%22)%2C%0A%20%20%20%20)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_direction%20%3D%20-1.0%20if%20_side%20%3D%3D%20%22left%22%20else%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%5B_x%2C%20_x%20%2B%200.14%20*%20_direction%5D%2C%20%5B_y%2C%20_y%5D%2C%20color%3D_color%2C%20lw%3D1.8)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_x%20%2B%200.21%20*%20_direction%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_y%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_label%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22right%22%20if%20_side%20%3D%3D%20%22left%22%20else%20%22left%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D_color%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D_terminal_style%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B-0.07%2C%20-0.07%2C%200.485%5D%2C%20%5B0.78%2C%200.96%2C%200.96%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239AA3AB%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5B0.515%2C%201.07%2C%201.07%5D%2C%20%5B0.96%2C%200.96%2C%200.78%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%239AA3AB%22%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20lw%3D1.3%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.plot(%5B0.485%2C%200.485%5D%2C%20%5B0.91%2C%201.01%5D%2C%20color%3D%22%239AA3AB%22%2C%20lw%3D1.7)%0A%20%20%20%20_axis.plot(%5B0.515%2C%200.515%5D%2C%20%5B0.91%2C%201.01%5D%2C%20color%3D%22%239AA3AB%22%2C%20lw%3D1.7)%0A%0A%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%200.735%2C%20%22Uniform%20mixed%20conductor%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D13%2C%20weight%3D%22bold%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%200.645%2C%20r%22Electronic%20rail%20%20%24r_e%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22%233D6972%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%200.275%2C%20r%22Ionic%20rail%20%20%24r_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22%238F5638%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%200.46%2C%20r%22Distributed%20%24c_%7B%5Crm%20chem%7D%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22%23665777%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3D%7B%22boxstyle%22%3A%20%22round%2Cpad%3D0.16%22%2C%20%22facecolor%22%3A%20%22%23F3EEDB%22%2C%20%22edgecolor%22%3A%20%22none%22%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.text(-0.07%2C%200.07%2C%20%22Left%20electrode%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_axis.text(1.07%2C%200.07%2C%20%22Right%20electrode%22%2C%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20fontsize%3D10)%0A%20%20%20%20_axis.text(%0A%20%20%20%20%20%20%20%200.50%2C%201.075%2C%20r%22%24C_%7B%5Crm%20diel%7D%24%3A%20omitted%20from%20this%20model%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20fontsize%3D11%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.annotate(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22Positive%20%24x%24%22%2C%20xy%3D(0.68%2C%200.09)%2C%20xytext%3D(0.42%2C%200.09)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ha%3D%22center%22%2C%20va%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20arrowprops%3D%7B%22arrowstyle%22%3A%20%22-%3E%22%2C%20%22color%22%3A%20%22%23526173%22%2C%20%22linewidth%22%3A%201.1%7D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.set(xlim%3D(-0.38%2C%201.38)%2C%20ylim%3D(0.0%2C%201.15))%0A%20%20%20%20_axis.axis(%22off%22)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20The%20schematic%20makes%20the%20distributed%20model%20explicit%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20electrodes%20surround%20a%20uniform%20MIEC%2C%20the%20two%20rails%20carry%20electronic%20and%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ionic%20current%2C%20and%20each%20%24c_%7B%5Crm%20chem%7D%24%20element%20stores%0A%20%20%20%20%20%20%20%20composition%20between%E2%80%94not%20along%E2%80%94the%20rails.%20%24Z_A%24%E2%80%93%24Z_D%24%20set%20the%20four%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rail-end%20boundary%20conditions.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Contact%20presets%20used%20by%20the%20interactive%20line%0A%0A%20%20%20%20%7C%20preset%20%7C%20left%20face%20%7C%20right%20face%20%7C%20main%20consequence%20%7C%0A%20%20%20%20%7C---%7C---%7C---%7C---%7C%0A%20%20%20%20%7C%20electron-reversible%2C%20ions%20blocked%20%7C%20%24u_e%24%20fixed%3B%20%24I_i%3D0%24%20%7C%20%24u_e%24%20fixed%3B%20%24I_i%3D0%24%20%7C%20electronic%20dc%20path%20plus%20chemical%20polarization%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20cross-selective%20%7C%20%24u_e%24%20fixed%3B%20%24I_i%3D0%24%20%7C%20%24I_e%3D0%24%3B%20%24u_i%24%20fixed%20%7C%20no%20single%20carrier%20spans%20the%20specimen%3B%20blocking%20low-frequency%20response%20%7C%0A%0A%20%20%20%20**Prediction.**%20Before%20changing%20the%20contact%20preset%2C%20decide%20whether%20a%20dc%0A%20%20%20%20path%20remains%20and%20whether%20the%20contacts%20can%20drive%20%24u_e-u_i%24.%20Those%20two%0A%20%20%20%20questions%20predict%20the%20low-frequency%20response%20more%20reliably%20than%20naming%20the%0A%20%20%20%20shape%20afterward.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20tlm_contact_case_07%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Electron%20contacts%22%3A%20%22electron%20contacts%2C%20ions%20blocked%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Cross-selective%20contacts%22%3A%20%22cross-selective%20contacts%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Electron%20contacts%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Contacts%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_log_ratio_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Conductivity-ratio%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_log_r_parallel_per_m_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D3.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D9.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(r_%5Cparallel%2F%5COmega%5C%2C%5Cmathrm%7Bm%7D%5E%7B-1%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_log_c_chemical_per_m_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D4.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3Dr%22%24%5Clog_%7B10%7D(c_%7B%5Crm%20chem%7D%2F%5Cmathrm%7BF%5C%2Cm%5E%7B-1%7D%7D)%24%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_length_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D10%2C%20stop%3D500%2C%20step%3D10%2C%20value%3D100%2C%20label%3D%22TLM%20length%20(micrometers)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_log_selected_frequency_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D-8.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stop%3D6.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20step%3D0.25%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D0.5%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22TLM-frequency%20exponent%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_profile_phase_07%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D330%2C%20step%3D30%2C%20value%3D60%2C%20label%3D%22Snapshot%20phase%20(degrees)%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_internal_view_07%20%3D%20mo.ui.dropdown(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20options%3D%5B%22Composition%20response%22%2C%20%22Voltage-equivalent%20potentials%22%2C%20%22Rail%20currents%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%3D%22Composition%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Internal%20view%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_full_spectrum_08%20%3D%20mo.ui.checkbox(value%3DFalse%2C%20label%3D%22Show%20full%20low-frequency%20tail%22)%0A%20%20%20%20core_tlm_controls_07%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btlm_contact_case_07%2C%20tlm_log_ratio_07%2C%20tlm_log_selected_frequency_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20advanced_tlm_controls_07%20%3D%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btlm_log_r_parallel_per_m_07%2C%20tlm_log_c_chemical_per_m_07%2C%20tlm_length_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%20align%3D%22center%22%2C%20wrap%3DTrue%2C%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20core_tlm_controls_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20distributed%20transport%20scale%22%3A%20mo.vstack(%5Badvanced_tlm_controls_07%2C%20tlm_full_spectrum_08%5D)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_contact_case_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_full_spectrum_08%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_internal_view_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_length_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_log_c_chemical_per_m_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_log_r_parallel_per_m_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_log_ratio_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_log_selected_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_profile_phase_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20tlm_contact_case_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_distributed_parameters_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_length_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_log_c_chemical_per_m_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_log_r_parallel_per_m_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_log_ratio_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_log_selected_frequency_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_profile_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_spectrum_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%20%3D%20tlm_distributed_parameters_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%20**%20tlm_log_r_parallel_per_m_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%20**%20tlm_log_c_chemical_per_m_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_length_07.value%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%2010.0%20**%20tlm_log_ratio_07.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_log_f_chemical%20%3D%20np.log10(tlm_parameter_data_07%5B%22frequency_chemical_hz%22%5D)%0A%20%20%20%20_log_f_min%20%3D%20min(_log_f_chemical%20-%204.0%2C%20tlm_log_selected_frequency_07.value%20-%200.25)%0A%20%20%20%20_log_f_max%20%3D%20max(_log_f_chemical%20%2B%204.0%2C%20tlm_log_selected_frequency_07.value%20%2B%200.25)%0A%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%20%3D%20np.logspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_log_f_min%2C%20_log_f_max%2C%20520%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_frequency_ratio_07%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%20%2F%20tlm_parameter_data_07%5B%22frequency_chemical_hz%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_selected_frequency_hz_07%20%3D%2010.0%20**%20tlm_log_selected_frequency_07.value%0A%20%20%20%20tlm_selected_omega_07%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_selected_frequency_hz_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20tlm_parameter_data_07%5B%22frequency_chemical_hz%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_spectrum_data_07%20%3D%20tlm_spectrum_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_frequency_ratio_07%2C%20tlm_parameter_data_07%2C%20tlm_contact_case_07.value%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_position_07%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20300)%0A%20%20%20%20tlm_position_um_07%20%3D%20tlm_length_07.value%20*%20tlm_position_07%0A%20%20%20%20tlm_profile_data_07%20%3D%20tlm_profile_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_selected_omega_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_contact_case_07.value%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_profile_data_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_selected_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_selected_omega_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_spectrum_data_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20tlm_parameter_data_07)%3A%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Chemical%20diffusivity%2C%20%24D%5E%5Cdelta%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Btlm_parameter_data_07%5B'D_chemical_m2_per_s'%5D%20*%201.0e4%3A.3g%7D%20cm%C2%B2%2Fs**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Chemical%20time%20scale%2C%20%24%5Ctau_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%24%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20**%7Btlm_parameter_data_07%5B'tau_chemical_s'%5D%3A.3g%7D%20s**.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20Here%20%24%5Ctau_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D(R_e%2BR_i)C_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20These%20are%20the%20storage%E2%80%93transport%20identities%20developed%20in%20Module%2007.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20responsive_panels_08%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A%20%20%20%20tlm_contact_case_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_full_spectrum_08%2C%0A%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_profile_data_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_spectrum_data_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_impedance%20%3D%20tlm_spectrum_data_07%0A%20%20%20%20_real%20%3D%20_impedance.real%0A%20%20%20%20_minus_imaginary%20%3D%20-_impedance.imag%0A%20%20%20%20%23%20Use%20the%20exact%20frequency%20of%20the%20internal%20profile%2C%20not%20the%20nearest%20sweep%20bin.%0A%20%20%20%20_selected_impedance%20%3D%20tlm_profile_data_07%5B%22solution%22%5D%5B%22impedance_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20_transport_limit%20%3D%202.0%20*%20tlm_parameter_data_07%5B%22R_sum_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20_plot_mask%20%3D%20np.ones(_real.shape%2C%20dtype%3Dbool)%20if%20tlm_full_spectrum_08.value%20else%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_real%20%3C%3D%20_transport_limit)%20%26%20(_minus_imaginary%20%3C%3D%20_transport_limit)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_selected_visible%20%3D%20tlm_full_spectrum_08.value%20or%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_impedance.real%2C%20-_selected_impedance.imag%0A%20%20%20%20)%20%3C%3D%20_transport_limit%0A%20%20%20%20_display_extent%20%3D%20max(float(np.max(np.abs(_real%5B_plot_mask%5D)))%2C%20float(np.max(np.abs(_minus_imaginary%5B_plot_mask%5D))))%0A%20%20%20%20_display_scale%2C%20_display_unit%20%3D%20next(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(scale%2C%20unit)%20for%20scale%2C%20unit%20in%20%5B(1e12%2C%20%22T%CE%A9%22)%2C%20(1e9%2C%20%22G%CE%A9%22)%2C%20(1e6%2C%20%22M%CE%A9%22)%2C%20(1e3%2C%20%22k%CE%A9%22)%2C%20(1.0%2C%20%22%CE%A9%22)%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_display_extent%20%3E%3D%20scale%20or%20scale%20%3D%3D%201.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_representative_frequencies%20%3D%20np.logspace(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.log10(tlm_frequency_hz_07%5B0%5D)%2C%20np.log10(tlm_frequency_hz_07%5B-1%5D)%2C%207%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_representative_indices%20%3D%20np.array(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20int(np.argmin(np.abs(tlm_frequency_hz_07%20-%20frequency)))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20frequency%20in%20_representative_frequencies%0A%20%20%20%20%5D)%0A%0A%20%20%20%20_nyquist_figure%2C%20_nyquist_axis%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20figsize%3D(8.4%2C%206.0)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.plot(_real%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale%2C%20_minus_imaginary%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9)%0A%20%20%20%20_representative_indices%20%3D%20_representative_indices%5B_plot_mask%5B_representative_indices%5D%5D%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_real%5B_representative_indices%5D%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_minus_imaginary%5B_representative_indices%5D%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D42%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D%22white%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D0.6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D3%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22representative%20frequencies%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20if%20_selected_visible%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nyquist_axis.scatter(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_selected_impedance.real%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-_selected_impedance.imag%20%2F%20_display_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20s%3D125%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20facecolors%3D%22none%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20edgecolors%3D%22%2330343B%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20linewidths%3D1.8%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20zorder%3D4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22selected%20frequency%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Drf%22Real%20impedance%2C%20%24Z'%24%20(%7B_display_unit%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3Drf%22Negative%20imaginary%20impedance%2C%20%24-Z''%24%20(%7B_display_unit%7D)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Distributed%20transport%20and%20storage%20create%20one%20spectrum%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits(_nyquist_axis%2C%20_real%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale%2C%20_minus_imaginary%5B_plot_mask%5D%20%2F%20_display_scale)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(_nyquist_axis)%0A%20%20%20%20_nyquist_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%0A%20%20%20%20_bode_figure%2C%20(_magnitude_axis%2C%20_phase_axis)%20%3D%20plt.subplots(%0A%20%20%20%20%20%20%20%201%2C%202%2C%20figsize%3D(12.8%2C%204.4)%2C%20constrained_layout%3DTrue%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_magnitude_axis.loglog(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%2C%20np.abs(_impedance)%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_phase_axis.semilogx(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_frequency_hz_07%2C%20np.angle(_impedance%2C%20deg%3DTrue)%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.8%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_magnitude_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Frequency%2C%20%24f%24%20(Hz)%22%2C%20ylabel%3Dr%22Magnitude%2C%20%24%7CZ%7C%24%20(%24%5COmega%24)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Magnitude%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_phase_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20xlabel%3Dr%22Frequency%2C%20%24f%24%20(Hz)%22%2C%20ylabel%3Dr%22Phase%20of%20%24Z%24%20(degrees)%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Phase%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20for%20_axis%20in%20(_magnitude_axis%2C%20_phase_axis)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.axvline(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%5B%22frequency_chemical_hz%22%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20ls%3D%22%3A%22%2C%20lw%3D1.2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.grid(True%2C%20which%3D%22both%22%2C%20alpha%3D0.24)%0A%20%20%20%20plt.close(_nyquist_figure)%0A%20%20%20%20plt.close(_bode_figure)%0A%0A%20%20%20%20_selection_note%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20black%20ring%20marks%20the%20exact%20frequency%20used%20for%20the%20spatial%20view%20below.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20_selected_visible%20else%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20selected%20low-frequency%20point%20is%20above%20this%20transport-scale%20view.%20Open%20the%20distributed%20transport%20controls%20and%20enable%20Show%20full%20low-frequency%20tail%20to%20see%20it.%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_range_note%20%3D%20%22The%20full%20calculated%20spectrum%20is%20shown.%22%20if%20tlm_full_spectrum_08.value%20else%20%22The%20view%20is%20limited%20to%20twice%20the%20total%20rail%20resistance%2C%20so%20the%20transport%20features%20remain%20visible.%22%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Read%20one%20contact-dependent%20TLM%20spectrum%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nyquist_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20selected%20contact%20preset%20is%20**%7Btlm_contact_case_07.value%7D**.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20The%20line%20comes%20from%20distributed%20rail%20transport%20and%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20storage%3B%20no%20Warburg%20segment%20is%20inserted.%20%7B_range_note%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%7B_selection_note%7D%20Here%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%24f_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D%7Btlm_parameter_data_07%5B'frequency_chemical_hz'%5D%3A.3g%7D%24%20Hz.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20TLM%20Bode%20magnitude%20and%20phase%22%3A%20responsive_panels_08(_bode_figure)%7D)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20tlm_internal_view_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_parameter_data_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_profile_data_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_profile_phase_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_selected_frequency_hz_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_selected_omega_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_phase_factor%20%3D%20np.exp(1j%20*%20np.deg2rad(tlm_profile_phase_07.value))%0A%20%20%20%20_chemical_hat%20%3D%20tlm_profile_data_07%5B%22u_chemical%22%5D%0A%20%20%20%20_concentration_hat%20%3D%20tlm_profile_data_07%5B%22normalized_composition%22%5D%0A%20%20%20%20_concentration_snapshot%20%3D%20np.real(_concentration_hat%20*%20_phase_factor)%0A%20%20%20%20_concentration_envelope%20%3D%20np.abs(_concentration_hat)%0A%20%20%20%20_u_e_snapshot%20%3D%20np.real(tlm_profile_data_07%5B%22u_e%22%5D%20*%20_phase_factor)%0A%20%20%20%20_u_i_snapshot%20%3D%20np.real(tlm_profile_data_07%5B%22u_i%22%5D%20*%20_phase_factor)%0A%20%20%20%20_chemical_snapshot%20%3D%20np.real(_chemical_hat%20*%20_phase_factor)%0A%20%20%20%20_current_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.max(np.abs(tlm_profile_data_07%5B%22I_total%22%5D)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0%20%2F%20tlm_parameter_data_07%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_i_e_snapshot%20%3D%20np.real(tlm_profile_data_07%5B%22I_e%22%5D%20*%20_phase_factor)%20%2F%20_current_scale%0A%20%20%20%20_i_i_snapshot%20%3D%20np.real(tlm_profile_data_07%5B%22I_i%22%5D%20*%20_phase_factor)%20%2F%20_current_scale%0A%20%20%20%20_i_total_snapshot%20%3D%20np.real(tlm_profile_data_07%5B%22I_total%22%5D%20*%20_phase_factor)%20%2F%20_current_scale%0A%0A%20%20%20%20_figure%2C%20_axis%20%3D%20plt.subplots(figsize%3D(6.8%2C%205.2)%2C%20constrained_layout%3DTrue)%0A%20%20%20%20_view%20%3D%20tlm_internal_view_07.value%0A%20%20%20%20if%20_view%20%3D%3D%20%22Composition%20response%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_length_um%20%3D%20tlm_position_um_07%5B-1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_electrode_width_um%20%3D%200.035%20*%20_length_um%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.axvspan(-_electrode_width_um%2C%200.0%2C%20color%3D%22%23D9DDE0%22%2C%20alpha%3D0.9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.axvspan(_length_um%2C%20_length_um%20%2B%20_electrode_width_um%2C%20color%3D%22%23D9DDE0%22%2C%20alpha%3D0.9)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.fill_between(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%20-_concentration_envelope%2C%20_concentration_envelope%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20alpha%3D0.16%2C%20label%3D%22full-cycle%20envelope%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%20_concentration_snapshot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3D%22selected-phase%20snapshot%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20xlim%3D(-_electrode_width_um%2C%20_length_um%20%2B%20_electrode_width_um)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylim%3D(-1.08%2C%201.08)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ylabel%3D%22Normalized%20composition%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20title%3D%22Chemical%20storage%20profile%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22For%20positive%20chemical%20susceptibility%2C%20%24%5CDelta%20c%24%20has%20the%20sign%20of%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24%5CDelta%5Cmu_M%3D-F(u_e-u_i)%24.%20The%20composition%20wave%20therefore%20has%20the%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22opposite%20sign%20to%20the%20rail%20difference.%20It%20is%20normalized%20by%20its%20peak%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22phasor%20magnitude%3B%20the%20envelope%20shows%20the%20full%20cycle.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20elif%20_view%20%3D%3D%20%22Voltage-equivalent%20potentials%22%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(tlm_position_um_07%2C%20_u_e_snapshot%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3Dr%22%24u_e%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(tlm_position_um_07%2C%20_u_i_snapshot%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3Dr%22%24u_i%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%20_chemical_snapshot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%237C6A91%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Dr%22%24u_e-u_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(ylabel%3D%22Voltage-equivalent%20potential%20(V)%22%2C%20title%3D%22Potentials%20along%20the%20two%20rails%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20difference%20%24u_e-u_i%3D-%5Cmu_M%2FF%24%20drives%20local%20chemical%20storage%3B%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22the%20two%20rail%20potentials%20also%20determine%20their%20separate%20current%20gradients.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(tlm_position_um_07%2C%20_i_e_snapshot%2C%20color%3D%22%234C7C86%22%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3Dr%22%24I_e%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(tlm_position_um_07%2C%20_i_i_snapshot%2C%20color%3D%22%23B8734A%22%2C%20lw%3D1.9%2C%20label%3Dr%22%24I_i%24%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.plot(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_position_um_07%2C%20_i_total_snapshot%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20color%3D%22%235F8A6B%22%2C%20lw%3D1.6%2C%20ls%3D%22--%22%2C%20label%3Dr%22%24I_e%2BI_i%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_axis.set(ylabel%3D%22Current%20%2F%20common%20scale%22%2C%20title%3D%22Current%20transfers%20between%20rails%22)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_explanation%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Electronic%20and%20ionic%20currents%20can%20exchange%20with%20position%2C%20but%20their%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22sum%20remains%20constant%20everywhere%20in%20the%20line.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_axis.axhline(0.0%2C%20color%3D%22%2373808C%22%2C%20lw%3D0.9)%0A%20%20%20%20_axis.set_xlabel(r%22Position%2C%20%24x%24%20(%24%5Cmu%24m)%22)%0A%20%20%20%20_axis.grid(True%2C%20alpha%3D0.24)%0A%20%20%20%20_axis.legend(frameon%3DFalse%2C%20loc%3D%22best%22)%0A%20%20%20%20_figure.suptitle(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rf%22%24f%3D%7Btlm_selected_frequency_hz_07%3A.3g%7D%24%20Hz%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20rf%22%24f%2Ff_%7B%7B%5Crm%20chem%7D%7D%3D%7Btlm_selected_omega_07%3A.3g%7D%24%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20rf%22phase%20%24%3D%7Btlm_profile_phase_07.value%7D%5E%5Ccirc%24%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20fontsize%3D14%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.close(_figure)%0A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22%23%23%23%20Look%20inside%20the%20line%20at%20one%20frequency%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.hstack(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%5Btlm_internal_view_07%2C%20tlm_profile_phase_07%5D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20justify%3D%22start%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20align%3D%22center%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20wrap%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20gap%3D1.4%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_figure%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(_explanation)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo%2C%20tlm_contact_case_07)%3A%0A%20%20%20%20_interpretations%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22electron%20contacts%2C%20ions%20blocked%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Electrons%20can%20cross%20both%20interfaces%2C%20whereas%20ions%20accumulate%20internally.%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20dc%20limit%20remains%20electronically%20conducting%2C%20but%20chemical%20redistribution%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22adds%20a%20frequency-dependent%20polarization.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22cross-selective%20contacts%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20left%20face%20passes%20electrons%20and%20the%20right%20face%20passes%20ions.%20No%20carrier%20has%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22a%20complete%20dc%20path%20by%20itself%2C%20so%20the%20low-frequency%20response%20becomes%20blocking%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22and%20capacitive.%20It%20is%20the%20mirror-coordinate%20version%20of%20the%20selective-contact%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22geometry%20displayed%20in%20Module%2006%20and%20in%20many%20chemical-diffusion%20measurements.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22both%20carriers%20reversible%22%3A%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Both%20rails%20are%20pinned%20to%20the%20same%20reservoir%20voltage%20at%20each%20face.%20Then%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24u_e-u_i%3D0%24%2C%20chemical%20storage%20is%20not%20excited%2C%20and%20the%20response%20is%20simply%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22%24R_e%5C%5Cparallel%20R_i%24.%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(%22**What%20this%20contact%20choice%20means.**%20%22%20%2B%20_interpretations%5Btlm_contact_case_07.value%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22info%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20_scope%20%3D%20mo.callout(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Scope%20of%20the%20interactive%20TLM%20model.**%20It%20includes%20uniform%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20one-dimensional%20electronic%20and%20ionic%20rails%2C%20distributed%20chemical%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitance%2C%20and%20two%20ideal%20contact%20presets.%20It%20does%20**not**%20fit%20finite%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%24Z_A%24%E2%80%93%24Z_D%24%2C%20dielectric%2Fstray%20capacitance%2C%20surface%20reaction%20impedance%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20constant-phase%20elements%2C%20microstructural%20distributions%2C%20or%20nonlinear%0A%20%20%20%20%20%20%20%20large-signal%20response.%20Those%20belong%20in%20a%20model%20only%20when%20the%20experiment%0A%20%20%20%20%20%20%20%20supplies%20evidence%20for%20them.%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20kind%3D%22warn%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_applications%20%3D%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Three%20application%20cards%20for%20the%20same%20TLM%20anatomy%0A%0A%20%20%20%20**1.%20Warburg%20measurement%20in%20an%20electron-dominant%20MIEC**%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24r_e%5Cll%20r_i%24%20and%20use%20one%20ion-selective%20face.%20Chemical%20capacitance%20and%0A%20%20%20%20ionic%20transport%20set%20the%20diffusion%20response%3B%20changing%20the%20far%20contact%20selects%0A%20%20%20%20the%20fixed-composition%20or%20blocked%20finite-length%20limit.%0A%0A%20%20%20%20**2.%20Solid%20electrolyte%20between%20ion-blocking%20metal%20electrodes**%0A%0A%20%20%20%20Let%20%24r_e%5Cgg%20r_i%24.%20Chemical%20capacitance%20can%20become%20small%20enough%20that%20the%0A%20%20%20%20dielectric%20specimen%20capacitance%20%24C_%7B%5Crm%20diel%7D%24%20and%20stray%20capacitance%20matter.%0A%20%20%20%20The%20present%20teaching%20model%20does%20not%20add%20them%2C%20but%20the%20general%20anatomy%20shows%20where%0A%20%20%20%20they%20enter.%0A%0A%20%20%20%20**3.%20Thin%20MIEC%20electrode%20with%20surface%20exchange**%0A%0A%20%20%20%20If%20both%20rail%20resistances%20are%20small%20compared%20with%20a%20surface%20reaction%0A%20%20%20%20resistance%2C%20the%20body%20equilibrates%20nearly%20uniformly.%20Surface%20reaction%0A%20%20%20%20resistance%20can%20then%20appear%20in%20parallel%20with%20the%20total%0A%20%20%20%20%24C_%7B%5Crm%20chem%7D%3Dc_%7B%5Crm%20chem%7DL%24%2C%20explaining%20why%20a%20surface%20process%20can%20be%20paired%0A%20%20%20%20with%20a%20volume-scaling%20capacitance.%0A%0A%20%20%20%20These%20are%20controlled%20simplifications%20of%20one%20transport%20model%2C%0A%20%20%20%20not%20three%20unrelated%20equivalent%20circuits.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Explore%20further%20%E2%80%94%20TLM%20model%20scope%20and%20applications%22%3A%20mo.vstack(%5B_scope%2C%20_applications%5D)%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20capacitor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07%2C%0A%20%20%20%20np%2C%0A%20%20%20%20parallel_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20plt%2C%0A%20%20%20%20resistor_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20series_rc_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20set_equal_nyquist_limits%2C%0A%20%20%20%20tlm_distributed_parameters_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_parameters_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_profile_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_solution_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_spectrum_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_impedance_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_profile_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_scales_07%2C%0A%20%20%20%20waveform_data_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_check_frequency%20%3D%20np.logspace(-5.0%2C%205.0%2C%20800)%0A%20%20%20%20_check_resistor%20%3D%20resistor_impedance_07(_check_frequency%2C%2037.0)%0A%20%20%20%20resistor_limit_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_check_resistor.real%20-%2037.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_check_resistor.imag))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_check_capacitor%20%3D%20capacitor_impedance_07(_check_frequency%2C%202.5e-6)%0A%20%20%20%20capacitor_limit_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_check_capacitor.real))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(-_check_capacitor.imag)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20*%20(2.0%20*%20np.pi%20*%20_check_frequency%20*%202.5e-6)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%201.0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_nyquist_test_figure%2C%20_nyquist_test_axis%20%3D%20plt.subplots()%0A%20%20%20%20_capacitor_y%20%3D%20-_check_capacitor.imag%0A%20%20%20%20_capacitor_limits%20%3D%20set_equal_nyquist_limits(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_nyquist_test_axis%2C%20_check_capacitor.real%2C%20_capacitor_y%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20format_nyquist_axis_07(_nyquist_test_axis)%0A%20%20%20%20_x_limits%2C%20_y_limits%20%3D%20_capacitor_limits%0A%20%20%20%20nyquist_equal_axis_error_07%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_x_limits%5B1%5D%20-%20_x_limits%5B0%5D)%20-%20(_y_limits%5B1%5D%20-%20_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20)%20%2F%20(_y_limits%5B1%5D%20-%20_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20nyquist_capacitor_margin_pass_07%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_x_limits%5B0%5D%20%3C%200.0%20%3C%20_x_limits%5B1%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(_capacitor_y%20%3E%20_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(_capacitor_y%20%3C%20_y_limits%5B1%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.close(_nyquist_test_figure)%0A%20%20%20%20_check_series_rc%20%3D%20series_rc_impedance_07(_check_frequency%2C%2037.0%2C%202.5e-6)%0A%20%20%20%20series_rc_limit_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_check_series_rc.real%20-%2037.0))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(_check_series_rc.imag%20-%20_check_capacitor.imag))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_check_rc%20%3D%20parallel_rc_impedance_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_check_frequency%2C%201.0%2C%201.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20rc_circle_error_07%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs((_check_rc.real%20-%200.5)%20**%202%20%2B%20_check_rc.imag**2%20-%200.25)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_peak_index%20%3D%20int(np.argmax(-_check_rc.imag))%0A%20%20%20%20rc_peak_error_07%20%3D%20abs(2.0%20*%20np.pi%20*%20_check_frequency%5B_peak_index%5D%20-%201.0)%0A%0A%20%20%20%20_waveform_check%20%3D%20waveform_data_07(3.0%2C%2037.0)%0A%20%20%20%20phasor_sign_error_07%20%3D%20abs(_waveform_check%5B3%5D%20%2B%2037.0)%0A%20%20%20%20_waveform_slow%20%3D%20waveform_data_07(0.2%2C%2020.0)%0A%20%20%20%20_waveform_fast%20%3D%20waveform_data_07(20.0%2C%2020.0)%0A%20%20%20%20_waveform_zero%20%3D%20waveform_data_07(3.0%2C%200.0)%0A%20%20%20%20waveform_frequency_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_waveform_zero%5B2%5D%5B0%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.max(np.abs(_waveform_zero%5B1%5D%20-%20_waveform_zero%5B2%5D)))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs((_waveform_slow%5B0%5D%5B-1%5D%20-%20_waveform_slow%5B0%5D%5B0%5D)%20-%202.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs((_waveform_fast%5B0%5D%5B-1%5D%20-%20_waveform_fast%5B0%5D%5B0%5D)%20-%202.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20float(np.array_equal(_waveform_slow%5B1%5D%2C%20_waveform_fast%5B1%5D))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_omega_high%20%3D%201.0e4%0A%20%20%20%20_warburg_semi_high%20%3D%20warburg_impedance_07(np.array(%5B_omega_high%5D)%2C%20%22semi-infinite%22)%5B0%5D%0A%20%20%20%20warburg_high_frequency_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(warburg_impedance_07(np.array(%5B_omega_high%5D)%2C%20%22open%22)%5B0%5D%20%2F%20_warburg_semi_high%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(warburg_impedance_07(np.array(%5B_omega_high%5D)%2C%20%22blocked%22)%5B0%5D%20%2F%20_warburg_semi_high%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_omega_low%20%3D%201.0e-6%0A%20%20%20%20_warburg_open_low%20%3D%20warburg_impedance_07(np.array(%5B_omega_low%5D)%2C%20%22open%22)%5B0%5D%0A%20%20%20%20_warburg_blocked_low%20%3D%20warburg_impedance_07(np.array(%5B_omega_low%5D)%2C%20%22blocked%22)%5B0%5D%0A%20%20%20%20warburg_low_frequency_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_warburg_open_low.real%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_warburg_blocked_low.real%20-%201.0%20%2F%203.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs((-_warburg_blocked_low.imag)%20*%20_omega_low%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_warburg_passivity_grid%20%3D%20np.logspace(-5.0%2C%205.0%2C%20500)%0A%20%20%20%20warburg_passivity_margin_07%20%3D%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(warburg_impedance_07(_warburg_passivity_grid%2C%20_boundary).real)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_boundary%20in%20(%22semi-infinite%22%2C%20%22open%22%2C%20%22blocked%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_warburg_profile_positions%20%3D%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20301)%0A%20%20%20%20_warburg_extreme_profiles%20%3D%20%7B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_boundary%3A%20warburg_profile_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%201.0e13%2C%20_warburg_profile_positions%2C%20_boundary%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_boundary%20in%20(%22semi-infinite%22%2C%20%22open%22%2C%20%22blocked%22)%0A%20%20%20%20%7D%0A%20%20%20%20warburg_profile_finiteness_07%20%3D%20all(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(np.isfinite(_profile))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_profile%20in%20_warburg_extreme_profiles.values()%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20warburg_profile_boundary_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20max(abs(_profile%5B0%5D%20-%201.0)%20for%20_profile%20in%20_warburg_extreme_profiles.values())%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_warburg_extreme_profiles%5B%22open%22%5D%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%20%20%20%20_tlm_check_parameters%20%3D%20tlm_parameters_07(100.0%2C%201.0e-4%2C%20100.0)%0A%20%20%20%20_tlm_check_frequency%20%3D%20np.logspace(-12.0%2C%2012.0%2C%20260)%0A%20%20%20%20_tlm_reversible%20%3D%20tlm_spectrum_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_frequency%2C%20_tlm_check_parameters%2C%20%22both%20carriers%20reversible%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_reversible_error_07%20%3D%20np.max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.abs(_tlm_reversible%20%2F%20_tlm_check_parameters%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%20-%201.0)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_cases%20%3D%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22electron%20contacts%2C%20ions%20blocked%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22cross-selective%20contacts%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22both%20carriers%20reversible%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_capacitive_line%20%3D%20tlm_spectrum_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_frequency%2C%20_tlm_check_parameters%2C%20%22cross-selective%20contacts%22%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_margin_figure%2C%20_tlm_margin_axis%20%3D%20plt.subplots()%0A%20%20%20%20_tlm_x_limits%2C%20_tlm_y_limits%20%3D%20set_equal_nyquist_limits(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_margin_axis%2C%20_tlm_capacitive_line.real%2C%20-_tlm_capacitive_line.imag%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20nyquist_tlm_margin_pass_07%20%3D%20bool(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_x_limits%5B0%5D%20%3C%20float(np.min(_tlm_capacitive_line.real))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(_tlm_capacitive_line.real%20%3E%20_tlm_x_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(_tlm_capacitive_line.real%20%3C%20_tlm_x_limits%5B1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(-_tlm_capacitive_line.imag%20%3E%20_tlm_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20np.all(-_tlm_capacitive_line.imag%20%3C%20_tlm_y_limits%5B1%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20and%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20(_tlm_x_limits%5B1%5D%20-%20_tlm_x_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20(_tlm_y_limits%5B1%5D%20-%20_tlm_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%3C%201.0e-12%20*%20(_tlm_y_limits%5B1%5D%20-%20_tlm_y_limits%5B0%5D)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20plt.close(_tlm_margin_figure)%0A%20%20%20%20tlm_passivity_margin_07%20%3D%20min(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.min(tlm_spectrum_07(_tlm_check_frequency%2C%20_tlm_check_parameters%2C%20_case).real)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_case%20in%20_tlm_cases%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_boundary_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_solution_07(10.0%20**%20_frequency%2C%20_tlm_check_parameters%2C%20_case)%5B%22boundary_residual%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_case%20in%20_tlm_cases%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_frequency%20in%20(-12.0%2C%20-3.0%2C%200.0%2C%203.0%2C%2012.0)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_check_profile%20%3D%20tlm_profile_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20251)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.7%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22cross-selective%20contacts%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_current_conservation_error_07%20%3D%20np.ptp(_tlm_check_profile%5B%22I_total%22%5D)%20%2F%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_check_profile%5B%22I_total%22%5D%5B0%5D)%2C%201.0e-30%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_finiteness_07%20%3D%20all(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(np.isfinite(_tlm_check_profile%5B_key%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_key%20in%20(%22u_e%22%2C%20%22u_i%22%2C%20%22u_chemical%22%2C%20%22normalized_composition%22%2C%20%22I_e%22%2C%20%22I_i%22%2C%20%22I_total%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_voltage_mapping_error_07%20%3D%20np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_profile%5B%22u_e%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_tlm_check_profile%5B%22u_i%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_tlm_check_profile%5B%22u_chemical%22%5D%0A%20%20%20%20))%0A%20%20%20%20%23%20The%20displayed%20composition%20must%20follow%20neutral%20chemical%20potential%2C%20not%20rail%20voltage.%0A%20%20%20%20_tlm_composition_scale%20%3D%20max(float(np.max(np.abs(_tlm_check_profile%5B%22u_chemical%22%5D)))%2C%201.0e-30)%0A%20%20%20%20tlm_voltage_mapping_error_07%20%3D%20max(tlm_voltage_mapping_error_07%2C%20float(np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_profile%5B%22normalized_composition%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2B%20(_tlm_check_profile%5B%22u_e%22%5D%20-%20_tlm_check_profile%5B%22u_i%22%5D)%20%2F%20_tlm_composition_scale%0A%20%20%20%20))))%0A%20%20%20%20_tlm_extreme_profile%20%3D%20tlm_profile_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.linspace(0.0%2C%201.0%2C%20301)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%201.0e13%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_check_parameters%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22cross-selective%20contacts%22%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_extreme_profile_finiteness_07%20%3D%20all(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.all(np.isfinite(_tlm_extreme_profile%5B_key%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20_key%20in%20(%22u_e%22%2C%20%22u_i%22%2C%20%22u_chemical%22%2C%20%22normalized_composition%22%2C%20%22I_e%22%2C%20%22I_i%22%2C%20%22I_total%22)%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_extreme_current_scale%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_extreme_profile%5B%22I_total%22%5D%5B0%5D)%2C%201.0e-30%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20tlm_extreme_profile_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_extreme_profile%5B%22u_e%22%5D%5B0%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_extreme_profile%5B%22I_i%22%5D%5B0%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_extreme_profile%5B%22I_e%22%5D%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_extreme_profile%5B%22u_i%22%5D%5B-1%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.ptp(_tlm_extreme_profile%5B%22I_total%22%5D)%20%2F%20_tlm_extreme_current_scale%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20np.max(np.abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20_tlm_extreme_profile%5B%22u_e%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_tlm_extreme_profile%5B%22u_i%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20-%20_tlm_extreme_profile%5B%22u_chemical%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20))%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_tlm_distributed_check%20%3D%20tlm_distributed_parameters_07(%0A%20%20%20%20%20%20%20%204.0e5%2C%202.5%2C%20250.0%2C%20100.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_length_check_m%20%3D%20_tlm_distributed_check%5B%22length_m%22%5D%0A%20%20%20%20tlm_total_distributed_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22r_parallel_ohm_per_m%22%5D%20*%20_length_check_m%20%2F%20_tlm_distributed_check%5B%22R_parallel_ohm%22%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22c_chemical_f_per_m%22%5D%20*%20_length_check_m%20%2F%20_tlm_distributed_check%5B%22C_chemical_f%22%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22r_e_ohm_per_m%22%5D%20*%20_length_check_m%20%2F%20_tlm_distributed_check%5B%22R_e_ohm%22%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22r_i_ohm_per_m%22%5D%20*%20_length_check_m%20%2F%20_tlm_distributed_check%5B%22R_i_ohm%22%5D%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_distributed_d_from_line%20%3D%201.0%20%2F%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(_tlm_distributed_check%5B%22r_e_ohm_per_m%22%5D%20%2B%20_tlm_distributed_check%5B%22r_i_ohm_per_m%22%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*%20_tlm_distributed_check%5B%22c_chemical_f_per_m%22%5D%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_distributed_d_from_time%20%3D%20_length_check_m**2%20%2F%20_tlm_distributed_check%5B%22tau_chemical_s%22%5D%0A%20%20%20%20tlm_diffusivity_mapping_error_07%20%3D%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22D_chemical_m2_per_s%22%5D%20%2F%20_distributed_d_from_line%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20abs(_tlm_distributed_check%5B%22D_chemical_m2_per_s%22%5D%20%2F%20_distributed_d_from_time%20-%201.0)%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_scale_check%20%3D%20warburg_scales_07(120.0%2C%202.0e-8%2C%20250.0%2C%200.8%2C%20800.0%2C%201.0)%0A%20%20%20%20warburg_resistance_scale_error_07%20%3D%20abs(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_scale_check%5B%22resistance_general_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%2F%20_scale_check%5B%22resistance_diffusion_ohm%22%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20-%201.0%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20capacitor_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nyquist_capacitor_margin_pass_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nyquist_equal_axis_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nyquist_tlm_margin_pass_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20phasor_sign_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_circle_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20rc_peak_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20resistor_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20series_rc_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_boundary_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_current_conservation_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_diffusivity_mapping_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_extreme_profile_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_extreme_profile_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_passivity_margin_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_reversible_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_total_distributed_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_voltage_mapping_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_high_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_low_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_passivity_margin_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_profile_boundary_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_profile_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_resistance_scale_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20waveform_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(%0A%20%20%20%20capacitor_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20mo%2C%0A%20%20%20%20nyquist_capacitor_margin_pass_07%2C%0A%20%20%20%20nyquist_equal_axis_error_07%2C%0A%20%20%20%20nyquist_tlm_margin_pass_07%2C%0A%20%20%20%20phasor_sign_error_07%2C%0A%20%20%20%20rc_circle_error_07%2C%0A%20%20%20%20rc_peak_error_07%2C%0A%20%20%20%20resistor_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20series_rc_limit_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_boundary_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_current_conservation_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_diffusivity_mapping_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_extreme_profile_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_extreme_profile_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_passivity_margin_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_reversible_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_total_distributed_error_07%2C%0A%20%20%20%20tlm_voltage_mapping_error_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_high_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_low_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_passivity_margin_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_profile_boundary_error_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_profile_finiteness_07%2C%0A%20%20%20%20warburg_resistance_scale_error_07%2C%0A%20%20%20%20waveform_frequency_error_07%2C%0A)%3A%0A%20%20%20%20_checks%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ideal%20elements%20and%20series-RC%20limit%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(resistor_limit_error_07%2C%20capacitor_limit_error_07%2C%20series_rc_limit_error_07)%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22The%20series%20example%20must%20equal%20the%20same%20resistor%20plus%20the%20same%20capacitive%20impedance%20at%20every%20frequency.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Equal%20Nyquist%20scaling%20and%20visible%20capacitive%20axis%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nyquist_equal_axis_error_07%20%3C%201.0e-14%20and%20nyquist_capacitor_margin_pass_07%20and%20nyquist_tlm_margin_pass_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Equal%20data%20scale%20preserves%20geometry%2C%20and%20a%20small%20negative%20real-axis%20margin%20keeps%20a%20vertical%20capacitive%20line%20inside%20the%20axes.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Waveform%20normalization%2C%20frequency%2C%20and%20phasor%20sign%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(phasor_sign_error_07%2C%20waveform_frequency_error_07)%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Each%20waveform%20has%20unit%20amplitude%20and%20coincides%20at%20zero%20lead.%20The%20observation%20window%20stays%20at%20two%20seconds%20while%20frequency%20changes%20the%20visible%20cycle%20count%3B%20a%20leading%20current%20gives%20negative%20impedance%20phase%20for%20%24e%5E%7Bi%5C%5Comega%20t%7D%24.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Ideal%20%24R%5C%5Cparallel%20C%24%20semicircle%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(rc_circle_error_07%2C%20rc_peak_error_07)%20%3C%202.0e-2%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20geometric%20arc%20and%20its%20%24%5C%5Comega%20RC%3D1%24%20apex%20must%20come%20from%20the%20same%20circuit%20equation.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22General%20and%20dilute%20Warburg%20resistance%20scales%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_resistance_scale_error_07%20%3C%201.0e-14%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20general%20thermodynamic%20slope%20must%20reduce%20to%20the%20ideal%20dilute%20expression%20under%20the%20stated%20assumption.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Finite%20Warburg%20limits%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_profile_finiteness_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20max(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_high_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_low_frequency_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_profile_boundary_error_07%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20)%20%3C%202.0e-6%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Both%20boundaries%20keep%20finite%20profiles%2C%20share%20the%20high-frequency%2045%20degree%20limit%2C%20and%20approach%20their%20own%20low-frequency%20forms.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Passive%20Warburg%20response%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20warburg_passivity_margin_07%20%3E%200.0%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Diffusion%20dissipates%20energy%2C%20so%20the%20real%20part%20of%20its%20impedance%20cannot%20be%20negative.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22TLM%20boundary%20conditions%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_extreme_profile_finiteness_07%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20and%20max(tlm_boundary_error_07%2C%20tlm_extreme_profile_error_07)%20%3C%202.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Every%20spectrum%20and%20profile%20must%20stay%20finite%20and%20satisfy%20the%20selected%20passing%20or%20blocking%20conditions%20at%20both%20faces.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22TLM%20total-current%20conservation%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20abs(tlm_current_conservation_error_07)%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Current%20may%20transfer%20between%20rails%2C%20but%20%24I_e%2BI_i%24%20must%20be%20independent%20of%20position.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22TLM%20voltage%2C%20composition%2C%20and%20unit%20mappings%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20max(tlm_voltage_mapping_error_07%2C%20tlm_total_distributed_error_07%2C%20tlm_diffusivity_mapping_error_07)%20%3C%201.0e-12%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%22%24u_e-u_i%3D-%5CDelta%5Cmu_M%2FF%24%20must%20be%20opposite%20in%20sign%20to%20the%20normalized%20composition%20response%3B%20distributed%20quantities%20must%20recover%20their%20totals%20and%20%24D%5E%5Cdelta%3D1%2F%5B(r_e%2Br_i)c_%7B%5Crm%20chem%7D%5D%24.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Collapsed%20reversible-contact%20regression%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_reversible_error_07%20%3C%202.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Pinning%20both%20rails%20removes%20chemical%20polarization%20and%20leaves%20%24R_e%5C%5Cparallel%20R_i%24.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22Finite%2C%20passive%20TLM%20solution%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20tlm_finiteness_07%20and%20tlm_passivity_margin_07%20%3E%20-1.0e-10%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%22The%20internal%20state%20must%20stay%20finite%20and%20a%20passive%20line%20cannot%20generate%20power.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_rows%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20for%20_name%2C%20_passed%2C%20_why%20in%20_checks%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20_rows.append(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20f%22%7C%20%7B'PASS'%20if%20_passed%20else%20'CHECK'%7D%20%7C%20%7B_name%7D%20%7C%20%7B_why%7D%20%7C%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20_heading%20%3D%20%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%23%23%204.%20Physical%20consistency%20checks%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22These%20checks%20connect%20the%20sign%20convention%2C%20circuit%20response%2C%20diffusion%20boundaries%2C%20%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22and%20transmission-line%20interpretation.%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C%20status%20%7C%20check%20%7C%20why%20it%20matters%20%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%7C---%3A%7C---%7C---%7C%22%2C%0A%20%20%20%20%5D%0A%20%20%20%20_checks_table%20%3D%20mo.md(%22%5Cn%22.join(_heading%20%2B%20_rows))%0A%20%20%20%20mo.accordion(%7B%22Physical%20consistency%20checks%22%3A%20_checks_table%7D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20What%20to%20carry%20forward%0A%0A%20%20%20%20A%20small%20sinusoidal%20perturbation%20gives%20%24Z(%5Comega)%24.%20Its%20frequency%20dependence%0A%20%20%20%20reveals%20time%20scales%20that%20we%20interpret%20using%20transport%2C%20storage%2C%20and%20the%0A%20%20%20%20boundary%20conditions.%0A%0A%20%20%20%201.%20**Frequency%20separates%20response%20regimes.**%20A%20semicircle%20marks%20a%0A%20%20%20%20%20%20%20relaxation%2C%20while%20a%20distributed%20chemical-diffusion%20response%20produces%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20Warburg%20frequency%20dependence.%0A%20%20%20%202.%20**The%20far%20boundary%20controls%20the%20low-frequency%20end.**%20Fixed%20composition%0A%20%20%20%20%20%20%20gives%20a%20finite%20resistance%3B%20zero%20flux%20gives%20capacitive%20accumulation.%20Both%0A%20%20%20%20%20%20%20share%20the%20high-frequency%20%2445%5E%5Ccirc%24%20limit.%0A%20%20%20%203.%20**A%20TLM%20connects%20physics%2C%20storage%2C%20and%20contacts.**%20The%20same%20MIEC%20rails%20can%0A%20%20%20%20%20%20%20produce%20different%20spectra%20when%20%24Z_A%24%E2%80%93%24Z_D%24%20change%2C%20so%20geometry%2C%20sign%0A%20%20%20%20%20%20%20convention%2C%20units%2C%20and%20boundary%20conditions%20must%20precede%20feature%20labels.%0A%0A%20%20%20%20This%20module%20deliberately%20uses%20ideal%20capacitors%2C%20uniform%20one-dimensional%0A%20%20%20%20transport%2C%20linear%20response%2C%20and%20ideal%20contacts.%20Constant-phase%20elements%2C%0A%20%20%20%20electrode%20kinetics%2C%20microstructural%20distributions%2C%20and%20nonlinear%20large-signal%0A%20%20%20%20effects%20belong%20in%20later%20model%20extensions%2C%20not%20in%20the%20first%20interpretation.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Continue%20with%20the%20full%20TLM%20teaching%20tool%0A%0A%20%20%20%20This%20module%20closely%20adapts%20the%20original%20tool's%20schematic%2C%20distributed%0A%20%20%20%20parameter%20controls%2C%20frequency-colored%20spectra%2C%20and%20spatial%20teaching%20views%2C%0A%20%20%20%20while%20limiting%20the%20boundary%20choices%20to%20two%20transparent%20ideal%20contact%0A%20%20%20%20cases.%20The%20separate%0A%20%20%20%20%5BTLM%20teaching%20tool%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FTLM-teaching-tool%2F)%20exposes%20all%0A%20%20%20%20four%20terminals%2C%20dielectric%20storage%2C%20and%20more%20general%20boundary%20impedances%3B%0A%20%20%20%20its%0A%20%20%20%20%5Bsource%20repository%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FTLM-teaching-tool)%20documents%0A%20%20%20%20the%20terminal%20signs%20and%20boundary%20conventions.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Sources%20and%20further%20reading%0A%0A%20%20%20%20-%20Q.%20Lu%2C%20*Solid%20State%20Ionics%2C%20Lecture%208%3A%20Impedance%20Spectroscopy*%20(course%0A%20%20%20%20%20%20slides).%20The%20phasor%2C%20Nyquist%2C%20%24R%5Cparallel%20C%24%2C%20time-constant%20separation%2C%0A%20%20%20%20%20%20and%20brick-layer%20narrative%20use%20the%20notation%20defined%20above.%0A%20%20%20%20-%20Q.%20Lu%2C%20%5BWarburg%20impedance%3A%20more%20than%20a%2045-degree%20line%5D(https%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2FCyCXnWWEoX586lzMGl0A9Q).%0A%20%20%20%20%20%20This%20article%20motivates%20the%20finite-length%20discussion%3B%20the%20equations%20above%0A%20%20%20%20%20%20state%20both%20boundary%20conditions%20explicitly.%0A%20%20%20%20-%20Q.%20Lu%2C%20%5BTransmission%20lines%20for%20mixed%20ionic-electronic%20conductors%5D(https%3A%2F%2Fmp.weixin.qq.com%2Fs%2FzR9QI0GnGUvPz2VRc9bHOA).%0A%20%20%20%20-%20A.%20E.%20Bumberger%2C%20A.%20Nenning%2C%20and%20J.%20Fleig%2C%20%E2%80%9CTransmission%20line%20revisited%20%E2%80%94%0A%20%20%20%20%20%20the%20impedance%20of%20mixed%20ionic%20and%20electronic%20conductors%2C%E2%80%9D%20*PCCP*%20**26**%20(2024)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%5Bdoi%3A10.1039%2FD4CP00975D%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1039%2FD4CP00975D).%0A%20%20%20%20-%20Course%20context%20and%20related%20tutorials%3A%0A%20%20%20%20%20%20%5BSolid%20State%20Ionics%20teaching%20page%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fteaching%2F)%20and%0A%20%20%20%20%20%20%5Btutorial%20index%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Ftutorial%2F).%0A%0A%20%20%20%20Together%2C%20these%20sources%20motivate%20the%20examples%20above.%20The%20equations%20and%0A%20%20%20%20limiting%20cases%20use%20the%20conventions%20stated%20here%20and%20are%20checked%20in%20the%20final%0A%20%20%20%20accordion.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Previous%3A**%20%5BModule%2007%20%E2%80%94%20Chemical%20Capacitance%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F07-chemical-capacitance%2F)%0A%0A%20%20%20%20**Reference%3A**%20%5Bshared%20notation%20and%20sign%20conventions%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Lecture%20connection.**%20%5BLecture%208%2C%20slides%2012%E2%80%9324%5D(https%3A%2F%2Fssi-westlake.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F12%2Ffall2023_ql_ssi_lecture8_impedance_spectroscopy.pdf)%3A%20small%20signals%2C%20Nyquist%20plots%2C%20and%20equivalent%20circuits.%20Warburg%20and%20TLM%20tutorial%20links%20are%20listed%20above.%0A%0A%20%20%20%20%5BCourse%20home%20and%20lecture-order%20path%5D(https%3A%2F%2Fqiyanglu.github.io%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2F)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BLecture%20and%20tutorial%20map%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FCOURSE_ALIGNMENT.md)%0A%20%20%20%20%C2%B7%20%5BNotation%20guide%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2Fqiyanglu%2FSolid-State-Ionics-Interactive%2Fblob%2Fmain%2Fdocs%2FNOTATION.md)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A